第57卷第**期 2021 年*月 机  械  工  程  学  报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING  Vol.57  No.** ***     2021    频率添加奇异值分解算法及其在故障特征 提取中的应用* 赵学智  叶邦彦  陈统坚 (华南理工大学机械与汽车工程学院  广州  510640)  摘要：针对奇异值分解(Singular value decomposition, SVD)的频率分离问题，研究了SVD对单个频率的分离条件，发现SVD分离单个频率的效果取决于各频率的幅值差异。若不同频率的幅值很接近，则SVD 就不能分离这些频率，由此提出一种频率添加SVD算法。为了提取原信号中的特征频率，先对原信号添加该频率的理想正弦信号，使原信号中该频率成分和其它频率的幅值产生差异，从而实现对该频率成分的提取，从理论上证明此算法的可行性。仿真信号处理实例表明，即使对于频率值非常接近的两个频率，频率添加SVD算法亦可将它们准确分离，分离结果波形误差小，克服了原来SVD频率分离算法的缺陷。将此算法应用某转子系统的振动特征提取，准确地提取到振动的高阶倍频，发现高阶倍频振幅的周期性波动特征，并分析这种振幅周期性波动的原因。 关键词：奇异值分解；频率添加；幅值差异；单个频率；特征提取 中图分类号：TN91  Frequency Adding Singular Value Decomposition Algorithm and Its Application in Fault Feature Extraction  ZHAO Xuezhi    YE Bangyan  CHEN Tongjian (School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640)  Abstract：For the frequency separation of singular value decomposition (SVD), the separation condition of SVD for single frequency is studied. It is found that the effect of SVD to separate a single frequency depends on the amplitude difference of the frequencies. If the  amplitudes  of  different  frequencies  are  very  close,  then  SVD  cannot  separate  these  frequencies.  Based  on  this  characteristic,  a frequency  adding  SVD  algorithm  is  proposed.  In  order  to  extract  the  feature  frequency  of  the  original  signal,  the  ideal  sinusoidal signal  of this frequency is added to the original  signal, which makes the amplitude of this feature frequency different  from those of other frequencies, so that this frequency can be separated by SVD. The feasibility of frequency adding SVD is proved theoretically. The simulation signal example shows that for the frequencies with very close frequency values, the frequency adding SVD algorithm can  also  separate  them  accurately, and  the  defects  of  the traditional SVD frequency  separation  algorithm is  overcome.  Finally,  this algorithm  is  applied  to  extract  the  vibration  features  of  a  rotor  system  and  the  high-order  harmonics  of  the  vibration  signal  are extracted separately, which reveal the periodic fluctuation characteristic of the amplitudes of high-order harmonics, and the cause of periodic fluctuation of the amplitudes is analyzed. Key words：singular value decomposition; frequency adding; amplitude difference; single frequency; feature extraction  0   前言 奇异值分解(Singular  value  decomposition,  SVD)                                                        * 国家自然科学基金(51875216)和广东省自然科学基金(2019A1515011780、2018A030310017)资助项目。