计  算  机  学  报  2019 年  specifying its intent. Note that concept cognition achieves the task of recognizing the extent and the intent of a concept based on certain cognitive methods. In recent years, concept cognition has gradually been integrating the novel  research  ideas  from  the  field  of  cognitive  science  in  order  to  enrich  the  theory  and  improve  the  method continuously. Although the existing concept cognition methods are able to meet different practical requirements, their concept-forming operators can only be effective under the special circumstance that they  must satisfy the function  of  complete  cognition.  In  the  real  world,  however,  the  phenomenon  of  incomplete  cognition  of concept-forming  operators  frequently  appears  due  to  individual  cognitive  limitations.  In  this  case,  a comprehensive  recognition  of  concepts  often  means  a  long  time  of  waiting  or  delay.  As  a  result,  it  may  be impossible to acquire sufficient information for understanding the current concept well within the required time. In the field of cognitive science, decomposition and solving strategy was often adopted to deal with this kind of problems.  In  other  words,  it  can  provide  timely  reference  for  the  current  phased  recognition  by  taking  quick action  based  on  the  available  local  finite  information,  which  belongs  to  the  cognitive  mode  of  incremental thinking.  Motivated  by  this  issue,  this  paper  puts  forward  theories  and  methods  for  incremental  cognition  of concepts  so  as  to  solve  the  problem  of  acquiring  concepts  from  incomplete  cognitive  environment.  More specifically,  we  first  propose  cognitive  mechanism  for  incremental  concept  cognition  whose  functions  mainly include addition, deletion and revision operations for updating the current concept information. And then, using these  useful  operations,  we  can  simulate  general  cognitive  processes.  What  is  more,  we  develop  effective algorithms  to  implement  incremental  concept  cognition  under  the  circumstance  where  the  given  clue  is  in  the form of an object set, an attribute set, or a pair of object and attribute sets. In addition, we also analyze the time complexity and the space complexity of these incremental cognition algorithms. Especially, when exact cognitive concepts cannot be obtained, we design two novel strategies (i.e. optimistic and pessimistic information fusion) to search for approximate cognitive concepts. This makes us at least find a upper concept for any given clue in the form of a pair of object and attribute sets once we are not able to obtain a lower concept in some particular cases.  