ｒｓｅ　ｗｈｅｎ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ　ａｒｅ　ｎｏｔ　ａｖａｉｌａｂｌｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｇｒａｎｕｌｅｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｂｙ　ｇｒａｎｕｌａｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ａｎｄ　ａｎｙ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｂｅｎｅｆｉｃｉａｌ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ａｎｄ　ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｇｒａｎｕｌｅｓ．Ａｓｉｓ　ｗｅｌｌ－ｋｎｏｗｎ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍａｉｎｌｙ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｍｍｏｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｔｏｏｌｓ　ａｒｅ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ．Ｃｏｍｍｏｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅａｎａｌｙｓｉｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎｎｅｓｓ　ｏｆ　ａ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｂｙ　ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄｂｙ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ａｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｈａｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｗｏｒｌｄ，ｍａｙ　ｎｏｔｏｎｌｙ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ，ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ｐａｒｔｏｆ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ，ｏｒ　ｅｖｅｎ　ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ａｎ　ｏｂｊｅｃｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ．Ｉｎｆａｃｔ，ｃｏｍｍｏｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｅｍｐｈａｓｉｚｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｈａｓ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｏｎｅｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｆｒｏｍ　ｃｏｍｍｏｎ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｅｍｐｈａｓｉｚｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｈａｓ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｂｅｌｏｎｇｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅｏｎｌｙ．Ｉｎ　ｏｔｈｅｒ　ｗｏｒｄｓ，ｂｅｓｉｄｅｓ　ｔｈｅ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ａ　ｇｒａｎｕｌｅ，ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｍａｙ　ａｌｓｏ　ｉｎｖｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｄ　ｂｙ　ｐａｒｔ　ｏｆｏｂｊｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｒａｎｕｌｅ．