而另外一部分研究[1-4,9-12]认为机床主轴、刀柄和刀具存在制造与安装的误差，因此在铣削过程中不可避免地存在刀具回转轴线与刀具轴线不重合的现象，通常称其为刀具偏心。在这些研究中通常使用若干个位置参数来定定义刀具轴线与刀具回转轴线的相对位置，并描述刀具轴线的运动。大多数文献[9-10]中使用2个参数将刀具轴线运动模型近似为径向刀具偏心模型。这类研究中认为三轴立式机床主轴主要进行平移运动，刀具轴线与刀具回转轴线相互平行，通过径向平移误差与刀具安装角度来建立刀具轴线与刀具回转轴线的位置关系。而在文献[3-4,11-12]中则认为需要同时考虑刀具平移与刀具倾斜，因此需要4个参数来描述刀具偏心。可以看到这类研究通常认为刀具轴线倾斜于机床主轴轴线。 在铣削加工过程中，机床主轴是机床在机械加工时带动刀具进行切削与表面成形运动的执行轴，机床主轴对刀具轴线运动路径以及工件表面的成形起着决定性作用。但是目前众多分析刀具轴线运动的研究中，并没有将机床主轴运动误差与刀具安装误差作为主要研究对象。一方面原因是机床主轴的运动误差来源于多个主轴零部件误差综合作用，主轴零部件主要包括了轴承、主轴箱体与密封件等，主轴零部件的制造误差会间接地导致包括热力学与动力学在内的综合性技术难题。在这种情况下，如何根据实际研究的需要建立主轴运动误差模型则为了这一研究领域的一大难题。另一方面原因是由于刀柄、弹簧夹头、拧紧螺母等多个零部件对刀具的安装误差具有重要影响。因此，如何综合地考虑这些零部件制造标准，并建立不同零部件的安装误差模型也是这方面研究的难题。由于SPN 300型主轴动态误差分析仪能够快速精确地记录主轴运动时刀柄底部的运动轨迹，本文尝试将其金属标准球的运动轨迹作为铣削刀具轴线运动轨迹，在此基础上分析主轴运动误差与刀具安装误差对铣削刀具轴线运动的影响，最终建立刀具轴线运动模型，并提出了用于标定模型中未知参数的算法。最后通过实验验证本文所建立的模型能够清晰地描述主轴的运动，而且本文所提出的参数标定方法具有测量过程简便、数据处理快速的特点。 1 主轴运动误差建模与刀具安装误差建模研究 1.1  主轴运动误差建模研究 下面主要建立了考虑轴承内圈径向误差的主轴运动模型。在对铣削过程刀具轴线的运动进行建模时，首先需要分析刀具轴线受哪些因素的影响。通过对机床刀具的运动以及驱动刀具旋转的机床零部件分析后，可以看到刀具通过弹簧与刀柄安装在主轴头端，而主轴则是驱动刀具运动的主要零部件。而在实际实验过程中，可以发现弹簧夹头的安装误差是导致刀具发生偏心的直接因素。机床主轴系统的组成如图1所示，主要由前轴承、后轴承、拉钉与主轴组成。主轴系统的旋转轴被两组角接触球撑。当轴承承受载荷之后，轴承的套圈位置不可避免地会产生变形。由于轴承内圈和主轴转子通过过盈配合安装在一起，而转子通常为薄壁结构来安装拉钉机构，因此可以将其整体视为一个圆环结构。在本文中认为，主轴系统上下端轴承内圈圆心的运动轨迹等同于上下端轴承安装位置处的主轴轴心运动轨迹。当轴承内圈与空心转子一同选择接受载荷的时候会产生弯曲变形，而这一变形会改变轴承内部的动力学状态，从而影响了主轴系统的旋转轨迹。综上所述，在本文中认为轴承安装位置处的主轴轴心的运动轨迹与该处轴承内圈中心的运动轨迹一致，而轴承孔与轴承外圈为理想形状。  1.前端轴承 2.轴套 3. 旋转主轴 4. 拉钉 5. 后端轴承 图 1  主轴主要部件示意图 目前针对轴承内圈径向位移的研究[13-16]大多数以弹性力学理论、滚动轴承动力学和沟道控制理论为基础，建立考虑内圈弯曲变形影响的角接触球轴承动刚度分析模型，利用数值仿真方法分析其时变位移特性。当前研究结果显示，角接触球轴承的承载钢球存在数目与摩擦方向的时变性，使得钢球与内外圈沟道接触刚度和接触力具有周期时变的特点,最终导致了轴承动态振动位移以及内圈位移运动异常复杂。通常主轴轴线的运动轨迹呈现为明显的单圈非重复以及交错纷乱的族线图[16]。本文根据主轴轴线评价的国际标准，对轴承内圈的运动进行必要的简化。 本文在固定坐标系CS0与CS1中描述轴承内圈径向运动误差，如图2所示，其中图2中平面A为后端轴承内圈中心所在平面，平面B为前端轴承内圈中心所在平面。将机床坐标系命名为CS0坐标系，即机床原点为CS0坐标系的原点，令CS0坐标系的0X ，0Y 和0Z 轴平行与机床坐标系的 X ，Y 和 Z轴。