此项技术空白的填补，本文系统性提出基于概率统计领域国际前沿突破的 GE-VaＲ 与 GE-ES模型，论述其探索解决不确定性问题的思路。继而，基于创新性参数估计方法，率先达成相应理论与模型的有效应用。① 通过与 EVT-POT、AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法的实证比较，②证实纳入不确定性概率分布的风险管理模型的敏锐性与审慎性。尤其是，基于中国金融市场数据的研究表明，GE-VaＲ 方法是更适合我国现阶段高波动率、相对高风险与不确定性市场特征的风险监测技术。二、风险管理中所面临的现实问题为说明现有风险管理方法应用于实际金融场景时所面临的问题，首先设想如下情况: 基于深成指数 2014—2018 年的日度数据，利用公认最有效的 VaＲ 值测算方法———极值理论( EVT，extremevalue theory) ，观察其风险管理成效。③ 如图 1 所示，此方法所测算的 VaＲ 在考察期中时而被突破，即无法覆盖真实损失。具体而言，在 1220 个观测比较中，相应突破次数高达 19，频率为 1. 5574% ，显著高于预设的 1. 00% 风险水平。④图 1 基于 EVT-POT 方法的 VaＲ 失效情况分析④下文通过尽可能简单的图形探讨现有风险管理方法有效性堪忧的核心原因。假定为管理2018 年第 1 个交易日( 2018 /01 /02) 的风险，选取 2017 年全年数据测算 VaＲ 值。在概率统计分析框架下，⑤不论具体模型与方法，共性假设为: 2018 /01 /02 数据来自于与预测所用数据同一或相关分布，或遵循相同或相关的数据规律。也正因有此假设，风险管理技术繁复庞杂的发展历程主要聚焦于如何更好地把握规律。⑥ 然而，如此持之以恒的技术精进之后，依然存在图 1 所暴露的问562019 年第 7 期①②③④⑤⑥关于 GE-VaＲ 与 GE-ES，由宫晓琳等( 2015) 首次从经济、金融角度诠释非线性期望理论时，提出相关的 G-VaＲ 与 G-ES 并简要展示了其模型构建与数值实现。其后，该领域研究者基于此持续进行着有益探索，但主要在模型推导层面。因为，如笔者所知，在非线性概率领域，相应参数的估计是共识性难题。自 2011 年起，在开创性提出 G-期望理论在 CCA、VaＲ、ES、资产定价等诸领域应用前景的同时，笔者经过不断的探索、创新与迭代，已提出一系列参数估算方法，厘定一类最适合于 VaＲ 等风险管理技术的方案，使其具有与相关领域最为有效风险管理方法相比较的优势，具体实证表现详见后文。关于笔者已实现的所有参数估计方法的综述与具体说明，请见即将发表的有关论文。选择此 2 种方法的具体原因，详见后文。概言之，其在相应领域已获得相对最为广泛的认可。基于 24 篇相关论文，Abad et al． ( 2014) 系统比较了 13 种 VaＲ 方法的优劣，其中 EVT 的有效性排名第一。关于不同 VaＲ方法的比较，更为全面的总结详见本文第三部分。就被誉为最有效的 EVT 方法而言，其中的 POT 模型又因其对极端数据的有效利用而被普遍认为是在金融应用场景中更具实践价值的方法。文中具体实证应用的即为 EVT-POT 方法。另外，为便于在基于大规模数据的、为数众多的移动窗口中进行回测，其相关临界值( threshold) 的选取为相应窗口收益率序列负值的 95% 分位数，后续相关分析延续此处取值方法。不论是参数方法、非参或半参方法，也不论是否显性呈现概率分布/密度图形，可知如下对不确定性存在的分析均是适用的。详见本文第三部分的系统性回顾与总结。基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究*宫晓琳 彭实戈 杨淑振 孙怡青 杭晓渝内容提要: 本文旨在研究如何在金融风险测度中对关键性隐患———不确定性进行适度的量化分析以有效增强风险管理的审慎性。首先直观呈现“不确定性”的概率统计表现，分析其引致风险或危机事件的必然性与严重性。进而，以广泛使用的风险管理方法 VaＲ 与 ES 为例全面回顾与分析相应领域的技术发展历程，揭示解决不确定性问题的重要性。由此，基于概率统计领域的国际前沿突破与相应参数估计方法的创新发展，系统性提出兼容无穷可能不确定性分布的风险审慎管理模型 GE-VaＲ 与 GE-ES，进一步地，通过与公认最有效的风险测度方法相比较，证实纳入概率分布不确定性的风险管理模型的敏锐性与审慎性，以及对中国现阶段高波动率、相对高风险、高不确定性市场特征的适用性。关键词: 不确定性 风险管理 非线性期望理论 VaＲ ES* 宫晓琳、孙怡青、杭晓渝，山东大学经济学院，邮政编码: 250100，电子信箱: gxiaolin@ sdu． edu． cn; 彭实戈，山东大学数学学院、金融研究院，邮政编码: 250100，电子信箱: peng@ sdu． edu． cn; 杨淑振，山东大学金融研究院，邮政编码: 250100。