20200526收到初稿，20201126收到修改稿 近年来在信号特征提取和故障诊断领域的应用非常多。SVD的一个重要应用是消除噪声，通过利用原始信号构造Hankel矩阵进行SVD分解，选取合适的奇异值进行SVD重构，可以获得优良的消噪效 果[1-3]。此外，SVD得到的奇异值还常常被用作特征向量，根据奇异值特征向量的变化可以实现对被测网络首发时间：2021-03-05 15:31:27网络首发地址：https://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2187.th.20210304.1527.048.html机  械  工  程  学  报  第57卷第**期期  2 对象的状态变化的检测[4-5]。 在SVD的应用中，奇异值选取一直是个重要的问题，SVD消噪的关键就是选取合适的奇异值。很多人对此问题进行了研究，提出了各种各样的选择方法，诸如差分谱法[6]、奇异熵法[7]、小波细节峰值法[8]等，但这些方法在实际中总是难以适应工程中不同的信号。后来文献[9]发现，信号中的频率成分和奇异值数量是存在内在联系的，不管怎样的信号，这个信号中的一个频率总是只产生两个非零奇异值，这种内在联系为奇异值的选择提供了依据，使得奇异值选择可以非常准确，不再漏选或多选。此外这种内在联系还使SVD具备了一个新的功能，即分离单个频率，选择某一频率对应的两个奇异值进行SVD 重构，可以分离出这个频率成分[10]，这是以往的SVD研究完全没有发现的一个新特性。但是通过进一步的研究我们发现，SVD并不总是能很好地分离单个频率，对一些信号，SVD的单频分离效果非常好，而对于另一些信号，SVD的单频率分离则较差，在分离结果中往往还会混入其他频率。这就促使我们思考为什么会发生这样的现象？是否SVD 分离单个频率需要原始信号满足一定的条件？如果是，那么这个条件是什么？本文对此问题进行了研究，发现SVD分离单个频率的条件是待分离频率之间的幅值必须存在一定差异，若几个频率的幅值很接近，则SVD难以分离这几个频率，而若是频率间的幅值差异大，则SVD可以很好地分离这些频率，我们将这一特性称之为SVD 的幅值分离 特性。 文中对SVD的幅值分离特性进行了分析，发现频率的幅值相近实质反映的是频率所对应的奇异值相近，进而在此基础上提出了一种频率添加SVD算法，通过对原信号添加某一频率的理想正弦信号，改变原信号中该频率的幅值和其它频率幅值相近的状况，由此可以实现对该频率的分离。文中从理论上证明了频率添加对于SVD 的信号分离是可行的，并提出了所添加频率的幅值必须满足的条件。模拟信号的频率分离实例表明，频率添加SVD算法的单频分离效果非常好，克服了原来SVD单频分离算法的不足，对于原来SVD不能分离的频率，这种方法可以准确地实现其分离，分离得到的频率波形精度高，误差小。最后，将这一算法应用于某大型转子系统的振动特征提取，提取到其振动高倍频振幅的周期性波动特征，并结合该转子系统的特点对这一现象的产生原因进行了分析。 1    SVD的频率分离原理 文献[9]的研究结果表明，在Hankel矩阵下，一个频率成分产生两个非零奇异值，利用一个频率成分对应的两个奇异值进行SVD重构，可以分离出这个频率成分。不失一般性，设原始信号x(t)包含I个频率成分，并存在噪声干扰，由式(1)表示 1( )Iiix t (t) in(wit==a   s +fi)+x å(1) 式中，ai 是频率ωi 的幅值，ϕi是相位，ξ(t)为噪声。以采样周期Ts对x(t)采样，得到数字信号x(j), j=0, 1, 2, …,  N-1，N是数据长度。利用x(j)构造如下矩   阵H (0) (1) ( 1)(1) (2) ( )( ) ( 1) ( 1)x x x nx x x nx N n x N n x N- æö ç÷ ç÷ =ç÷ ç÷- - + -èøLLM M M MLH(2) 式中，1<n<N。令m= N-n+1，则H是一个m×n的矩阵，此矩阵称为Hankel矩阵[11-14]。对矩阵H进行奇异值分解，得到 T= H UDV(3) 其中，U是一个m×m的单位正交矩阵，V是一个n×n的单位正交矩阵，D是一个m×n 的对角矩阵，12 [diag( , , , ), ]q s s s = L DO或者其转置，这取决于m<n还是m>n，O表示零矩阵，q=min(m, n)，且有σ1≥σ2≥…≥σq≥0，它们是矩阵H的奇异值，也是信号x(j)的奇异值[15-17]。根据文献[9]的研究结果，对于含有I个频率的信号x(j)所构造的m×n的Hankel矩阵，当min(m, n)>2I时，信号x(j)中的每一个频率将产生两个非零奇异值，I 个频率一共产生2I 个非零奇异值，噪声ξ(j)产生的奇异值会排列在这2I个非零奇异值之后。