Ｃｕｒｒｅｎｔｌｙ，ｉｔ　ｓｔｉｌｌ　ｌａｃｋｓ　ｏｆ　ａ　ｔｈｏｒｏｕｇｈ　ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｆｒｏｍｔｈｅ　ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ　ｏｆ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｂｙｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ｇｒａｎｕｌｅｓ　ｆｒｏｍ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｕｐｐｅｒ　ａｎｄｌｏｗｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ　ｆｒｏｍ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ　ｔｈｅｏｒｙ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ，ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｂａｓｅｄｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｌｏｇｉｃ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ａｆｔｅｒ　ｔｈａｔ，ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｉｎ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔｅｘｔｓａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｉｎ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔｅｘｔｓ，ｇｒａｎｕｌｅｓ　ａｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｗｉｔｈｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ　ｔｈｅｙ　ｈａｖｅ，ａｎｄ　ｉｎ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ　ｃｏｎｔｅｘｔｓ，ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ　ｔｈｅｙ　ｄｏ　ｎｏｔ　ｈａｖｅ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｕｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ　ａｒｅ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｔｏ　ｅｘｐｒｅｓｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｎｔｓｏｆ　ｃｏｎｃｅｐｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ－ｏｒｉｅｎｔｅｄ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｌａｔｔｉｃｅｓ　ｏｆ　ａ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔｅｘｔ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ，ａｎｄ　ａｕｎａｒｙ　ｄｅｆｉｎａｂｌｅ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｏｎｅ　ｕｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ　ｗｈｉｌｅ　ａ　ｕｎａｒｙ　ｉｎｄｅｆｉｎａｂｌｅ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ａｐａｉｒ　ｏｆ　ｕｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａｓ　ｔｈｅ　ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ．Ａｎｄ　ｔｈｅｎ，ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｂｏｔｈ　ａ　ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔｅｘｔ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ，ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｔｈｒｅｅ－ｗａｙ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｌａｔｔｉｃｅｓ　ａｒｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄ　ｂｉｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ　ａｒｅｄｅｆｉｎｅｄ　ｔｏ　ｅｘｐｒｅｓｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｎｔｓ　ｏｆ　ｃｏｎｃｅｐｔｓ　ｏｆ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｂａｓｅｄ　ｔｈｒｅｅ－ｗａｙ　ｃｏｎｃｅｐｔｌａｔｔｉｃｅｓ．