在前端轴承安装位置建立坐标系CS1，其中将前角接触球轴承的安装位置上的（图2中平面B处）轴承孔处圆心设定为CS1的坐标原点1O ，CS1的1X ，1Y 和1Z 轴分别与机床坐标系CS0的0X ，0Y 和0Z 轴平行。前角接触球轴承与后角接触球轴承的安装位置之间的间距为 h 。 CS0CS2ABCCS1XYZ2X2Y2Z1X1Y1Z 图2  三轴立式铣削加工中心以及坐标系CS1与CS2示意图 在坐标系CS1中描述了前端轴承与后端轴承内圈运动轨迹，进而完成了主轴运动误差模型的建立。如图3所示，后角接触轴承安装位置处的主轴轴心为1A ，前角接触轴承安装位置处的主轴轴心为2A ，由于轴承内圈存在径向偏心误差，1A 与2A 会偏离理想位置。如上文所述，本文假设轴承安装位置处的主轴轴心的运动轨迹与该处轴承内圈中心的运动轨迹相同，因此图3中的平面A、B与图2中的平面A、B的定义相同，均为前端与后端轴承内圈中心所在平面。而图3中的平面C 定义为主轴头端所在的平面。定义1A 运动轨迹的参数方程为 ( )1,2 1cosAx =a q +wt ， ( )1,2 1sinAy =b q +wt ，1A,2 1z =l 。 定 义2A 运 动 轨 迹 的 参 数 方 程 为 ( )2,2 2cosAx =a q +wt ， ( )2,2 2sinAy =b q +wt ，2,20Az = 。定义1 2O A 与1 2A A 两直线所在平面为 P ，机床主轴头端中心为CS2的坐标原点2O ，主轴轴线方向为CS2的2Z 轴方向，主轴头端平面 C 为CS2的2 2X Y 平面，平面 P 与平面 C 的交线为CS2的2X 轴，显然通过计算CS2的2Z 轴与2X 轴的外积可以得到CS2的2Y 轴的方向向量。在机床主轴头端平面C 处建立坐标系CS2，1l 为图3中1A 与2A 的间距，2l 为图3中2A 与2O 的间距，1A 与主轴头端中 考虑主轴运动误差与刀具安装误差的铣削刀具轴线运动建模研究1 张栋梁1，莫  蓉1，常智勇1+，陈泽忠2，孙惠斌1，万  能1 (1.  西北工业大学   现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，陕西  西安  710072 2.  加拿大Concordia大学  机械与工业工程学院，Quebec Montreal，H3G1M8) 摘要：机床主轴运动误差、刀柄与弹簧夹头安装误差等是影响刀具轴线运动的主要因素，但是目前综合考虑这些因素的切削仿真研究并不多。本文将机床主轴的角接触轴承、刀柄、弹簧夹头的安装与制造误差作为影响铣削刀具轴线运动的主要因素，建立了铣削刀具轴线的运动数学模型。本文将SPN 300型主轴动态误差分析仪金属标准球的运动轨迹作为反映铣削刀具轴线运动轨迹，对模型进行了实验验证。考虑到粒子群算法对不同复杂约束条件下的多目标优化问题具有较强的适用性与简便性，本文使用了粒子群算法来标定模型中的未知参数。实验结果显示，本文模型与实际测量结果相符，且本文所提出的标定方法具有较强适应性。 关键词：金属切削；机床主轴；刀具轴线；粒子群算法 中图分类号：TG547                  文献标识码：A Modeling the motion of the milling cutter considering the spindle motion error and the tool clamping error ZHANG Dongliang1，MO Rong1，CHANG Zhiyong1+，CHEN Zezhong 2，SUN Huibin1，WAN Neng1 (1. Key Lab. of Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology , Northwestern Polytechnic University , Xi’an 710072 , China；2. Department of Mechanical and Industrial Engineering, Concordia University, Montreal H3G1M8, Canada) Abstract: The manufacturing and assemblage errors of machine-tool spindles, tool holder and tool are the key factors that influence the motion of the tool axis, but these studies about the cutting simulation are not  certainly  many.   