将式(3)中正交矩阵U用列向量表示，U=(u1,  u2,…, um)，ui 是m×1的列向量；正交矩阵V也用列向量表示，V=(v1, v2,…, vn)，vi 是n×1的列向量，则根据频率和奇异值数量的关系，可将H的奇异值分解写成向量表示的形式 T T T1 1 1 2 2 2 2 2 2min( , )T21I I Imnh h hhIs s ss=+= + + + +åH u v u v u vuvL(4)因为一个频率产生两个奇异值，这两个奇异值在顺序上前后紧密排列排在一起[9]，依次选择两相邻奇异值进行SVD重构，得到子矩阵 月2021年*月  赵学智等：频率添加奇异值分解算法及其在故障特征提取中的应用  3 TT 2 1 2 1 2 1 2 2 2 i i i i i i i ss- - - =+ H u v u v  i=1, 2, …, I  (5) 从矩阵Hi 中按照平均法[18]恢复出信号，用si (j)表示，它就是原始信号x(j)中的一个频率分量，但这个频率分量不一定是第i 个频率ωi，因为ωi 对应的两个奇异值不一定是σ2i-1和σ2i。奇异值序列是降序排列的[10-17]，设在奇异值序列中，频率ωi 所对应的两个奇异值是σk和σk+1，则可以计算得到这两个奇异值的能量(即平方和)是[19]221=kk ss++22sin sin cos 2 22 2sin( ) ( ) [( - ) ]()i s i s i s iiisn T m T n m T mnaTw w w jwæö× × + +- ç÷ èø  (6) 式中，ai 是频率ωi 的幅值，ϕi 是相位，Ts是采样周期。对于一个m×n的Hankel矩阵，从式(6)可见频率ωi 所对应两个奇异值的大小由该频率的幅值和频率值决定。 对于一个原始信号，通过频谱分析可以得到它各个频率的参数：频率值ωi、幅值ai、相位ϕi，对于该信号构造的m×n的Hankel矩阵，可以利用式(6)计算各个频率的奇异值能量和，并对所有频率的奇异值能量和按照从大到小的顺序排列，如果频率ωi的奇异值能量和排在第j 位，则ωi 对应的两个奇异值是σ2j-1和σ2j，选择这两个奇异值进行SVD重构，分离出的就是频率分量ωi。按照这样的方法确定奇异值比较麻烦，实际应用中一般选择前面的几对大的奇异值分别进行SVD重构，得到的就是原信号中幅值较大的那几个频率[10]。 SVD提取的各个频率与原始信号是一种简单的叠加关系。从式(4)、(5)容易得到 12+ + +I x =+L H H H H H(7)式中，min( , )T21mnh h hhIxs=+= å H u v，代表噪声矩阵。由式(7)可以得到SVD提取到的各分量si (j)与原始信号x(j)的关系是 12 ( ) ( )+ ( )+ + ( ) ( )Ix j s j s j s j j x =+Lj=0, 1, 2, …, N-1    (8) 式中，ξ( j)是噪声分量，N是数据长度。 2    SVD的频率分离条件 在多数情况下，利用上面的SVD方法可以很好地分离出原信号中的各个频率，但是我们在应用中也发现，对于有些信号，SVD的单频分离效果并不是很好，在分离结果中还会混入其它一些频率，这就说明一个问题，即SVD对单个频率的分离存在条件。通过研究我们发现：如果原信号中某几个频率的幅值比较接近，则SVD对这几个频率的分离效果就比较差，在单频分离结果中，原信号中那些幅值相近的频率都会混在其中；而如果原信号中各个频率的幅值存在一定差异，则SVD可以获得很好的单频分离效果。这种现象说明，频率间的幅值差异是影响SVD单频分离的重要原因，对于幅值相近的频率们，SVD难以分离它们。 幅值相近只是个表象，其内在原因是由于幅值相近而导致的这些频率对应的奇异值的大小比较接近。从式(6)可知，当矩阵维数确定后，某个频率的奇异值的大小是由该频率的幅值和频率值决定的。为了直观地观察频率值和幅值对奇异值大小的影响，以频率范围[8,  200]  Hz和幅值范围[1,10] V为例，频率fi 按0.05 Hz的增量从8 Hz依次递增到200 Hz，角频率ωi=2πfi，而每一个频率的幅值从1 V开始，按照0.05 V的增量递增，直到10 V，各频率的相位ϕi=0，对各频率的采样周期Ts=1/1 000 s，即采样频率为1 000 Hz，所构造的矩阵行数m=512、列数n=513，则根据式(6)得到每个频率的奇异值能量与该频率的频率值fi、幅值ai 这两个参数的变化关系如图1a所示,  其中纵坐标轴中E表示奇异值的能量。可见在频率轴方向，随着频率的增加，几乎看不到奇异值能量的变化，而在幅值轴方向，随着幅值的增加，奇异值能量按抛物线规律增长。若令频率的两个奇异值之比为1/kk p ss+=，则利用式(6)可计算出每个奇异值，当p=1时单个奇异值与频率值fi、幅值ai 这两个参数的变化关系如图1b，其中纵坐标轴中A表示奇异值的幅值。可见在幅值轴方向，随着幅值的增加，奇异值按线性规律增长，而在频率轴方向，几乎看不到奇异值的变化。这种结果表明，某个频率的奇异值大小主要受该频率的幅值影响，幅值越大，则奇异值越大；而频率值的变化对奇异值并非没有影响，但是和幅值的影响相比，频率值对奇异值的影响太小，在同一绘图比例下看不出来。 因此，频率的幅值是影响奇异值大小的决定性因素，当某几个频率的幅值非常接近时，尽管这几个频率值存在差异，但这几个频率所对应的奇异值的大小却会非常接近，在这种情况下，SVD就难以区分这几个频率。此时选择这些频率当中某一个频率成分对应的两个奇异值进行SVD重构，在重构结果中还会混入与这个频率幅值相近的那些频率成分。只有当各个频率的幅值存在一定差异，此时各个频率对应的奇异值也会发生差异，这时SVD才可以区分开这几个频率，我们称这一特性为SVD的幅值分离特性。 