本研究得到泰山学者工程专项经费和山东大学杰出青年、青年学者未来计划资助。作者感谢匿名评审专家的良好建议，文责自负。① 参见 Knight( 1921) 。② 不包括保险业务中主要处理风险的相关问题。一、引 言如 Tversky ＆ Fox( 1995) 所及，风险问题假设可能结果发生的概率为已知，而不确定性问题则假设其为未知。如根据不确定性的可量化程度区分不同的不确定性前景( uncertain prospects) ，大部分决策介于风险决策( decision under risk) 与无知决策( decision under ignorance) 两个极端之间，属于不确定性决策( decision under uncertainty) 。即人们通常不知道相关结果的确切概率，却对其可能性有一些模糊( vague) 的概念。另一方面，由 Frank Knight 等大师的论著可知，①经济、金融领域的决策一般为此类不确定性决策。②而且，此不确定性所可能引致的问题较为严重，关乎危机防范、金融安全与经济稳定。尤其是，随着全球各经济体内部与其相互之间的经济、金融关联日益繁复，金融风险与危机呈现出系统性且其对实体经济的冲击更为迅猛，因此风险防控的审慎性愈发重要。如何应对与解决由不确定性所造成的风险管理的薄弱环节是理论界的前沿探索，是金融业界为实现稳健经营的核心技术攻关。中国当前经济外部形势严峻，内部调整在进行中，经济面临下行压力，金融市场波动，风险隐患形成负面冲击的可能性与危害较之在经济增长期时更大。可测度的风险需密切监控，不可测度的不确定性同样或更加值得关注。由此，严密防范金融风险尤其是系统性风险的任务重、责任大，创新适合中国经济金融发展现状的、更为敏锐与审慎的风险管理理论、技术与方法尤为重要。本文首先通过公认最为有效的 EVT-VaＲ 说明现有风险管理方法有待提升。进而，通过直观呈现金融数据概率统计分布的不确定性，阐明此不确定性问题是影响风险防控有效性的关键。在全面回顾、分析已有 VaＲ 与 ES 方法的基础上，揭示该关键问题至今悬而未解、有待攻克。为46 /01 /02 数据的真实来源; 同时也无法确知其来源分布的真实形态。而不确定性的存在必然影响对风险的准确测度与防范，从而成为风险管理中不可避免的隐患。①三、风险管理技术的改进历程———以 VaＲ 和 ES 为例如我们所知，20 世纪 80—90 年代，一系列金融动荡( 如黑色星期一、日本股价泡沫等) 推动了一轮风险管理技术创新。其中，1988 年巴塞尔协议( Basel I，also called the Basel Accord) 对银行信用风险、市场风险、操作风险的监管提出指导性建议，以确保金融机构备有充足资本偿还债务和弥补未预期损失; Morgan 提出一种简洁可行的量化风险管理工具 VaＲ( value at risk) ，即在险价值。作为一种基于标准统计技术的风险评估方法( Nadarajah ＆ Chan，2016) ，VaＲ 的应用在金融业界得以推广，包括: 巴塞尔银行监管委员会于 1996 年建议将其应用于计算银行交易账户市场风险最低资本要求的模型之中。此后，历经国际金融市场的几番起伏，VaＲ 方法持续被优化提升。其中，就计算单个资产的VaＲ 而言，主要有参数方法、非参方法及半参方法。参数方法假定收益率数据来自某一含参分布，因而可通过厘定相应参数以估计 VaＲ。1996 年 J． P． Morgan 提出的风险矩阵( risk-metrics) 为最经典的参数方法。然而，该方法依赖于较强假设，即收益率正态分布假设与独立同分布假设，但真实数据却往往呈现非正态( 如尖峰、厚尾与偏度) 和非独立同分布( 如波动率聚集) 等特征。此外，该方法在利用 EWMA 模型估计收益率条件波动率时，虽可捕捉波动率的时变性与聚集性等非线性特征，却并未充分考虑非对称性与杠杆效应( Black，1976; Pagan ＆ Schwert，1990) 。相应的改进方案遵循如下思路展开: ( 1) 寻求更精准的波动率模型以体现相应的收益率波动特征，如 AＲCH、GAＲCH、AＲMA-GAＲCH、随机波动率 ( stochastic volatility，SV) 、已实现波动率 ( realized volatility，ＲV) 等模型，但部分学者提出质疑并指出，波动率预测与 VaＲ 预测是不同的两个目标，因此最佳波动率模型并不一定意味着最佳 VaＲ 模型( Bams et al．