Ａｌｓｏ，ａ　ｂｉｎａｒｙ　ｄｅｆｉｎａｂｌｅ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ａ　ｂｉｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ　ｗｈｉｌｅ　ａ　ｂｉｎａｒｙｉｎｄｅｆｉｎａｂｌｅ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ａｐａｉｒ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａｓ　ｔｈｅ　ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｒｅｅ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｒｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈ　ｅａｃｈ　ｏｔｈｅｒ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｂｉｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｂａｓｅｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｕｎａｒｙ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ　ｂａｓｅｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｔｏ　ｔｈｏｓｅ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ－ｏｒｉｅｎｔｅｄ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｌａｔｔｉｃｅｓ　ｏｆ　ａｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔｅｘｔ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　 ｇｒａｎｕｌａｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ；ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ；ｆｏｒｍａｌ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｔｔｒｉｂｕｔｅａｎａｌｙｓｉｓ；ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ；ｔｈｒｅｅ－ｗａｙ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｌａｔｔｉｃｅ１　引　言粒计算（Ｇｒａｎｕｌａｒ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ）是一种看待客观事物的世界观和方法论．随着 Ｚａｄｅｈ教授对模糊信息粒化思想的逐步完善［１］，研究人员对信息粒化的兴趣愈发浓厚．Ｚａｄｅｈ教授认为很多领域都存在信息粒的概念，只是在不同领域中它的表现形式会有一定差异．实际上，信 息粒是对 现 实事物的 一种抽象，信息粒化是人类处理和存储信息的一种具体反映．粒计算通常把复杂问题进行抽象、分解、转化，从而得到若干相对简单的子问题，以实现复杂问题的１２３０７２期 智慧来等：基于必然属性分析的粒描述算的前提和基础，它可以看作是问题空间的一个划分过程．在给定粒化准则的情况下，信息粒化能够产生一系列描述问题空间的信息粒．这些粒之间再配备相应的偏序关系就构成多层次的粒结构．粒计算通过不同粒层上粒之间的转换与推理，以及同一粒层上粒之间的相互交互实现复杂问题求解［５－６］．粒计算的很多思想在许多领域中得到了应用，如结构化问题求解、结构化信息处理、结构化哲学思维［７－９］．从某种意义上，所有采用这一思维方式解决问题的方法都属于粒计算的研究内容．需要指出的是，采用不同的粒化方法，可以得到既有区别又有联系的粒计算模型．在利用粒计算思想求解复杂问题时，依据一定准则划分问题空间，得到问题空间的子集，称为粒．然而，若事先没有给出或者没有明确给出问题空间的划分准则，如何来描述问题空间的子集 ？则称这个问题为粒描述，它是粒计算领域中公认的重要问题之一．