机  械  工  程  学  报  第57卷第**期期  4 图1   频率值和频率幅值对奇异值的影响 在之前尚未发现SVD 的这种幅值分离特性的工作中，我们曾经提出通过对原始信号添加白噪声来改善SVD的频率分离效果。对于一个信号，如果SVD的频率分离效果较差，则对原始信号添加一定的白噪声，反而可以使SVD获得良好的单个频率分离效果[9]。但是在该研究中[9]并没有认识到这是SVD的幅值分离特性所造成的，而是认为添加白噪声后使得Hankel矩阵的相邻行向量之间的相关性降低，从而改善了SVD的频率分离效果，但实际上并非如此，而是白噪声的加入改变了原信号中各频率的幅值。因为对于计算机产生的白噪声，其频率虽然是均匀地分布在整个频带上，但各频率的幅值却差异较大，因此添加白噪声后会使得原信号中那些幅值相近的频率成分的幅值产生一定的差异，由于幅值对奇异值的影响很大，因此幅值的这种差异导致各频率对应的奇异值大小也产生了差异，从而改善了SVD的频率分离效果。 通过对原信号添加白噪声来使SVD 分离单个频率，存在一定的不确定性，因为计算机产生的白噪声有时不一定会使原信号中那些幅值相近的频率成分的幅值产生较大差异，需要多次添加不同量的白噪声反复尝试，才能使SVD分离出单个频率；而另一方面，添加白噪声后，分离出的频率成分也会受到所添加噪声的影响而产生一定的波形误差，噪声添加越多，频率分离结果受噪声影响越大。 3   频率添加SVD算法 基于SVD的幅值分离特性，为了使SVD分离出单个频率，必须使原信号中各个频率的幅值存在差异，这就是SVD的单频分离条件，从这一点出发，我们提出一种频率添加SVD算法。不失一般性，设原始信号含有I个频率成分，如式(9)所示 1( ) sin( )Ii i s iix j a T j wf== × + å  (9) 式中，ai 是频率ωi 的幅值，ϕi 是相位，Ts是采样周期。现需要分离出其中的频率分量k k k  s  kx a ( j) =，但是在分离结果中却混入了其它频率成分，这是因为混入的这些频率和频率ωk的幅值比较接近造成的。为了改变原信号中频率的幅值关系，准确分离出( ) sin( )k k k s kx j a T j wf = × +，我们提出对原信号添加一个频率为ωk 的理想正弦分量sin( )k k sb T j w ×，则原信号中的频率成分ωk变为 ( ) sin( )+ sin( )k k k s k k k sx j a T j b T j w f w = × + ×= sin()=kk saa  T j )+bk s jfkcos ( fk )sin(wk)cos ( ωkTs × j)+× in(wkT22+2 cos( )+ sin( )k k k k k k s ka a b b T j f w q ×+式中，相位sin( )=arctancos( )kkkk k kaabfqféù êú+ëû。因此，对原信号添加频率分量sin( )k k sb T j w ×后，原信号中频率ωk的幅值变为22+2 cos( )+k k k k ka a b b f，相位也发生了变化，但是频率值ωk却不变，而原信号中的其他频率ωi (i≠k)及其幅值均没有变化，因此，根据一个频率产生两个非零奇异值的原理[9]，添加频率ωk后并不会改变原信号的非零奇异值的数量。但是此时频率ωk 和原来与它幅值相近的那些频率的幅值却有了差异，因此频率ωk所对应的奇异值大小会发生变化，不再与其他频率的奇异值相等或接近，此时选取ωk对应的两个奇异值进行SVD重构，就可以从原信号中分离出频率ωk。 进一步，为了方便选择奇异值，可使添加频率后频率成分ωk的幅值在原信号中最大。设原信号中各频率幅值的最大值为max(ai), i=1,  2, …, I，添加频率sin( )k k sb T j w ×后，为了使添加频率后ωk的幅值最大，一个非常容易犯的错误是认为只需使ak+bk > max(ai)即可，即bk > max(ai) - ak，但是这完全没有考虑相位对频率添加后的合成幅值的影响，若是所添s×sin( T× j+ wf)月2021年*月  赵学智等：频率添加奇异值分解算法及其在故障特征提取中的应用  5 加的频率sin( )k k sb T j w ×与原信号中的频率ωk反相，则这时添加的频率反而会抵消原信号中ωk的幅值。为了使频率添加后ωk的幅值最大，正确的做法是使 22+2 cos( )+ max( )k k k k k i a a b b a f >(10) 因幅值ak和bk总是正值，因此总是有 2 2 2 2 +2 cos( )+ 2 +k k k k k k k k k k k a a b b a a b b a b f > - = -(11) 故为了使添加频率后的ωk的幅值最大，只需 k ki a b max(a  ) ->    (12) 结合bk是正值的条件，从不等式(12)可以得到   +)k kib a max(a >  (13) 取满足式(13)的bk 对原信号添加频率分量sin( )k k sb T j w ×，则添加了该频率分量后，原信号中频率ωk的幅值必然是最大的，此时频率ωk对应的奇异值也就是最大的两个奇异值，即σ1和σ2，这就省去了原来需要从奇异值序列中某个位置选取ωk的奇异值的麻烦。