，2017) ; ( 2) 寻找其他密度函数以展现收益率的偏度、峰度等特征，如偏斜 t 分布( skewed student’s t distribution) ( Hansen，1994) 、偏斜广义 t 分布 ( skewed generalized t distribution ) ( Theodossiou，1998 ) 、高 斯 混 合 分 布 ( Gaussian mixturedistribution) ( Zhang ＆ Cheng，2005 ) 、帕 累 托 严 格 稳 定 分 布 ( pareto-positive stable distribution )( Sarabia ＆ Prieto，2009) 、对数折叠 t 分布( log-folded t distribution) ( Brazauskas ＆ Kleefeld，2011) 等;( 3) 探索进一步使用时变高阶条件矩( 如时变偏度) 等。与上述理论逻辑不同，非参方法假定数据来自非特定分布，主要有历史模拟法( historicalsimulation) 、非参 密 度 估 计 法 ( non-parametric density estimation methods ) 等。而 半 参 方 法 ( semi-parametric method) 则将参数方法与非参方法相结合，包括: ( 1) 波动率加权历史模拟法( volatility-weighted historical simulation) ，即将历史模拟法与波动率模型相结合，根据波动率近期变动更新收益率信息。( 2) 过滤历史模拟法( filtered historical simulation) ，即首先利用渐近 GAＲCH 模型拟合条件波动率模型，继而实施历史模拟法( Hull ＆ White，1998; Barone-Adesi et al．，1999) 。( 3) 基于分位数回归的方法，其基本思想是仅就分位数建模而非整个分布，如条件自回归在险价值( CAViaＲ: conditionalautoregressive value at risk) ( Engle ＆ Manganelli，2004) 、期望分位数在险价值( EVaＲ: expectile-basedvalue at risk) ( Kuan et al．，2009; Bellini ＆ Di Bernardino，2017; Chen，2018) 、基于非对称拉普拉斯分布762019 年第 7 期① 宫晓琳等( 2015) 利用自回归条件异方差方法呈现了金融数据概率分布不确定中的参数不确定性，但是并未分析与阐明分布不确定这一对尾部风险管理更为重要的问题。而且，就 Fryzlewicz ＆ Ｒao( 2014) 所提出的自回归条件异方差方法而言，虽然其在相当程度上揭示了金融数据的变迁性分组规律，但在实证层面可知，其主要参数的厘定对分组结果影响显著，反而凸显了本文此前强调的分布 /分组不确定性问题。aＲ-ES 联合模型( Taylor，2019) 等。( 4) 基于极值理论( extreme value theory，EVT) 的方法，重点关注极端收益率的有限分布( 其基本独立于收益率分布本身) ，主要包括: Mc Neil( 1998) 提出的分块最大模型( block maximal models，BM) ; 超临界值峰值模型( peaks-over-threshold model，POT) 。而后者可通过基于 Hill 估计的半参数模型( Beirlant et al．，1996) 或基于广义帕累托分布的完全参数模型( Embrechts et al．，1999) 实现。( 5) 蒙特卡罗模拟( monte Carlo simulation) 。另外，如需获得资产组合或不同风险因素下的 VaＲ 值估计，则需将资产之间及风险因素之间的关系纳入考量，主要处理方法包括: 方差—协方差法( variance-covariance method) 、Copula 方法( Nelsen，1999; Huang et al．，2009) 、主成分分析法( Brummelhuis et al．，2002) 、资本资产定价模型( Fernandez，2006) 、时变系数分位数关联回归模型( Ye et al．，2017) 等。综上所述，VaＲ 测算所基于的分布与方法种类繁多，囿于篇幅无法一一列出。① 针对不同方法，学术界对其预测表现展开了大量实证对比与分析。各文献比较范围略有不同，且比较对象有限，但基本涵盖了参数、非参、半参方法之间的对比，并得到较为一致的结论: 这三种方法中，非参方法( 主要分析对象为历史模拟法) 与参数方法( 主要关注基于正态分布和 t 分布的模型) 普遍表现不理想，而半参方法的预测效果相对较优。其中，基于极值理论的方法与过滤历史模拟法的研究较多，这两种方法在大部分实证检验中表现最佳( Kuester et al．，2006; Giamouridis ＆ Ntoula，2009;Marimoutou et al．