实际上，深入研究粒的描述，不仅能加深对粒的理解，并且对回答“为什么有的概念复杂且难以理解，而有的概念则相对简单”这一认知科学中的基本问题有很大帮助［１０］．广义上，只要是对问题空间子集进行描述的工作都属于粒描述的研究范畴．狭义的粒描述是指给定一个粒，找到描述这个粒的逻辑公式．巧合的是，粗糙集［１１］与形式概念分析［１２］在同一年被提出．有学者已阐明这两个理论实际上存在诸多互补性［１３－１６］．不仅如此，它们均被认为是一种有效的粒计算方法［１７－１９］．基于粗糙集的粒描述和基于形式概念分析的粒描述本质上是一致的，即依据一定的准则划分论域，得到粒的集合，进而利用近似刻画的方式描述原始划分准则所不能描述的目标概念或论域子集．不同的是基于形式概念分析的方法不仅得到了粒的集合，而且还建立了粒的偏序关系，并赋予每个粒一个特定的属性标签．所以，两者的区别在于基于粗糙集的粒描述是直接给出目标对象集的近似集，而基于形式概念分析的粒描述可以显式地给出目标对象集的属性刻画．另外，考虑到对象与属性之间可以定义 Ｇａｌｏｉｓ连接，因此这两种描述方式又是紧密联系的．形式概念分析是研究知识表示的一种有效数学工具，它的核心数据结构概念格是对概念及其层次关系的 描 述，在 一 定 程 度 上 是 对 客 观 事 物 的 一种高度简化 的 抽 象 粒 描 述［２０］．由于该理论便于概念结构的开发 与讨论，在某种意义上，概念格已成为一种外部认知的手段，并在人工智能领域有广泛而成熟的应用基础［２１－２３］．此外，研究人员在形式概念分析中引入粒计算思想，得到了一系列成果，如粒规则获取［２４］、粒概念学习［２５－２６］、充分必要信息粒转化［１９，２７－２８］、粒约简［２９－３０］、概念粒计算系统构建［３１］等．粗糙集是一个处理不确定性的数学工具．运用该理论的特点在于求解问题时无需提供问题空间之外的任何先验知识，其有效性已从许多领域的成功应用中得到证实．目前，基于粗糙集的知识表示与处理是人工智能领域中的热点研究问题之一［１７，３２－３５］．粒计算思想在粗糙集中主要体现在粒规则与粒约简等方面［３６－３７］．此外，为了适应多源信息处理，多粒度粗糙集［３８］一经提出便受到广泛关注，并扩展到模糊、邻域、覆盖等类型的信息系统［３９－４２］．另外，钱宇华等还提出了局部多粒度粗糙集［４３］，折延宏和贺晓丽使用多值逻辑方法论述了多粒度粗糙集的内部结构［４４］．狭义的粒描述已有一些探讨．文献［４５］研究了粒的共性属性以及粒的稳定性，提出了基于形式概念分析的粒描述．在该文中，首先将粒分成原子粒，基本粒和复合粒三类；然后根据描述逻辑公式中采用的不同连接符提出了∧－可定义粒、（∧， ）－可定义粒以及（∧，∨）－可定义粒，并针对每一种粒分别讨论了粒的描述方法．从目前已开展的研究不难看出，能够被完全描述的粒仅仅只是少数，大量的粒是不能被完全描述的．因此，在该文结尾部分又提出了粒的近似描述问题．文献［４６］融合形式概念分析和粗糙集，提出将粗糙可定义粒作为基本粒，利用一对粗糙可定义粒来近似描述粗糙不可定义粒．实际上，在语义上粗糙可定义粒与面向对象概念格中的面向对象概念外延等价．文献［４５］基于共性属性讨论了信息粒的描述问题．在实际应用中，基于共性属性的粒描述是十分常见的．例如，为了提升企业的核心竞争力，企业通常需要分析每个员工的特点并挖掘出员工的共性，以便有针对性地展开培训．但是，共性属性分析有时会存在缺陷，比如分析企业下属部门员工具备哪些技能，能够承担哪类任务，这种情况下基于共性属性分析就不能较好地解决问题．详细的讨论见例１．例１．　一个文秘办公室有４个员工，员工熟练掌握 的 技 能 包 括 英 文 写 作、ＬａＴｅＸ 排 版、ＷＰＳ 排版、新闻报道．每个员 工具体掌 握 的技能如 表 １ 所示，其中数字“１”表示员工具有相应列的技能，数字“０”表示员工不具有相应列的技能．４０７２计　　算　　机　　学　　报 ２０１８年室员工技能统计英文写作 ＬａＴｅＸ 排版 ＷＰＳ排版 新闻报道员工１　 １　 ０　 １　 ０员工２　 １　 １　 ０　 ０员工３　 １　 ０　 １　 １员工４　 ０　 １　 ０　 ０假设对象粒由员工１、２和３共同组成．下面讨论共性属性分析存在的缺陷．显然，使用共性属性分析可以得到员工掌握的共同技能，比如员工１、２和３都熟练掌握了英文写作．但是，该方法并不能得到员工１、２和３还掌握了哪些其他员工（员工１、２和３这个整体之外的员工）所不具有的技能．例如，员工１、２和３除了可以熟练进行英文写作外，这个整体中的某些人（显然可以代表员工１、２和３这个整体）还胜任 ＷＰＳ排版和新闻报道的工作，这两个技能也是员工１、２和３这个整体所独有的，但是使用共性属性分析无法获得它们．此时，若文秘办公室需要完成对外宣传，就可以将任务（英文写作，ＷＰＳ 排版和新闻报 道）分 配 给 员 工１、２和３这个整体．显而易见，使用共性属性分析不能完成这个任务的分配．此外，需要指出的是，虽然员工２还掌握了 ＬａＴｅＸ 排版，但是员工４也掌握了ＬａＴｅＸ排版，因此 ＬａＴｅＸ 排版不是员工 １、２ 和 ３这个整体所掌握的独有技能．上述问题实际上描述了对象群体的必然属性，也就是只属于这个对象群体的属性（显然，基于共性属性分析的粒描述无法胜任此类问题）．类似的问题在许多领域都广泛存在．因此，从必然属性分析的角度研究粒描述，是一个与基于共性属性分析的粒描述有着同等研究意义的重要课题．