Finally,  we  conduct  some  numerical  experiments  to  demonstrate  the  effectiveness  of  the  proposed incremental cognition algorithms. Keywords    granular computing; concept cognition; formal concept analysis; concept lattice; cognitive operators   1  引 言 概念是知识表示的基本认知单元，它常被用来识别现实世界中的具体实体，或感知世界中的抽象对象[1].研究概念可从不同的角度或侧面进行.如，从代数角度研究概念的层次结构[2]，从算法复杂性角度研究概念格构造[3-5]，从机器学习角度研究概念学习[6]，从认知心理学角度研究概念认知[7]，从粒计算角度研究概念粒化及粒度转移方式[8-9]，从云模型角度计算概念的外延与内涵[10].本文主要关注概念认知，具体围绕概念的渐进式认知问题展开探讨. 概念认知是将属于这一概念的特征属性筛选出来，同时把不属于这一概念的特征属性排除，它采用特定的认知方法完成概念外延与内涵的识别.目前，概念认知已成为一个新兴的研究方向.比如，文献[11]提出研究概念认知的三个具体层面：抽象层面、机器层面和大脑层面，它们既是相对独立又是相互依赖促进的.又如，文献[12]在模糊环境下利用充分必要信息粒讨论了概念的不确定性认知，且仿真实验表明不确定性认知获取概念的效果较好.再如，文献[13]通过概念粒计算系统建立概念的迭代认知数学模型，它能够对各种类型的概念(经典的形式概念，推广的模糊概念等)进行认知.实际上，粒计算在概念认知学习过程中起到了粒化对象(样本)或属性(特征)的作用，这是粒计算理论处理大数据的核心思想[14-15].需要指出的是，在很多情况下，人们很难完成精确的概念认知.例如，当提供的线索本身就存在不一致性时(如，对象与属性之间相对于形成概念的外延与内涵匹配性较差[16])，可以采取“退而求其次”策略以获得概念认知的近似结果，即在求解问题的复杂性与计算精度之间做出权衡.计算机学报李金海等：概念的渐近式认知理论与方法  3  此外，文献[17]通过上、下近似逼近思想给出了概念认知的近似范围（即下确界概念和上确界概念组成的区间），进一步讨论概念认知的精度，从而开启了近似概念认知研究.另外，对于快速增长的大数据，因时限性、多样性、复杂性等因素[18]，当前收集并存储的数据往往存在不完备、不确定等特点.此时进行精确的概念认知相当困难，但又不得不作出决策，因为在一定时间内得到尽可能满意的解，并根据满意解来及时指导下一步的行动通常是必要且紧迫的[19].  值得一提的是，从粒计算角度而言，根据当前不完备或不确定的信息作出及时决策以获得满意解，从而指导下一步的行动，并随着信息的进一步完备化或不确定性逐渐降低，对已获得的满意解作出更新以逼近最优解，这类问题可以通过由粗粒度到细粒度(coarse-to-fine)的策略来完成建模.当然，这种粒度变化策略还需结合具体的问题背景进行考虑，具有较大的灵活性，有兴趣的读者可查阅文献[20-21].实际上，由粗粒度到细粒度是多粒度认知的一种典型代表模式，也是解决渐进式优化与认知问题的核心思想，详细的阐述见文献[22-27]. 然而，现有的概念认知研究工作[7,12-13,16-17,28-29]在实施概念认知时，均假定认知算子具有完全认知功能，即由对象到属性(或由属性到对象)的认知过程能够一次性直接完成，它仅与给定数据或信息本身有关，不考虑时间、空间、环境等诸多因素对认知过程产生的影响.然而，现实世界中，由于个体偏好、先验知识、背景知识、时间、空间、环境等众多因素的影响，概念认知往往无法保证一次性就能够完成.比如，以对象识别共性属性为例，当从一批给定对象中找出它们共同拥有的所有属性时，一次性就直接找出所有的共性属性往往比较困难.实际上，从认知心理学角度来讲，找到事物所有共性属性(即认识清楚事物)是一个非常漫长的过程，因为个体通常受到自身认知的局限性而导致识别共性属性将是一个不断完善的反复过程[30].这与实现中完全识别清楚一个概念的外延与内涵需要经历一个漫长的阶段也是一致的.为了描述方便，本文将这种不能一次性从给定对象中找出所有共性属性的问题称为不完全认知条件下的概念获取. 受上述讨论启发，本文尝试提出不完全认知条件下的概念渐进式认知理论与方法.在具体建模过程中，引入共性属性认知优先关系以反映个体偏好、先验知识、背景知识、时间等因素对概念认知造成的具体影响.在此基础上，针对线索为对象集、属性集以及对象集和属性集的三种不同情况，分别给出概念渐进式认知算法.在此基础上，讨论了基于共性属性认知优先关系的认知算子与现有认知算子之间的差异，且数值实验表明本文的概念渐进式认知算法是有效的. 2  概念渐进式认知的基本原理 本文记对象集（即论域）U 的幂集为U2 ，属性集 A 的幂集为A2 . 经典的概念认知算子是一对集值映射[31]： ,22:AUf ®  .22:UAg ®  通常，称 f 是对象-属性算子， g 是属性-对象算子. 定义 1.  对于属性-对象算子 g ，对象集 UX Í ，属性 AaÎ ，若 Íag X)( ，则称 a 是 X 的一个共性属性. 那么，对象-属性算子的象 Xf)( 可看作 X 的所有共性属性组成的集合，属性-对象算子的象 Bg)(则表示满足条件 B 的所有对象组成的集合. 