Based  on  the  analyzing  the  spindle  motion  error  and  the  tool  clamping  error  in  this paper, the modeling of the motion of the milling cutter was carried out. The motion track of the sphere ball of  the  APIs  Spindle  Dynamic  Analyzer  (SPN  300)  was  treated  as  the  motion  track  of  the  bottom  of  the milling  cutter  to  validate  this  model.  It  is  worth  noting  that  the  PSO  (Particle  Swarm  Optimization)  can optimize this problem by iteratively trying to improve a candidate solution with regard to a given measure of quality. So in this paper, the PSO algorithm was presented for searching for the optimum parameters in the  feasible  area.  The  results  of  this  experiment  showed  the  measuring  data  was  in  concordance  with  the theoretical results and the calibration method has a good performance of accuracy and robustness. Keywords: metal cutting；spindle；the motion of the tool axis；particle swarm optimization 0 引言 由于铣削刀具轴线的运动对于机械加工精度、切削颤振与刀具磨损具有非常重要的影响，关于铣削刀具轴线运动的研究是机械加工仿真研究领域的重要组成部分。目前众多研究结果显示，在切削过程中铣削刀具轴线的运动对切削力和加工精度具有重要影响，如何基于刀具轴线运动建立切削力模型成为了当前研究的热点问题之一[1-4]。关于切削力建模的众多研究中并没有考虑刀具轴线的运                                                        收稿日期：2016-06-15；修订日期：2016-07-21。Received 15 June 2016；accepted 21 July 2016. 基金项目：1国家自然科学基金资助项目（51475381，51375395）。Foundation item：Project supported by the National Natural Science Foundation, China（No.51475381，51375395）. A2O1o2APCB内圈中心运动轨迹内圈中心运动轨迹CS11A2q1q2X2Y2Z1XCS211YZ 图 3 坐标系CS2定义示意图 心2O 之间的间距为12l ，相关数据可以由机床手册中查阅得到。本文使用了径向参数1a 、2a 、1b 与2b以及角度参数1q 、2q 来描述主轴的运动。根据以上所述，可以建立由坐标系CS2到坐标系CS1的变换矩阵21M ，如式（1）所示。 