需要指出的是，面向对象概念格是进行必然属性分析的一个有力工具，并已有一些相关的研究成果［４７－５４］．例如，受面向属性概念格启发［４８］，Ｙａｏ结合粗糙集与形式概念分析定义了必然属性分析算子，并研究 了 与 共 性 属 性 分 析 算 子 之 间 的 关 系［４７，４９］．Ｍｅｄｉｎａ研究了概念格、面向对象概念格、面向属性概念格之间的关联［５０－５１］．文献［５２］提出了一种快速构造面向对象概念格的算法．此外，Ｓｈａｏ等人提出了基于面向对象概念格的属性约简方法［５３］，Ｗａｎｇ和 Ｚｈａｎｇ进一步阐述了基于面向对象概念格与基于面向属性概念格的两种约简方法之间的联系［５４］．围绕上述问题，并受面向对象概念格启发，本文研究基于必然属性分析的粒描述．具体地，首先提出基于必然属性的粒描述逻辑；然后给出一元可定义粒、一元描述子、二元可定义粒以及二元描述子，在此基础上讨论一元不可定义粒和二元不可定义粒的近似描述；最后，对相关研究成果作了比较分析，并指出今后需要进一步探讨的若干问题．２　基本概念为了本文内容的完整性以及方便读者阅读，这一节介绍下文中即将涉及到的基本概念．２．１　必然属性与面向对象概念格众所周知，形式背景是形式概念分析中最基本的一个概念．定义１［１２］．　一个形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）是由两个集合Ｇ 和Ｍ 以及它们之间的二元关系Ｉ 组成．Ｇ 的元素称为对象，Ｍ 的元素称为属性，（ｇ，ｍ）∈Ｉ或ｇＩｍ 表示对象ｇ 拥有属性ｍ．为了方便，记对象ｇ所拥有的属性构成的集合为ｇ＊＝｛ｍ∈Ｍ｜ｇＩｍ｝，拥有属性ｍ 的对象构成的集合为 ｍ＊＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇＩｍ｝．定义２［４７－４８］．　在形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）中，设ＡＧ，ＢＭ．定义Ａ□＝｛ｍ∈Ｍ｜ｍ＊Ａ｝ （１）Ｂ◇＝｛ｇ∈Ｇ｜ｇ＊∩Ｂ≠｝ （２）通常，□称为必然性算子，◇称为可能性算子．Ａ□是 Ａ 的所有必然属性组成的集合，Ｂ◇ 是具有必然属性Ｂ 的最小对象集．定义３［４７］．　在形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）中，如果 ＡＧ，Ｂ Ｍ，Ａ＝Ｂ◇且 Ｂ＝Ａ□ ，则 称 二 元 组Ｃ＝（Ａ，Ｂ）是一个面向对象概念，Ａ 是面向对象概念Ｃ 的外延，Ｂ 是面向对象概念Ｃ 的内涵．定义４［４７］．　设Ｃ１＝（Ａ１，Ｂ１）和Ｃ２＝（Ａ２，Ｂ２）是形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）的两个面向对象概念，定义Ｃ１Ｃ２Ａ１Ａ２Ｂ１Ｂ２，并称Ｃ２是Ｃ１的父概念，Ｃ１是Ｃ２的子概念，称为概念之间的层次序．形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）的所有面向对象概念通过层次序构成一个完备格，称为面向对象概念格，记为Ｌ（Ｇ，Ｍ，Ｉ）．若概念Ｃ１Ｃ２，且不存在概念Ｃ３使得Ｃ１Ｃ３Ｃ２，则称Ｃ２是 Ｃ１的上近邻，或 Ｃ１是Ｃ２的下近邻，并分别记为Ｃ１Ｃ２和Ｃ２Ｃ１．定义５［４７］．　在面向对象概念格Ｌ（Ｇ，Ｍ，Ｉ）中，如果一 个 概念具有 形 式 （（ｇ□）◇ ，ｇ□）且ｇ∈Ｇ，则称（（ｇ□）◇ ，ｇ□）是一个对象诱导的面向对象概念，ｇ是（（ｇ□）◇ ，ｇ□）的对象标签；类似地，如果一个概念具有形式（ｍ◇ ，（ｍ◇ ）□ ）且 ｍ∈Ｍ，则称 （ｍ◇，１２５０７２期 智慧来等：基于必然属性分析的粒描述版日期：２０１７－１２－２０．本课题得到国家自然科学基金（６１５０２１５０，６１５６２０５０，６１３０５０５７，６１５７３１７３）资助．智慧来，男，１９８１年生，博士，讲师，中国计算机学会（ＣＣＦ）会员，主要研究方向为粒计算、形式概念分析、粗糙集．Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｉｈｕｉｌａｉ＠１２６．ｃｏｍ．李金海（通信作者），男，１９８４年生，博士，教授，博士生导师，主要研究领域为概念格、粗糙集、粒计算．Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｈｌｉｘｊｔｕ＠１６３．ｃｏｍ．基于必然属性分析的粒描述智慧来１）　　李金海２），３）１）（河南理工大学计算机科学与技术学院　河南 焦作　４５４０００）２）（昆明理工大学数据科学研究中心　昆明　６５０５００）３）（昆明理工大学理学院　昆明　６５０５００）摘　要　粒计算是在Ｚａｄｅｈ教授提出的模糊信息粒化思想的基础上，逐渐发展起来的一个有效处理信息的数学工具．粒计算利用粒化信息的思想解决复杂问题，而在信息粒化的过程中通常都伴随着粒描述．所谓粒描述，是指在没有明确粒化准则的情况下如何描述目标概念或论域子集．因此，粒描述是采用粒计算思维解决复杂问题的前提和基础，进一步研究将有利于粒的理解与解释．众所周知，现有的粒描述主要集中在共性属性分析的基础上开展相关研究，其核心的理论工具是形式概念分析与粗糙集．共性属性分析刻画了粒的共性，即粒中每个对象均拥有的属性．