，2009; Ozun et al．，2010; Ergun ＆ Jun，2010) 。尤其是极值理论方法，甚至被一众文献论证远优于过滤历史模拟法。关于 ES 方法，Artzner et al． ( 1999) 定义了“一致性风险测度”及其所需条件，即齐次性、单调性、次可加性和转换不变性，指出 VaＲ 不是一致性风险测度( 违反次可加性) ，并提出一种一致性风险测度———尾部条件期望，又称条件在险价值( conditional value at risk，CVaＲ) ，衡量损失超过 VaＲ时的期望。CVaＲ 是定义在连续分布上的一致性风险测度，然而它在非连续分布上仍然违反次可加性。进而，Acerbi ＆ Tasche( 2002) 提出在非连续分布上也具有一致性的风险测度，即预期损失( expected shortfall，ES) 。然而，ES 也有其自身难以克服的问题，例如形式复杂、不直观，且回测困难等。所以，自 ES 被提出以来，各界就是否以 ES 取代 VaＲ 争论不休。2006 年全球金融市场的相对平稳期之后，一系列严重冲击实体经济的金融动荡揭示上述一再精进的风险管理方法均有其不足之处。究其原因，对不确定性问题的疏漏被界定为关键。风险管理技术改进的思路开始有所调整。从上述对 VaＲ 发展历程的简述可知，此前的路线是基于标准模型( standard models) 及方法实施改进，主要关注提高分布形状的现实合理性与参数估计的精确度，却并未考虑不确定性问题。然而，如本文第二部分所及，不确定性问题是客观存在、无可规避的，不论分布形态模型的合理性与参数估计的精确度如何提升，该问题必定对风险测度的准确性产生重要影响。其实，芝加哥学派鼻祖 Frank Knight 对此早有预见，却未及时得见相应领域的有效调整。由此亦可推知，风险管理技术发展中对不确定性问题的忽略亦有其他原因。正如 Knight( 1921) 所述，可测度的为风险，不可测度的为不确定性。由此可见测度不确定性的艰难之处。因为我们面临着一个非常有趣的悖论: 测度不可测度的变化。那如何应对此技术挑战呢? 近年来，概率统计领域的前沿探索为此提供了一定思路，②基于此，本文探索将不确定性纳入风险管理的基本思路: 既然不确定性被界定为无从测度的变化而其又切实存在，那么就不直接对其进行测度，但确实将其纳入模型构建之中并真实反映其变化无穷的特征。如此一来，就较好地处理了上述悖论。但接踵而至的问题是: 如何就此包含无限复杂情况的模型实现风险测度? 对此问题的处理直接而巧妙，因为在风险86宫晓琳等: 基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究①②Nadarajah ＆ Chan( 2016) 就此进行了较为详尽的整合与总结，共列出参数方法 30 余种、非参方法、半参方法各 10 余种。详见宫晓琳等( 2015) 。其根源是什么? 简言之，我们是否可以明确 2018 /01 /02 数据究竟来自哪一个分布或哪一个具有一定共性规律的数据组?① 其可能来自我们惯性认为的 2018 年度数据所代表的分布。但是，日历年度是划分数据组的合理依据么? 若将资本市场数据视作宏观经济与微观经济体运营状况的反映，可知经济周期的波动及微观经济体发展的起伏与日历年度并不严格契合。换言之，由该数据所归属的分布规律所输出的数据长度可能 ＞ 243 或 ＜ 243。② Fryzlewicz ＆ Ｒao ( 2014) 就此问题进行了开拓性分析，提出利用自回归条件异方差方法实现市场统计结构变化的断点识别，其结论在学术界得到广泛认同。同理可推知，从时间序列的角度，2018 /01 /02 数据也并非必然是新分布的初始点。综上，该数据可能源自一个日数据体现长度为 n 的分布，且其在长度为 n的日数据时间序列中的次序为 m。由此，若令窗口宽度为 n，通过移动窗口，可获得大量不同的数据组。同等重要的是，即使在明确 m 与 n 的情况下，我们也无从知道分布的具体形态。通过大量的实证研究，我们明确知道，实际数据所呈现的分布一般并非正态。另一方面，由为数众多的拟合方法及其结果可推知，可能的分布形态为数众多。尤其，各类方法均为基于历史数据与一定假设条件的对未来的推测，而该推测几乎从来没有完全准确过，只是在一定假设条件保障下的、或可接受的、已有方案中的或许最优。但在很多关键情况下，譬如市场发生较大变化时，即最需要风险管理发挥效力时，预测的偏差往往反而变大。此问题对尾部风险尤为重要。虽然颇多方案( 如带跳模型等) 已充分认识到此问题并持续精进相关技术，但是无论模型设计为何、对历史数据的拟合程度为何，依然面临预测时难以准确推断尾部分布形态的问题，因为其可能的形态是无穷的。