直接利用σ1和σ2这两个奇异值进行SVD重构，得 TT 1 1 1 1 2 2 2 ss =+ H u v u v(14) 从矩阵H1中采用平均法[18]恢复出信号s1(j)，得到的就是频率ωk的时域信号，但是注意这时得到的频率分量还含有所添加的频率，即分离出的频率是： 1( ) sin( )+ sin( )k k s k k k ss j a T j b T j w f w = × + ×(15) 只需从s1(j)中减去所添加的sin( )k k sb T j w ×，就得到原信号本身的频率分量sin( )k k s ka T j wf×+。 4   频率分离实例 对模拟信号x(t)=sin(2π·4t+1.58)+sin(2π·5t+0.29)+ sin(2π·20t+1.85)+sin(2π·21t+2.76)以采样频率500 Hz采集1  024点，结果如图2所示。除了各频率幅值相等外，这个信号的特点是它的两对频率分量4 Hz和5 Hz、20Hz和21 Hz的频率值非常接近，一般方法很难分离靠得这么近的频率。现在首先直接用SVD方法来分离这些频率，利用原信号构造512×513的Hankel矩阵并对其进行奇异值分解，因1个频率产生2个非零奇异值，4个频率产生4对非零奇异值，根据式(5)，分别利用前4对奇异值进行SVD重构，得到四个分量信号如图3。可见此时频率分离效果很差，这是因为原信号中4个频率的幅值相等，造成它们的奇异值也很接近，因此SVD难以分离它们。 图2   一个模拟信号及其幅值谱 图3    SVD的频率分离结果 机  械  工  程  学  报  第57卷第**期期  6 采用文[9]中的白噪声添加法，对原信号添加白噪声，信噪比为-0.885 7 dB，结果如图4，对添加白噪声后的信号进行同样的SVD处理，得到4个分量信号如图5。可见这时的频率分离效果已经大有改善，原信号中的4个频率基本被分离开了，但是这种分离效果并不能令人很满意，和理想的频率分量相比(图5中虚线)，分离结果的波形有一定的误差。 图4   添加白噪声后的信号及其幅值谱 图5   添加白噪声后SVD的频率分离结果 采用频率添加SVD法，对原信号添加正弦分量b·sin(2π·f/fs·j)，其中，f 是要分离的频率，fs 是采样频率500 Hz，j=0, 1, …, 1 023，b是幅值，因原信号中各频率的幅值都是1，根据式(13)，取b=3即可。然后分别取f=4、5、20、21 Hz并将相应的3sin(2π·f/fs·j)添加到原信号中，并进行SVD处理，得到4个分量信号如图6所示，图中从上到下依次是分离出的4 Hz、5 Hz、20 Hz、21 Hz频率分量   (图中虚线是理想频率分量)。可见这时的分离效果非常完美，原信号中频率值非常接近的4 Hz和5 Hz、20 Hz和21 Hz完全被分离开，得到的频率和理想频率分量完美重合，证实了这种频率添加SVD算法的不凡效果，也证实了确实是频率的幅值差异决定着SVD的频率分离效果，改变某频率的幅值使其不再与其它频率的幅值相近就可获得非常好的频率分离结果。 图6   频率添加SVD算法的频率分离结果 月2021年*月  赵学智等：频率添加奇异值分解算法及其在故障特征提取中的应用  7 5   对转子振动信号的特征提取 采用频率添加SVD 算法对某大型转子系统的振动信号进行特征提取。该转子系统如图7所示，其中转子两端的轴承是一种比较特殊的轴承，称为三瓦流体支点可倾瓦滑动轴承，其结构原理如图8。这种轴承的特点是在转子旋转时除了在轴颈和瓦块之间形成油膜外，在瓦块与壳体之间也会形成一层静压油膜，在内、外层油膜力的联合作用下，轴瓦会浮起来并绕某一流体支点摆动[20-21]，因而称之为流体支点可倾瓦轴承。 图7  转子系统实物图 图8   三瓦流体支点可倾瓦滑动轴承结构示意图 在转子轴颈处安装电涡流位移传感器检测转子系统的振动，转子转速为2  250  r/min(即转频为37.5 Hz)。对转子振动位移信号进行采集，采样频率为2 048 Hz，采样点数为4 096点，采集到的振动位移信号如图9所示，为了不使显示的数据太过密集，图中只给出前2  048点数据。图9的幅值谱显示振动的基频就是转子的旋转频率37.5 Hz，此外还存在转频的2～10倍频，而其中3倍频是仅次于转频的主要频率，这显然与三块轴瓦密切相关，另外还存在一个明显的50 Hz工频干扰。根据转子振动理论，出现这么多高倍频表明转子系统存在松动，但这不是我们要关注的重点，通过频率添加SVD算法提取各倍频的时域信号，我们还发现了此转子系统振动的一个特殊现象，即3、6、9倍频振幅的周期波动性。 图9   转子原始振动信号及其幅值谱 对原信号依次添加sin(2 / )k k sb f f j p×，其中fk是需要提取的各阶频率，由图9的频谱确定，fs是采样频率2 048 Hz，bk是幅值，需满足式(13)，可根据图9 频谱中的最大幅值以及所需提取频率的幅值确定，而j = 0, 1, …, 4 095。这样通过频率添加SVD算法提取到了转子系统的各阶频率，结果如图10所示(为节省篇幅，图中只给出转频以及2、3、6、9这四个倍频)。从图10可以看到提取到的各阶频率都非常干净，频域结果显示它们都只有一个频率，单频提取效果非常好，完全消除了50 Hz的工频干扰对特征提取的影响。观察所提取到的各阶频率波形，我们发现了此转子系统的一个非常特殊的现象：除了转频外，此转子系统的高倍频的振幅都存在有规律的周期性波动，特别是3倍频、6倍频、9倍频的振幅受影响较大，图10中6倍频、9倍频的波动非常明显，而9倍频振幅的波动又比6倍频振幅的波动大。