然而，现实中一个粒具有的属性有时不单指粒中所有对象共同拥有的属性，还有可能指粒中部分对象共同拥有的属性，甚至有时只需要粒中存在一个对象拥有该属性即可．实际上，共性属性分析强调的是所有对象共同拥有的属性才是这个粒的属性．与共性属性分析不同，必然属性分析强调的是只属于这个粒的属性才是它的属性．换言之，必然属性分析讨论粒描述时，除了涉及所有对象共同拥有的属性，还可能涉及部分对象共同拥有的属性．目前，从必然属性分析的角度研究粒描述尚未被详细讨论．该文基于形式概念分析中粒的思想和粗糙集理论中上、下近似的方法对这一问题展开研究．首先，介绍了必然属性分析视角下的粒描述逻辑．其次，分别基于形式背景及其补背景研究了粒描述．具体地，利用形式背景描述粒具有的必然属性，利用补背景描述粒不具有的必然属性．此外，定义了一元描述子用来特指形式背景及其补背景的面向对象概念格中的概念内涵，进而通过一个一元描述子刻画一个一元可定义粒，将一对一元描述子作为上、下近似以刻画一个一元不可定义粒．然后，为了同时使用形式背景及其补背景的信息，提出了基于必然属性分析的三支概念格，并定义二元描述子用来特指基于必然属性分析的三支概念格中的概念内涵，进而由一个二元描述子刻画一个二元可定义粒，将一对二元描述子作为上、下近似以刻画一个二元不可定义粒．最后，比较了三种近似描述的精度．有关结论表明基于二元描述子的近似描述方法优于基于一元描述子的近似描述方法，而基于一元描述子的近似描述方法又优于基于形式背景及其补背景的面向对象概念格的方法．关键词　粒计算；粒描述；形式概念分析；必然属性分析；粗糙集；三支概念格中图法分类号 ＴＰ１８　　　ＤＯＩ号 １０．１１８９７／ＳＰ．Ｊ．１０１６．２０１８．０２７０２Ｇｒａｎｕｌｅ　Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　Ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ＡｎａｌｙｓｉｓＺＨＩ　Ｈｕｉ－Ｌａｉ　１）　ＬＩ　Ｊｉｎ－Ｈａｉ　２），３）１）（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｎａｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｏｚｕｏ，Ｈｅｎａｎ　４５４０００）２）（Ｄａｔａ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５０５００）３）（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５０５００）Ａｂｓｔｒａｃｔ　 Ｇｒａｎｕｌａｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｉｓ　ａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｔｏｏｌ　ｏｆ　ｄｅａｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄｃａｎ　ｂｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ａｓ　ａｎ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ　ｏｆ　ｆｕｚｚｙ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂｙ　ｐｒｏｆｅｓｓｏｒＺａｄｅｈ．Ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｏｆ　ｏｕｒ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｇｒａｎｕｌａｒ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｓｏｌｖｅｓ　ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｖｉａｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ．Ｉｔ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ　ｉｓ　ｏｆｔｅｎ　ａｃｃｏｍｐａｎｉｅｄｂｙ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ　ｇｒａｎｕｌｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｏ　ｄｅｓｃｒｉｂｅ　ａ　ｔａｒｇｅｔ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｒ　ａ　ｓｕｂｓｅｔ 的 面 向 对 象 概 念，ｍ 是（ｍ◇，（ｍ◇）□ ）的属性标签．在不产生歧义的情况下，面向对象概念简称为概念，面向对象概念格简称为概念格．定理１［４９］．　在面向对象概念格Ｌ（Ｇ，Ｍ，Ｉ）中，任意两个概念（Ａ１，Ｂ１），（Ａ２，Ｂ２）的下确界和上确界分别定义为（Ａ１，Ｂ１）∧（Ａ２，Ｂ２）＝（（Ａ１∩Ａ２）□ ◇，Ｂ１∩Ｂ２）（３）（Ａ１，Ｂ１）∨（Ａ２，Ｂ２）＝（Ａ１∪Ａ２，（Ｂ１∪Ｂ２）◇ □）（４）面向对象概念格的构造算法可以参考文献［５２］，也可以根据 Ｗｉｌｌｅ概念格与面向对象概念格算子之间的关系，通过修改 Ｗｉｌｌｅ概念格的构造算法得到．