2222, 2, 2, ,12, 2, 2, ,1212, 2, 2, ,10 0 0 1x y z ox y z ox y z oa a a xb b b yMc c c zé ùê úê ú=ê úê úê úë û。                     （1） 式中：2, xa ，2, xb 和2, xc 是CS2坐标系的2X 轴在坐标系CS1中的方向余弦，2, ya ，2, yb 和2, yc 是CS2坐标系的2Y 轴在坐标系CS1中的方向余弦，同理2, za ，2, zb 和2, zc 是CS2坐标系的2Z 轴在坐标系CS1中的方向余弦。CS2坐标系的坐标系2X ，2Y 和2Z 轴在CS1中方向余弦的计算公式如式（2）所示。 2,2, 2,2, 2, y 2,2 2 2 2 2 2 2 2 22, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,2,2, 2,2,x 2, y 2,2 2 2 2 2 2 2 2 22, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,2,2, y2, 2, y2 2 22, 2, 2, 2,, ,, ,,xy zx zx x x y y y z z zxy zzx x x y y y z z zxxx x x yrr ra a ar p q r p q r p qpp pb b br p q r p q r p qqqc cr p q r= = =+ + + + + += = =+ + + + + += =+ +2,2,2 2 2 2 2 22, 2, 2, 2, 2,,zzy y z z zqcp q r p qìïïïïíïïï=ï+ + + +î。（2）    ( )2, 2, 2,, ,z z z=r p q2 1a a 是直线1 2A A 的方向矢量，方向矢量的计算公式如式（3）所示： 1 21 21 22, ,2 ,22, ,2 ,22, ,2 ,2z a az a az a ar x xp y yq z zì = -ïí= -ï= -î  。                    （3）    同理， 2 1A O 的方向向量为 ( )2 1 2 1 2 1, ,A O A O A O=r p q2 1a o ，由式（4）可以计算得到2 1a o ： 2 1 12 1 122 1 122,2 ,2,2 ,2,2 ,2a aao oa o ooaa or x xp y yq z zì = -ïí= -ï= -î  。                       （4） 直线1 2A A 与2 2O A   所在平面1P 的法向量为1Pn ，12 1 2 1=Pn a o´a a 。定义向量1Pn 与2 1a a 的外积为CS2的2X 轴的方向向量2x ，则12 P2 1n ´=ax a 。显而易见，CS2的2Y 轴垂直于CS2的2X 轴与2Z轴，其中2Z 轴的方向向量2z 。则CS2的2Y 轴的方向余弦可以由CS2的2X 轴与2Z 轴方向余弦的外积得到，如式（5）所示。 ( )2 2, 2, 2, 2 2, ,y y yy=a b c = z´ x 。                     （5） 定义点1A 与点2A 之间的距离为1l ，则1l 可以由式（6）计算得到： ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 21 A,2 A,2 A,2 A,2 A,2 A,2l =x -x +y -y +z -z   。          （6） 由于坐标系CS2的原点2O 位于直线1 2A A 上，通过式（7）计算得到坐标系CS2中原点2O 的坐标2O,2x 、2O,2y 与2O,2z 。 ( ) (( ) ( ))( ) (( ) ( ))22222 2, 122 2 122 2 2 11,2 2 2 11,2cos cos cossin sin sinOOOla a alb b bx t t tlly t t tlzq w q w q wq w q w q wì+ + + - + ×ïïï+ + + - +=í= ×= -ïïïî  。       （7） 式中：w 为主轴转速，2 12 1l =l -l 。