3倍频由于其振幅本身较大，振幅的波动在图10的绘图比例下显示不出来。分别对3倍频、6倍频、9倍频这三个倍频进行局部放大，如图11所示，图中从上到下依次是3倍频、6倍频和9倍频。可见此时3倍频振幅的周期性波动清晰可见，6倍频、9倍频的周期性波动也更加突出。 机  械  工  程  学  报  第57卷第**期期  8 图10   频率添加SVD算法提取到的转子振动信号的各阶倍频 图11   第3、6、9倍频振幅的周期性波动 提取这三个倍频的振幅包络，并对包络进行频谱分析，结果如图12。可见包络时域波形的周期性波动是非常明显的，而频谱结果显示，虽然这三个倍频的频率值彼此不同，但是它们的振幅波动却具有相同的频率结构：基频都是18.75 Hz，这正好是转子转频的一半，说明这种波动不是偶然的，此外还存在一个转子的转频37.5 Hz，三个包络都是基频18.75 Hz占优，而其它的高倍频则迅速衰减。这种相同的频率结构说明这三个倍频的振幅波动是同一种因素导致的。 注意到这个转子系统的轴承比较特殊，它是由三块轴瓦组成的可倾瓦轴承，根据振动信号中3倍频、6倍频、9倍频的振幅受影响较大这一事实，可以判断这种振幅波动来自于这个特殊轴承，即来自于这种可倾瓦轴承的三块轴瓦在转子运转时的摆动。在转子运转时，这种浮动可倾瓦轴承除了在轴瓦和转子轴颈之间形成油膜外(称为内层油膜)，润滑油还会通过轴瓦上的静压孔注入到轴瓦外层压力腔，在轴瓦和轴承壳体之间也形成一层油膜(称为外层油膜)，使得轴瓦浮起，轴瓦在内外层油膜力联合作用下会绕某一流体支点摆动[20, 21]，从而形成流体支点可倾瓦轴承。文献[20,21]通过油膜动压理论分析了这种轴承内外层油膜力的差异导致的轴瓦摆动，但在实际中检测这种轴瓦摆动比较困难，而转子振动信号倍频幅值的波动则证明了这种轴瓦摆动现象的存在，因为轴瓦在摆动时必然会对转子振动位移的幅度产生影响。轴瓦有三块，转子的轴颈是包裹在这三块月2021年*月  赵学智等：频率添加奇异值分解算法及其在故障特征提取中的应用  9 轴瓦下的，轴瓦的摆动毫无疑问会影响转子的振动位移，而振动位移信号中又恰恰是3 倍频、6倍频、9 倍频受影响较大，其振幅有较大波动，因此可以确定正是由于三块轴瓦的摆动导致了振动信号中各倍频振幅的周期性波动。 从提取的包络波形来看，每个包络波形也类似轴瓦覆盖在振幅上并绕某一支点的左右摆动造成的。从图12的频谱可见，各倍频振幅波动的基频是转频的一半，这说明轴瓦摆动的基频是转子转频的一半。转子转一圈，轴瓦摆动到一侧，转子再转一圈，轴瓦摆回到另一侧，即转子转两圈，轴瓦完成一个摆动周期，因此轴瓦摆动的基频是转频的一半，从而导致了振幅波动的基频是转频的一半。如果不能准确地分离出振动信号中的这些倍频，那么就无法观察到这些倍频振幅的周期性波动，也无法证实这种可倾瓦轴承的轴瓦摆动这一现象，而频率添加SVD算法由于其准确的单个频率提取能力，使得单个频率的振幅波动清晰地显示出来，从而揭示了这种可倾瓦轴承的轴瓦摆动对转子振动造成的影响。 图12   三个倍频的振幅包络及其频谱 现在回过头来再来看前面所说的转子松动问题。原始信号的频谱中存在转频的2～10阶的高倍频，从这种频谱特征表面上看这表明转子存在松动，实际上这种所谓松动只是可倾瓦轴承的轴瓦摆动造成的一种转子松动的假象，转子在运转时，轴瓦在内外层油膜力作用下产生摆动，使得好像转子存在松动一样，从而在转子的振动频谱中显示出松动的频谱特征(存在转频的一系列高倍频)，但对于这个可倾瓦轴承的转子系统来说，实际上是轴瓦摆动造成的一种转子松动的假象。  6   结论 (1) SVD 分离单个频率的条件是各频率的幅值存在一定差异，如果原信号中几个频率的幅值比较接近，则SVD难以分离这几个频率，要分离某个频率，这个频率的幅值和其它频率的幅值必须存在一定差异，这就是SVD的单频分离条件。 (2) 提出了频率添加SVD信号分离算法。如果SVD不能分离原信号中的某一频率成分，可向原信号中添加该频率的一定幅值的理想正弦信号，使得原信号中该频率成分的幅值和其他频率产生差异，并提出了所添加频率的幅值条件，在该条件下，只要选择第一、二个奇异值进行SVD重构，就可分离出所需要的频率，免去了奇异值选择的不便。 (3) 在对某大型转子的振动特征提取中，频率添加SVD 算法提取到了转子振动信号中3、6、9倍频振幅的周期性波动，发现导致倍频振幅波动的原因是来自于转子系统的流体支点可倾瓦轴承瓦块的周期性摆动。 参  考  文  献 [1] TIAN  Baofeng，REN  Hua，YI  Xiaofeng，et  al.  Noisesuppression  method  for  magnetic  resonance  soundingsignals  based  on  double  singular  value  decomposition[J].Radio Science，2019，54(6)：517-530.[2] ZHAO M，JIA X. A novel  strategy  for signal  de-noisingusing  reweighted  SVD  and  its  applications  to  weak  faultfeature enhancement of rotating machinery[J]. Mechanical  机  械  工  程  学  报  第57卷第**期期  10 Systems and Signal Processing，2017，94 (9)：129-147. [3] SERESHT  H  R ，AHADI S  M，SEYEDIN  S.Spectro-temporal  power  spectrum  features  for  noiserobust ASR[J]. Circuits Systems and Signal Processing，2017，36(8)：3222–3242.