２．２　粗糙集为方便起见，下面的定义用等价关系代替划分．定义６［１１］．　一个近似空间定义为一个关系系统Ｓ＝（Ｕ，Ｒ），其中非空集合Ｕ 是论域，Ｒ 是Ｕ 上等价关系的一个集族．定义７［１１］．　设 ＰＲ，且 Ｐ≠，称 Ｐ 中所有等价关系的交集为Ｐ 诱导的一个不可区分关系，记作ＩＮＤ（Ｐ）．进一步，不可区分关系产生的等价类之间满足下列式子：［ｘ］ＩＮＤ（Ｐ）＝ ∩ｐ∈Ｐ［ｘ］ｐ（５）定义８［１１］．　给定近似空间Ｓ＝（Ｕ，Ｒ），称 ＸＵ 为Ｕ 上的一个概念．形式上，空集也视为一个概念．非空子集 ＰＲ 所诱导的不可区分关系ＩＮＤ（Ｐ）的所有等价类组成的集合称为基本知识，相应的等价类称为基本概念．定义９［１１］．　 给定近似空间 Ｓ＝（Ｕ，Ｒ），子集ＸＵ．Ｘ 的下近似和上近似分别定义为Ｒ＊（Ｘ）＝｛ｘ∈Ｕ｜［ｘ］ＲＸ｝ （６）Ｒ＊（Ｘ）＝｛ｘ∈Ｕ｜［ｘ］Ｒ∩Ｘ≠｝ （７）进一步，定义 Ｘ 的边界域为ＢＮＲ＝Ｒ＊（Ｘ）－Ｒ＊（Ｘ） （８）若ＢＮＲ≠，则集合 Ｘ 就是一个粗糙集．下近似Ｒ＊（Ｘ）是 Ｘ 肯定包含的基本知识组成的集合，它包括了所有使用知识 Ｒ 可确切分类到Ｘ中的元素；上近似Ｒ＊（Ｘ）是 Ｘ 可能包含的基本知识组成的集合，它包括了所有使用知识 Ｒ 可能分类到Ｘ 中的元素．边界域则由不能肯定分类到这个子集或其补集中的所有元素组成．需要指出的是，文献［４６］融合形式概念分析与粗糙集，提出了粗糙可定义粒，并以对象诱导的面向对象概念的外延作为基本粒，通过一对基本粒近似描述其它粗糙不可定义粒．在本文中，充分借鉴了上近似和下近似描述不可定义粒的思想．３　粒的描述逻辑语言本文中粒的描述语言采用粗糙集中的决策逻辑［５５－５６］，并对其进行部分修正和扩展以适应基于必然属性的分析与推理．描述逻辑语言建立在一组原子公式的基础上，这些原子公式构成了复杂知识表示的基础．语义上，一个原子公式描述对象的一个属性，并用小写英文字母表示，例如ａ，ｂ，ｃ，ｄ 等．以原子公式作为基础，通过使用逻辑连接符∧，∨， ，→ 和 ，以递归的方式可以构造更加复杂的逻辑表达式．形式化地，若φ和ψ是逻辑式，那么φ∧ψ，φ∨ψ，φ，φ→ψ和φψ也都是逻辑式．给定一个论域Ｇ，所有可能的粒组成Ｇ 的幂集，记作２Ｇ．描述论域Ｇ 的属性集用Ｍ 表示，论域中对象和属性的关系用二元关系Ｉ：Ｇ×Ｍ → ｛０，１｝表示．因此，可以通过一个形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）描述一个论域．定义１０．　 给定 一个粒 Ｘ∈２　Ｇ和 一 个 属 性 集Ａ，若对于任意的ａ∈Ａ，都有ａ＊Ｘ，则称 Ｘ 必然具有属性集Ａ，并记作 Ｘ　ａＡ．进一步，当属性集由逻辑式表达，下列式子的语义定义为Ｘ　ａＡ∧Ｂ （Ｘ　ａＡ）∧（Ｘ　ａＢ）；Ｘ　ａＡ∨Ｂ （Ｘ　ａＡ）∨（Ｘ　ａＢ）；Ｘ　ａ　Ａ ～Ｘ　ａＡ；Ｘ　ａＡ→Ｂ （Ｘ　ａＡ）→（Ｘ　ａＢ）；Ｘ　ａＡＢ （Ｘ　ａＡ）（Ｘ　ａＢ）．在文献［４５］中，从共性属性的角度研究信息粒的描述：给定一个信息粒 Ｘ∈２　Ｇ和一个属性集Ａ，若对于任意的ａ∈Ａ，ｘ∈Ｘ，都有ｘＩａ，则称 Ｘ 具有属性集Ａ．显然，本文的研究角度与文献［４５］完全不同．本文研究对象的必然属性，而文献［４５］研究对象的共有属性．为了得到必然属性分析的粒描述逻辑语言，下面讨论共有属性分析的粒描述逻辑语言的一些性质．对于一个属性的合取式φ，记其中包含的文字为φ．定义１１．　给定一个属性的合取式φ，称ｍ（φ）＝｛ｘ∈Ｇ｜ｘ→φ｝ （９）是φ的外延．其中，集合内的约束条件表示对象具有合取式的所有共有属性．若 ｍ－１（Ｘ）＝φ且ｍ（φ）＝Ｘ，则称φ是Ｘ 的描述．６０７２计　　算　　机　　学　　报 ２０１８年中用ｄ（Ｘ）代替 ｍ－１（Ｘ）来表示 Ｘ 的描述．命题１． 设φ和ψ是 两 个 公 式，则 以 下 命 题成立：（１）ｍ（φ）＝Ｇ－ｍ（φ）；（２）ｍ（φ∧）＝ｍ（φ）∩ｍ（）；（３）ｍ（φ∨）＝ｍ（φ）∪ｍ（）；（４）ｍ（φ→）＝（Ｇ－ｍ（φ））∪ｍ（）．定义１２［４５］．　设Ｘ 是形式背景Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）的一个粒，φ是一个公式．则φ对于 Ｘ 的查全率和查准率分别定义如下：α（φ，Ｘ）＝ｍ（φ）∩ＸＸ，β（φ，Ｘ）＝ｍ（φ）∩Ｘｍ（φ）（１０）在不引起 歧 义 时，分 别 用α（φ）和β（φ）代 替α（φ，Ｘ）和β（φ，Ｘ）．实际上，α（φ，Ｘ）刻画了能够准确描述的部分占粒 Ｘ 的比例，β（φ，Ｘ）刻画了能够准确描述的部分占φ的外延的比例．α（φ，Ｘ）和β（φ，Ｘ）的值越大表明公式φ对粒 Ｘ 的描述越贴近．实际上，粒描述的本质就是给定一个粒，找到查全率和查准率最大的公式．命题２． 设φ和ψ是 两 个 公 式，则 下 列 命 题成立：（１）α（φ）＝１－α（φ）；（２）α（φ∧）ｍｉｎ（α（φ），α（））；（３）α（φ∨）ｍａｘ（α（φ），α（））；（４）α（φ∨）＝α（φ）＋α（）－α（φ∧）．命题３．　