图 2 不确定性在概率分布形态中的体现为了简化问题，图 2 仅呈现了以 2018Q1 数据与年度数据所推知的分布和以 2018 /01 /02 为中数、长度分别为 1Y 与 1Q 数据所推知的分布，以及 2017 年度数据所代表的分布。此外，为展示分布形态的不同，同时呈现了经典的正态分布、公认的较优拟合方法———核密度分布、混合高斯分布与偏斜 t 分布( skewed student’s t distribution，SKST) 。图 2 清晰揭示出: 不论使用何种数据分组方法与拟合方法，用以预测 VaＲ 值的各类分布均与其他所有分布存在相当的偏差。尤其，从左尾放大图可知，对风险测度至关重要的尾部区间的分布差异尤为显著。从哲学的简单推导可知，未来不是过去的简单重复，历史数据仅可作为预测未来的参考，却无法由其准确推知未来。我们无法确知相关的 n × m 个可能的分布中，究竟哪一个才是66宫晓琳等: 基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究①②下文以分布同时指代数据组。2018 年度交易日总数量。场景中，即使其涵纳无穷量的不确定性而致使我们无从进行确认性判断，只需同时兼容所有相关的不确定性并就其中的最大风险情况进行计量，即可实现对风险的审慎测度。① 然而，虽然上述解决问题的理念相对清晰，最大的困难却是模型中各参数的估算，相关探讨详见下文。四、纳入不确定性分布的风险管理模型及其数值实现本节具体包括三部分内容，分别阐述相应的模型构建、算法设计与参数厘定。其中，在模型部分，以 VaＲ 为例，基于对风险管理中概率统计假设与模型的研讨，引入纳入不确定性分布的模型，说明其应用于风险管理的实现形式。进而，探讨相应模型的算法实现。最后，介绍有关参数估算的解决方案。( 一) 纳入不确定性分布的风险管理模型如 Jorion( 1990，1997) 所及，VaＲ 实质为资产分布的条件分位数。若给定 α∈( 0，1) ，金融资产收益率 X 在风险水平 α 下和一定持有期内的在险价值 VaＲ 是 X 的 α 分位数的负值，即:VaＲα( X) = － inf{ x: F( x) ＞ α} ( 1)其中，F( x) = P( X≤x) 为 X 的分布函数。可知，VaＲ 值测算的关键在于对其分布函数或概率测度的假设。如本文第三部分所述，各种假设均未能实现对风险的审慎测度。究其原因，关键在于遗漏了对不确定性的处理。要进一步提升风险管理的有效性，首先需引入将不确定性纳入考量的概率统计模型。1． 纳入不确定性的概率统计模型假定一维随机变量 X 的概率分布并非单一的或确定性的，而是具有无限可能的。记其概率测度族为{ Pθ}θ∈Θ。在非线性期望理论框架下，②随机变量 X 的分布可定义为:^X［φ］: =^［φ( X) ］: φ ∈ Cl，Lip( ) ( 2)其中，Cl，Lip( ) 是由满足如下条件的函数 φ 构成的线性空间:| φ( x) － φ( y) | ≤ C( 1 + | x |m+ | y |m) | x － y | ，x，y ∈ ( 3)给定次线性期望空间( Ω， ，^) ，其中 Ω 为给定集合， 是定义在 Ω 上的实值函数组成的线性空间，^为定义在 上的次线性期望，有定义在( Ω， ) 上的一族线性期望{ Eθ: θ∈Θ} 满足:^［X］ = maxθ∈ΘEθ［X］ ( 4)如果对于 中每一个单调下降，且在每一点 ω∈Ω 都有 limi→∞Xi( ω) = 0 的随机变量序列{ Xi}∞i = 1，均有^［Xi］↓0，则对每一个 θ∈Θ，存在唯一定义在可测空间( Ω，σ( ) ) 上的概率测度 Pθ使得:Eθ［X］ = ∫ΩX( ω) dPθ( ω) ( 5)其中，σ( ) 是 中的随机变量全体生成的最小 σ 代数。962019 年第 7 期①②此处涉及两个值得探讨的问题。在哲学层面，以确定的测度方法测算不确定性，虽然不论从理论与模型推导抑或实证分析，均可知确实已将不确定性纳入考量，但是否无所遗漏却是不确定的。同时，由后文可知，本文所基于的前沿概率统计模型是与正态分布相关的无穷量类正态分布。这一假设也符合金融数据实际情况，尤其此类正态分布可具备尖峰、厚尾、偏度等特征。因而本着学术探讨的严谨性，本文将其可测度的不确定性表述为“部分性”、“适度的”。此外，通过求取最大值而实现的在不确定分布情况下的风险测度，必然引起的反思是: 是否存在对风险的过度防范从而导致资金使用效率低下的问题。后续的实证分析结果可消除此顾虑。详细内容参考文献 Peng( 2010) 。-CCA 方法实现的中国宏观金融风险更审慎的分析结果，为此开拓性方法奠定了严密的理论基础，Jin ＆ Peng( 2016) 基于非线性大数定理( Peng，2010) 给出关于最大分布参数的最优渐近无偏估计。宫晓琳等( 2015) 基于自回归条件异方差方法测度了σ、σ，并初步实现了 VaＲ、ES 方法的测算，使参数估计具有良好的统计学理论解释。