[4] GHADERYAN  P ，ABBASI  A，EBRAHIMI  A.Time-varying  singular  value  decomposition  analysis  ofelectrodermal activity：A novel method of cognitive loadestimation[J]. Measurement，2018，126(5)：102-109.[5] PUKENAS  K.  Algorithm  for  the  detection  of  changes  inthe  dynamics  of  a  multivariate  time  series  via  slicedcross-bispectrum[J].  Circuits  Systems  and  SignalProcessing，2018，37(2)：873-882.[6] 赵学智，叶邦彦，陈统坚.  奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用[J].  机械工程学报，2010，46(1)：100-108.ZHAO Xuezhi，YE Bangyan，CHEN Tongjian. Differencespectrum  theory  of  singular  value  and  its  application  tothe  fault  diagnosis  of  headstock  of  lathe  [J].  Journal  ofMechanical Engineering，2010，46(1)：100-108.[7] YANG  Wenxian，PETER  W  T.  Development  of  anadvanced  noise  reduction  method  for  vibration  analysisbased  on  singular  value  decomposition[J].  NDT&EInternational，2003，36(6)：419-432.[8] 赵学智，向可，叶邦彦，等.  基于二次样条小波细节信号峰值的有效奇异值确定[J].  振动与冲击，2010，29(11)：6-12.ZHAO  Xuezhi，XIANG  Ke，YE  Bangyan，et  al.Determination  of  effective  singular  values  based  ondetailed  signal  peak  with  quadratic  spline  wavelet[J].Journal of Vibration and Shock，2010，29(11)：6-12.[9] 赵学智，叶邦彦.  非零奇异值和频率的关系及其在信号分解中的应用[J]. 电子学报，2017，45(8)：2008-2018.ZHAO  Xuezhi，YE  Bangyan.  The  relationship  betweennon-zero  singular  values  and  frequencies  and  itsapplication  to  signal  decomposition[J]. Acta  ElectronicaSinica，2017，45(8)：2008-2018.[10] 赵学智，邵啟鹏，叶邦彦，等.  奇异值分解中考虑频率因素的矩阵维数[J]. 机械工程学报，2019，55(16)：7-16.ZHAO Xuezhi，SHAO Qipeng，YE Bangyan，et al. Matrixdimension  considering  frequency  factor  in  singular  valuedecomposition[J]. Journal  of  Mechanical  Engineering，2019，55(16)：7-16.[11] POSKITT  D  S.  On  singular  spectrum  analysis  andstepwise  time  series  reconstruction[J].  Journal  of  TimeSeries Analysis，2020，41(1)：67-94. [12] PORSANI  M  J，URSIN  B，SILVA  M  G.  Signaldecomposition  and  time-frequency  representation  usingiterative  singular  spectrum  analysis[J].  GeophysicalJournal International，2019，217(2)：748-765.[13] MAJUMDER S，KANJILAL P，Application of singularspectrum  analysis  for  investigating  chaos  in  sea  surfacetemperature[J].  