设φ和ψ是两个公式，则下列命题不成立：（１）β（φ）＝１－β（φ）；（２）β（φ∧）ｍｉｎ（β（φ），β（））；（３）β（φ∨）ｍａｘ（β（φ），β（））；（４）β（φ∨）＝β（φ）＋β（）－β（φ∧）．４　基于一元描述子的粒描述本小节研究基于一元描述子的粒描述．具体地，定义正文字可定义粒和负文字可定义粒，这二者又统称为一元可定义粒，并将一元可定义粒的描述称为一元描述子．为了更加简洁地刻画一元可定义粒，给出了面向对象概念的最小产生子，并提出计算最小产生子的方法．此外，基于一元描述子还讨论了不可定义粒的近似描述．下面先介绍必然属性分析视角下形式背景的属性特征．４．１　形式背景的属性特征对于一个形式背景，通常存在一些冗余属性，删除这些属性并不改变面向对象概念格的结构，反而能够简化概念单元．定义１３［２０］．　设 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）是一个形式背景，称 ＫＮ＝（Ｇ，Ｎ，ＩＮ）是 Ｋ 的一个子背景，其中ＮＭ，ＩＮ＝Ｉ∩（Ｇ×Ｎ）．定义１４［５３－５４］．　设 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）是一个形式背景，ＮＭ．若对任意面向对象概念（Ａ，Ｂ）∈Ｌ（Ｋ），存在（Ａ，Ｃ）∈Ｌ（ＫＮ），则称 Ｎ 是Ｋ 的一个协调集．进一步，若 Ｎ 是Ｋ 的一个协调集，且 Ｎ 的任意真子集都不是 Ｋ 的一个协调集，则称 Ｎ 是 Ｋ 的一个约简集，并称ｂ∈Ｍ－Ｎ 为冗余属性．定义１５［５３－５４］．　若一个形式背景不存在冗余属性，则称 这个形 式背景为 净 化形式背景，并 称 净 化形式背景的面向对象概念格为净化的面向对象概念格．定义１６［５７］．　设Ｌ１、Ｌ２是两个完备格．若对于任意两个 元 素ａ，ｂ∈Ｌ１，存在双射ｆ：Ｌ１→Ｌ２使得ｆ（ａ∨ｂ）＝ｆ（ａ）∨ｆ（ｂ），ｆ（ａ∧ｂ）＝ｆ（ａ）∧ｆ（ｂ）成立，则称Ｌ１与Ｌ２同构．显然，对 于 形 式 背 景 Ｋ＝ （Ｇ，Ｍ，Ｉ）和 子 背 景ＫＮ＝（Ｇ，Ｎ，ＩＮ），如果 Ｎ 是Ｋ 的一个协调集，那么Ｌ（Ｋ）与Ｌ（ＫＮ）同构．下列定理２提供了一个识别冗余属性的方法．定理２． 设 Ｋ＝ （Ｇ，Ｍ，Ｉ）是一个形 式 背 景，ｂ∈Ｍ．如果存在若干属性ｂｉ∈Ｍ－｛ｂ｝（ｉ＝１，２，…，ｔ）使得∪ｔｉ＝１ｂ＊ｉ＝ｂ＊，那么ｂ是一个冗余属性．例２．　形式背景Ｋ１包含３个对象和４个属性，如表２所示．显然有ａ＊∪ｂ＊＝ｃ＊成立，因而根据定理２，可知ｃ是一个冗余属性．删除冗余属性后的净化形式背景 Ｋ２见表３．原形式背景的面向对象概念格Ｌ（Ｋ１）见图１，净化的形式背景的面向对象概念格Ｌ（Ｋ２）见图２，其中外延和内涵均采用了集合的缩写．显然，面向对象概念格Ｌ（Ｋ１）与Ｌ（Ｋ２）同构．表 ２　非净化的形式背景 Ｋ１ａ　 ｂ　 ｃ　 ｄ１　 １　 ０　 １　 ０２　 ０　 １　 １　 ０３　 ０　 ０　 ０　 １表 ３　净化的形式背景 Ｋ２ａ　 ｂ　 ｄ１　 １　 ０　 ０２　 ０　 １　 ０３　 ０　 ０　 １１２７０７２期 智慧来等：基于必然属性分析的粒描述图 １　面向对象概念格Ｌ（Ｋ１）图 ２　面向对象概念格Ｌ（Ｋ２）４．２　正文字可定义粒的描述本小节定义正文字可定义粒，并基于形式背景的面向对象概念格研究正文字可定义粒的描述问题．定义１７．　设 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）是一个形式背景，Ｘ∈２　Ｇ．若存在正文字的析取式φ使得ｍ（φ）＝Ｘ，则称 Ｘ 为正文字可定义粒．其中，ｍ（φ）表示具有φ中所有必然属性的最小对象集．显然，对于形式背景 Ｋ＝（Ｇ，Ｍ，Ｉ）中的一个粒Ｘ∈２　Ｇ，若存在一个面向对象概念Ｃ∈Ｌ（Ｋ）使得Ｃ的外延等于Ｘ，则 Ｘ 是一个正文字可定义粒．换言之，对于一个正文字可定义粒 Ｘ，一定存在一个正文字的析取式φ使得α（φ，Ｘ）＝１，β（φ，Ｘ）＝１．对于一个正文字可定义粒 Ｘ，若与其对应的面向对象概念为（Ｘ，Ｂ），那么Ｘ 的描述为（以下析取式的语义是指包含这些必然属性，区别于文献［４５］的合取式的语义表示同时具有共有属性．）ｄ（Ｘ）＝∨ａ∈Ｂａ （１１）然而，对于一个正文字可定义粒 Ｘ，集合 Ｂ 中的属性并不都是必须的．换言之，当删除 Ｂ 中的某些属性后，仍有可能准确描述这个粒 Ｘ．在形式概念分析中，采用最小产生子（ＭｉｎｉｍａｌＧｅｎｅｒａｔｏｒ）［５８］来表达一个概念的核心属性．有的文献亦称最小产生子为内涵亏值［５９］．最小产生子在稳定性计算［６０］、粒的描述［４５］等问题中 得 到 了 广 泛 应用．受此启发，下列定义１８也提出了面向对象概念的最小产生子．定义１８． 对于给定的面向对象概念 Ｃ＝（Ｘ，Ｂ），如果属性集ＲＢ 满足Ｒ◇＝Ｂ◇＝Ｘ 且对于任意的ＳＲ 有Ｓ◇Ｂ◇，则称Ｒ 是Ｃ 的一个最小产生子．在此基础上，若 Ｔ 满足ＲＴＢ，则称 Ｔ 是Ｃ 的一个内涵缩减集．定理３．　在一个净化的面向对象概念格中，若一个概念只有一个下近邻，则这个概念是一个属性诱导的面向对象概念．定理４．　在一个净化的面向对象概念格中，属性诱导的面向对象概念的最小产生子由这个概念的属性标签组成．换言之，定理３和定理４分别给出了属性诱导的面向 对 象 概 念 的 识 别 及 其 最 小 产 生 子 的 构 成．下面继续讨论非属性诱导的面向对象概念的最小产生子．引理１．　在面向对象概念格中，一个非属性