然而，该方法有其自身难以克服的问题。在后续一系列的改进性方案中( Gong et al．，forthcoming) ，本文甄选了动态平滑极值移动窗口方法，使得 GE-VaＲ方法的风控表现具有了与相关领域最优方法相比较的优势。①以下，给定样本数据{ Xt}0≤t≤T，对于任一固定时刻t，利用动态平滑极值移动窗口法估计参数σt + 1、σt + 1，以预测时刻t + 1 的 GE-VaＲ。首先，为增强市场实时信息的权重，以提升风险管理敏感度与资金利用效率，可对数据进行动态平滑极值处理。选取t + 1 时刻之前、长度为 W 的历史数据，即{ Xt}t － W + 1≤t≤t，为叙述简便，记此 W个历史数据为{ Xj}1≤j≤W，{ Xj} 为t + 1 前第 j 个样本数据，即 Xt + 1 － j。为计算样本方差，设定长度为W0的窗口，记为:Xt +1，W0=1W0∑W0k = 1Xkσ2t +1，W0=1W0－ 1∑W0s = 1( Xs－ Xt +1，W0)2( 23)令 σt + 1，W0= σ2t + 1，W槡0，对样本数据{ Xj}1≤j≤W进行如下处理，记处理后的样本数据为{ Yj}1≤j≤W:Yj= γσt +1，W0， Xj≥ γσt +1，W0Yj= Xj， － γσt +1，W0＜ Xj＜ γσt +1，W0Yj= － γσt +1，W0， Xj≤－ γσt +1，W{0( 24)其中，0 ＜ γ ＜max{ | Xj| }1≤j≤Wσt + 1，W0。② W0可与如下 W1相等，其动态移动亦可同步于 W1。利用移动窗口法估计参数σt + 1、σt + 1，设定窗口长度为 W1，令:Yt +1，m，W1=1W1∑m + W1－1l = mYl，m = 1，2，． ． ． ，W － W1+ 1σ2t +1，m，W1=1W1－ 1∑m + W1－1l = m( Yl－ Yt +1，m，W1)2，m = 1，2，． ． ． ，W － W1+ 1 ( 25)将上述方差序列记为{ σ2t + 1，m，W1}1≤m≤W － W1+ 1，令:^σ2t +1= min{ σ2t +1，m，W1}1≤m≤W －W1+1^σ2t +1= max{ σ2t +1，m，W1}1≤m≤W －W1+1( 26)以 ^σ2t槡+ 1作为σt + 1的估计， ^σ—2t槡+ 1作为σt + 1的估计。由 GE-VaＲα( X) = －^－ 1( α) 即可得到GE-VaＲW1t + 1。五、纳入不确定性分布的审慎风险监测实证检验本节基于金融市场实际数据，通过比较分析，以实证纳入不确定性分布的风险计量方法的有效性。具体而言，将基于深成指数，通过比较 GE-VaＲ 方法、EVT-POT 方法和 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) －27宫晓琳等: 基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究①②感谢北京天元数学与信息技术综合应用研究中心的许继来，在相关研讨中给予重要的启发。关于 γ 的取值，可根据相应机构对于突破率、损失规模、过度防范之间的平衡要求而具体厘定。上述纳入不确定性的概率统计模型的构建原理可简述为: 基于金融数据呈现出的分布不确定性，假定其概率测度为无穷可能。因无从了解每一可能概率测度的具体情况，以其期望作为各类情况的标识，可得一族期望{ Eθ［φ( X) ］}θ∈Θ。此一族期望依然不可知，但在特定情况下，可求其最大值。回顾前文可知，这也恰恰契合本文对不确定情况下风险审慎测度的解决思路。2． 纳入不确定性的 VaＲ 模型基于上述讨论，可将纳入不确定性的 VaＲ 模型定义为以下形式，即θ∈Θ:VaＲ^α( X) : = － inf{ x:^( x) ＞ α} ≥ VaＲθα( X) ( 6)其中，VaＲθα( X) = － inf{ x: Fθ( x) ＞ α} 。称( 6) 式中的 VaＲ^α( X) 为 GE-VaＲ，因其是在非线性期望( 又称 G-Expectation) 框架下所构建。①3． 纳入不确定性的 ES 模型2012 年曾被巴塞尔委员会提议替换 VaＲ 的另一重要风险管理指标———ES，在通过纳入不确定性因素进行优化的过程中，具体实现形式如下，称为 GE-ES:GE-ES = －1α∫－ GE-VaＲα－ ∞xf( x) dx= －1α∫inf{ x:^( x) ＞ α}－ ∞xf( x) dx ( 7)由公式( 19) ，可进一步表示为:GE-ES = －1α∫inf{ x:^［1X≤x］ ＞ α}－ ∞xf( x) dx ( 8)其中，f( x) 为^( x) 的导函数。