Pure  and  Applied  Geophysics，2019，176(8)：3769-3786.[14] 丁建明，林建辉，赵  洁.  高速列车万向轴动不平衡检测的EEMD-Hankel-SVD方法[J].  机械工程学报，2015，51(10)：143-151，159.DING Jianming，LIN Jianhui，ZHAO Jie. Detection of thedynamic  imbalance  with  cardan  shaft  in  high-speed  trainapplying  EEMD-Hankel-SVD[J].  Journal  of  MechanicalEngineering，2015，51(10)：143-151，159.[15] SIDDHARTH  T，TRIPATHY  R  K，PACHORI  R  B.Discrimination of focal  and non-focal  seizures from EEGsignals  using  sliding  mode  singular  spectrum  analysis[J].IEEE Sensors Journal，2019，19(24)：12286-12296.[16] 王建国，李  健，万旭东.  基于奇异值分解和局域均值分解的滚动轴承故障特征提取方法[J].  机械工程学报，2015，51(3)：104-109.WANG  Jianguo，LI  Jian，WAN  Xudong.  Fault  featureextraction  method  of  rolling  bearings  based  on  singularvalue  decomposition  and  local  mean  decomposition[J].Journal of Mechanical Engineering，2015，51(3)：104-109.[17] WANG Panpan，YU Qiang，HU Yongjun，et al. Onlinedetection of broken rotor bar fault in induction motors bycombining  estimation  of  signal  parameters  via  min-normalgorithm  and  least  square  method[J].  Chinese  Journal  ofMechanical Engineering，2017，30(6)：1285-1295.[18] 赵学智，叶邦彦.  分量形成方式对奇异值分解信号处理效果的影响[J].  上海交通大学学报，2011，45(3)：368-374.ZHAO  Xuezhi，YE  Bangyan.  Influence  of  formation manner  of  component  on  signal  processing  effect  of singular  value  decomposition[J].  Journal  of  Shanghai Jiaotong University，2011，45(3)：368-374. [19] 赵学智，叶邦彦，陈统坚.  正弦信号非零奇异值的变化特性[J].  振动、测试与诊断，2020，40(1)：62-69.ZHAO  Xuezhi，YE  Bangyan  CHEN  Tongjian.  Study  onvariation  law  of  non-zero  singular  values  of  sinusoidalsignal[J].  Journal  of  Vibration ，Measurement  &Diagnosis，2020，40(1)：62-69.月2021年*月  赵学智等：频率添加奇异值分解算法及其在故障特征提取中的应用  11 [20]  杨期江，李伟光，赵学智，等.  挠性支承可倾瓦轴承完整动力学建模及分析[J].  噪声与振动控制，2017，37(6)：7-11.   YANG Qijiang，LI Weiguang，ZHAO Xuezhi，et al. Full dynamics  modeling  and  analysis  of  flexure  pivot  tilting pad  bearings[J].  Noise  and  Vibration  Control，2017，37(6)：7-11. [21]  杨期江，李伟光，赵学智，等.  挠性支承可倾瓦轴承动力特性研究[J].  振动与冲击，2018，37(16)：111-117.   YANG  Qijiang，LI  Weiguang，ZHAO  Xuezhi，et  al.  A study  on  dynamic  characteristics  of  flexure  pivot  tilting pad bearings[J]. Journal of Vibration and Shock，2018，37(16)：111-117.   作者简介：赵学智，男，1970年出生，博士，教授，博士生导师。主要研究方向为信号处理与机械故障诊断。 E-mail：mezhaoxz@scut.edu.cn