1.2 刀具安装误差建模  1.2.1 刀柄坐标系CS3的建立  刀柄是连接机床和刀具的纽带。通常在机床主轴内都有一个高精密的内锥孔，刀柄的锥度柄直接安装于机床主轴的锥孔中,在刀柄的顶部有拉钉,机床中主轴的夹钳夹住拉钉向上拉,将刀柄拉入机床主轴中,同时主要靠刀柄与机床主轴壁间的摩擦力夹固。本文仅仅考虑了刀柄在轴向方向的制造误差，通过在刀柄底部建立坐标系CS4来表达这一误差。 在刀柄下端面为图4中的平面D，在该位置处建立坐标系CS3，而图4中的平面C 为主轴头端平面，与图3中的平面C 定义相同。将刀柄下端面中心作为CS3的坐标原点，将刀柄轴线作为CS3的3Z 轴，且CS3的3X 轴、3Y 轴分别平行于CS2轴的2X 轴、2Y 轴。考虑到刀柄的制造误差3D ，刀柄下端面中心与主轴下端面中心的距离为3 3l+D 。由于CS3的坐标轴方向与CS2保持一致，CS3与CS2的变换矩阵32M 实际上就是平移变换矩阵，如式（8）所示。 323 31 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1Mlé ùê úê ú=ê - - Dúê úë û 。                   （8）  EDC 图4 主轴、刀柄、弹簧夹头、刀具示意图  1.2.2  弹簧夹头坐标系CS4的建立 弹簧夹头主要由若干个弹簧簧瓣以及弹簧簧瓣之间的连接件构成，将刀柄插入弹簧夹头中心圆孔之后，拧紧所配套的螺母，弹簧夹头簧瓣受力向内集中，从而夹紧刀具。本文认为弹簧夹头上端面簧瓣由于制造误差，在拧紧螺母的作用下，弹簧夹头安装的刀具发生倾斜。 如图5所示，以弹簧夹头轴线为CS4的4Z 轴方向，令为坐标系CS4的4 4X Y 平面（也就是弹簧夹头的下端面，图4中的E处）为1P ，令过点4O 且与坐标系CS3的3 3X Z 平面平行的平面为2P ，弹簧夹头下端面中心为CS4的原点4O 。令弹簧夹头上端面中心为点4O*。令平面1P 与平面2P 的交线为CS4的4X 轴。 1P2P4O*4O4X4Y4Z4X4Y4Z4O 图 5 弹簧夹头位置以及CS4定义示意图   发生安装误差后，使用了参数1r ，1f ，2r ，2f 和5oz 来说明4O 与4O*的在CS3下的坐标。弹簧夹头下端面中心4O 在CS3下的坐标为（4O3x，，4O3y，，4O3z，），上端面中心4O*在CS3下的坐标为（4O3x*，，4O3y*，，4O3z*，）。如图6所示，其中3 4 1O O=r ，3 3 4 1ÐX O O=f ，3 4 2O O=r*，3 3 4 2X O O=f*Ð ，4o3z，为点4O 在坐标系CS3中的4Z 轴方向的坐标，显然43 1 1cosOx =r f，，4,3 1 1sinOy =r f ， 42 2cosOx r f*=,3，42 23sinOy r f*=，。 3Y1r4O4O*3O1f2f3X2r 图 6 参数1r ，1f ，2r ，2f ，5oz 定义示意图 根据两点之间的距离，可以求出点4O*在坐标系CS4中的4Z 轴方向坐标为4Oz*,3，如式（9）所示： ( ) ( )4 42 22chuck 1 1 2 2 1 1 2 2= cos cos sin sinO Oz z l r f r f r f r f*- - - - -,3 ,3  。                      （9） 则弹簧夹头上端面中心4O*坐标为（4O3x*，，4O3y*，，4O3z*，），其中chuckl 为弹簧夹头的长度。由式（10）可以求出坐标系CS4到坐标系CS3的变换矩阵。 4444, 4, 4, 34, 4, 4, 3434, 4, 4, 30 0 0 1x y z ox y z ox y z oa a a xb b b yMc c c zé ùê úê ú=ê úê úê úë û，，，  。                                    （10） 式中：4, xa ，4, xb 和4, xc 分别为CS4坐标系的4X 轴在坐标系CS1中的方向余弦，4, ya ，4, yb 和4, yc 分别是CS4坐标系的4Y 轴在坐标系CS1中的方向余弦，同理4, za ，4, zb 和4, zc 分别是CS4坐标系的4Z 轴