( 二) 纳入不确定性分布的风险管理模型的数值实现由实证分析可知( 如图 2) ，其分布形态具有一定的正态特征，同时兼具尖峰、厚尾、偏度等特性，更重要的是其具有不确定性。为尽可能的综合金融数据分布的上述情况，假定相应随机变量 X服从非线性期望框架下的 G-正态分布 N( 0，［σ2，σ2］) ，②即:给定次线性期望空间( Ω， ，^) 的随机变量 X，满足:aX + b X =da2槡+ b2X，a，b ≥ 0 ( 9)“=d”表示次线性情形下的同分布: 称 中的随机变量 X 和 Y 为同分布，记为 X =dY，如果:^［φ( X) ］ =^［φ( Y) ］，φ ∈ Cl，Lip( ) ( 10)其中，X为 X 的一个复制，即X =dX，且X独立于 X。另外，定义如下函数:μ( t，x) : =^［φ(槡x + tX) ］，( t，x) ∈ ［0，∞ ) × ，φ ∈ Cl，Lip( ) ( 11)由定义有^［φ( X) ］= μ( 1，0) ，同时由 Peng( 2010) 可知，μ 为如下 G-热方程的解:tμ －12( σ22xxμ+－ σ22xxμ－) = 0，μ |t = 0= φ ( 12)其中，σ2=^［X2］，σ2= －^［－ X2］，2xxμ+= max 0，2xx( μ) ，2xxμ－= max 0，－ 2xx( μ) 。07宫晓琳等: 基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究①②由 G-期望的定义与一致性风险度量的定义( Artzner et al．，1999) 可知，在非线性期望理论框架下所构建的 GE-VaＲ 是一致性风险度量方法。关于 G-正态分布的相关理论与模型推导详见 Peng( 2010) 。如果 φ 在 上为凸函数，即:φ［λx + ( 1 － λ) y］≤ λφ( x) + ( 1 － λ) φ( y) ，x，y ∈ ，λ ∈ ［0，1］ ( 13)则有: 2xxμ－≡0，G-热方程变为:tμ =σ222xxμ+，μt = 0= φ ( 14)进而可得:^［φ( X) ］ = ∫∞－ ∞φ( x)12槡π σ2exp －x22 σ( )2dx ( 15)如果 φ 在 上为凹函数，即:φ［λx + ( 1 － λ) y］≥ λφ( x) + ( 1 － λ) φ( y) ，x，y ∈ ，λ ∈ ［0，1］ ( 16)可得:^［φ( X) ］ = ∫∞－ ∞φ( x)12槡π σ2exp －x22 σ( )2dx ( 17)在经典概率空间下，随机变量 X 的分布函数可表达为如下形式:F( x) = E［1X≤x］① ( 18)同理，在非线性期望框架下，有:^( x) =^［1X≤x］ ( 19)综上，可得:^( x) = ∫x－ ∞槡2( σ + σ)槡πexp －y22 σ( )21y≤0+ exp －y22 σ( )21y ＞[ ]0dy=2 σσ + σΦ(x )σ1x≤0+ 1 －2 σσ + σΦ －x[( ) ]σ1x ＞ 0( 20)其中，1X≤x为示性函数，Φ 是标准正态的分布函数。又由于^单调递增，所以:^－1( α) =Φ－1σ + σ2 σ( )α·σ，0 ＜ α ≤σσ + σ－ Φ－1σ + σ2 σ( 1 － α[ )]·σ， σσ + σ＜ α ＜{1( 21)由此，( 6) 式 GE-VaＲα可解为:GE-VaＲα( X) = －^－1( α)= － inf{ x:^［1X≤x］ ＞ α} ( 22)( 三) 纳入不确定性分布的风险管理模型的参数厘定方法由上述关于模型求解的探讨可知，σ与σ的算法为计量 GE-VaＲ 的关键，也是非线性期望领域的研究难点与重点。随着对此问题认知的不断加深、对不同应用场景特殊性的逐步把握，已形成一系列不同的参数估计方法。宫晓琳( 2012) 在利用未定权益分析方法( CCA) 测算中国宏观金融风险时，意识到非线性期望这一前沿概率统计方法为应对不确定性问题提供了难得的解决思路。但是，该理论长期受制于参数估计的难以实现。在突破性提出历史窗口法与移动窗口法之后，宫晓琳172019 年第 7 期① F( x) = ∫x－ ∞ρ( y) dy = ∫x－ ∞1·ρ( y) dy + ∫+ ∞x0·ρ( y) dy = ∫x－ ∞1y≤xρ( y) dy = E［1X≤x］。图 5 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST( W =500) 与 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST( W =1000)况下，两种方法的突破次数与突破率则分别为: 64，1. 7773% ; 44，1. 2222% 。两种方法的突破率均不降反增。简言之，即使在显著扩充样本的情况下，两类相对最优方法的风控效力仍有待提升。另一方面，图 6 展示了 GE-VaＲ 方法基于同一数据的风控状况。其中，被突破量共计 31 次，相应的突破率为 0. 6782% ，显著优于上述两类方法。图 6 GE-VaＲ 风控情况分析上文从突破率这一最核心、最重要的方面对 3 种不同 VaＲ 方法进行比较。关于不同 VaＲ 方法间的比较，有颇多维度与指标。① 其是否构成完善且一致的评价体系有待进一步探讨，但可明确的是其中常用方法包括: 区间预测似然比检验( likelihood ratio test，LＲ) 、动态分位数检验( dynamicquantile test，DQ) 、损失函数( loss function，LF) 等。首先，虽然关于 LＲ 方法的有效性颇有争议，但是本文依然进行了相关检验，且结果非常有趣。在有关 VaＲ 方法比较研究的文献中，常有某些参与比较的方法无法通过此项检验。但是由于本文所采用的 EVT-POT 与 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) －SKST 为优选之方法，所以二者均通过了无条件覆盖检验、独立性检验、条件覆盖检验。反而，GE-VaＲ 方法因其风险防控结果太好，突破率过低，未通过相应检验。其次，就 DQ 方法而言，三种方法均通过检验。最后，关于损失函数的比较，具体情况如下:表 1 VaＲ 方法的损失函数分析VaＲ 方法 EVT-POT AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST GE-VaＲ损失函数值 55. 0151 57. 0147 31. 007947宫晓琳等: 基于不确定性分布的金融风险审慎管理研究① 详见 Christoffersen( 1999) 、Engle ＆ Manganelli( 2004) 和 Lopez( 1999) 。T 方法，以验证纳入不确定性分析的模型在审慎性风险管理方面的优势。① 其中，关于数据选择，因现阶段中国金融市场具有波动性较大、不确定性较强等特征，在金融稳定与安全成为国家安全重要组成部分的背景下，创新适合中国经济、金融发展现状的风险管理方法是为防范化解( 系统性)风险提供切实的技术支持。② 而与 EVT-POT 方法和 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法相比，因为 EVT 方法具有广泛认可度，AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法则是经文献实证认可的最优参数方法( Kuester，2006) 。图 3—6 展示了此 3 种方法的比较情况。图中的密集折线反映了 2000 /01 /05—2018 /12 /28 期间深成指数的收益率波动状况，波折线之下的虚线是以负值呈现的 3 种方法在 1. 00% 风险水平( 也即99% 置信水平) 下的 VaＲ 输出值。由图 3 可明确，考察期内共计 4351 个观测比较中，EVT-POT 与 AＲ( 1)－ GAＲCH( 1，1) － SKST 方法的突破次数分别为 55 次与 57 次，突破率分别为 1. 2641% 与 1. 3103% 。图 3 EVT-POT 和 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法风控情况分析为进一步说明问题，我们将 EVT-POT 方法与 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法的样本数据长度由 250 个交易日分别延长至500 个交易日乃至1000 个交易日。因为一般性风险管理方法可通过增加样本数据提高风险监控的审慎程度。相应的计量结果如图 4、图 5 所示。可知，增加历史数据长度对 EVT-POT 方法与 AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法风险管理成效的改善相当有限。当历史窗口为 500 个交易日时，EVT-POT 方法的突破次数为 50，相应的突破率降低为 1. 2192% ; AＲ( 1) － GAＲCH( 1，1) － SKST 方法的突破量为45 次，相应的突破率降为 1. 0976% 。在样本量为 1000 个交易日的情图 4 EVT-POT( W =500) 与 EVT-POT( W =1000)372019 年第 7 期①②关于 ES 的实证分析详见后续研究。这并不意味着本文所提出的新型方法不具备普遍适用性，基于全球主要金融市场数据进行的实证分析后续将逐步发表。因为提升风险管理水平是全球金融领域面临的共性目标，一项有效的技术进步必须具备可推广性。但因不同市场的差异化，模型应用涉及相应的参数调整，所以不在同一文献中集中呈现。