在此基础上，易证 f 和 g 具有下列性质： (ⅰ)  若 ÍÍUXX21，则 ( ) ( )12fXf X Í ；      (ⅱ)  若 ÍÍABB21，则 ( ) ( )12gBg B Í ； (ⅲ)  ( )( )ÍXfg X ， ( )( )ÍBgf B . 从认知的角度，上述三个性质均有明确的语义解释：性质(ⅰ)表示，对象（样本）越多，其共性属性（特征）越少；性质(ⅱ)表示，共性属性越多，满足它们的对象越少；性质(ⅲ)表示，一个对象集经过复合认知算子 gf 作用后，对对象的认知比原来更充分；类似地，一个属性集经过复合认知算子 fg作用后，对属性的认知也比原来更充分. 进一步，如果这两个认知算子满足 ( )BXf = 且( )XBg = ，那么称序对 ( )BX , 为概念， X 为概念的外延， B 为概念的内涵.若一个概念 ( )11, BX 的外延包含于另一概念 ( )22, BX 的外延，则称 ( )11, BX 是( )22, BX 的子概念，或 ( )22, BX 是 ( )11, BX 的父概念. 此外，可以证明，序对 fXf Xg))()),((( 和gBgf B)))((),(( 都是概念，即从一个对象集 X 或属性集 B 出发，经过两次迭代认知即可获得一个概念.从数学上看，这是相当漂亮的结果，这里的复合认知算子 gf 和 fg 分别相当于U 和 A 上的闭包算子.但是，从认知心理学、机器学习、大数据等角度而计算机学报计  算  机  学  报  2019 年  言，这些复合算子的具体实施是很困难的，因为受时限性、多样性、复杂性等因素影响，对概念信息的理解和获取都是一个漫长的过程[18,30].下面从认知心理学角度给出一个解释.在认知心理学中，对认知算子 f 的理解比较复杂（其复合算子就更加复杂），它与认识时刻及认知持续时间长短等因素均有关，即涉及认知过程的各个方面.比如，假设 X 是由两幅图片组成的对象集，那么早上查找两幅图片的共同特征 5 分钟与下午查找两幅图片的共同特征5 分钟，它们的效果（即 Xf)( ）是不一样的；另外，晚上查找两幅图片的共同特征 5 分钟与晚上查找两幅图片的共同特征 10 分钟，其效果也是不同的.换言之，这类问题仅用 Xf)( 是无法清楚描述具体细节的. 鉴于此，有必要将时间等因素反映到认知算子f 上，即需要对其作一些改进.本文用 Xf)(t表示认知算子 f 在 t 时刻对对象集 X 认知一段时间后得到的结果，即通过引入变量 t 来反映概念信息获取是一个漫长的过程.为了区分于 f ，称tf 为渐进式认知算子. 需要指出的是，对于属性-对象算子 g ，本文的理解与经典的情况保持一致，原因是给定具体条件B（属性或特征）筛选出特定对象 Bg)( 的问题，通常认为这样的操作是可以快速实现的.它与已知对象集 X 识别其“共性属性”是不一样的，因为“共性属性”通常不容易一次被认知完整[30]. 定义 2.  给定渐进式认知算子tf ，对象集UX Í ，若对于任意 t>D0 ，有 fXf X)()(ttt=D+，则称 Xf)(t在t 时刻对对象集 X 实现了完全认知；否则，称 Xf)(t在 t 时刻对对象集 X 的认知是不完全的. 那么，从完全认知与否的角度而言，经典形式概念分析理论[31]，可以认为是基于完全认知建立的.具体地，给定对象集 X ，经过对象-属性算子 f ，就能够得到 X 的全体对象共同拥有的所有属性；同理，给定属性集 B ，经过属性-对象算子 g ，也能够得到拥有 B 中全体属性的所有对象.换言之，有了X ，B ， f 和 g ，就可以直接假定 Xf)( 与 Bg)( 均是已知的.实际上，这种研究方式，是通过构造性方法实现的，当然得到的结果肯定也是完全认知概念. 注意，本文仅将变量 t 引入概念认知中，以表明概念认知算子受某些因素的影响而出现不完全认知现象.这种处理方法仅仅只是为了区分于完全认知.为了叙述方便，本文称 f 为完全认知算子，tf为渐进式认知算子. 实际上，渐进式认知算子tf 与完全认知算子 f是对概念认知过程的不同解读所导致的.具体地，f强调完全认知，在这种情况下，获取概念只需经过两次完全认知：第一次完全认知为 Xf X ®)( ，第二次完全认知是在第一次完全认知的基础上进行的，即 ( )f ®Xfg X)()( ，进而获得完全认知概念( )( )fXf Xg)(,)( .然而，tf 则与时间等因素有关，它强调不完全认知或渐进式认知，并且到底需要经过多少次渐进式认知才能获得精确的概念外延与内涵事先是不知道的，它在渐进式认知迭代过程中需要结合具体的问题背景来判断. 综上可知，所谓概念渐进式认知，是指通过增量的方式逐渐识别清楚一个概念.它是一个非常复杂的过程，持续时间事先是未知的，且涉及认知过程的增删改操作，而不是简单的单调递增过程.基于上述理解，下面讨论认知过程的增删改操作的设计问题. 首先，考虑增量操作，即后一次认知 )(1Xft +是在前一次认识 Xf)(t的基础上通过新增认知部分)(1XFt +来完成的.具体地， )()()(11fXFXf Xttt ++= U                 (1) 其中 )(1XFt +表示 t+1时刻对对象集 X 再次识别后新增的认知部分.为了严谨起见，当 t=0 时，令Xf)(Æ=t，即初始状态为 )()(11XFXf = .从式（1）不难发现，已被识别的部分 Xf)(t不需要重新再认知，新增的认知 )(1XFt +被认为来源于对剩余属性特征的进一步识别得到. 注意，执行式（1）中的增量操作，它是有前提条件的，否则概念渐进式认知就退化成一个简单的单调递增过程，这与实际情况不符.比如，当式（1）中的 )(1XFt +为空时，即t+1时刻对剩余属性特征的进一步识别没有发现新知识，这个渐进式认知过程就无法继续下去.本文将这个特殊情形视作需要修正概念认知的时刻. 具体地，设计修正操作如下：当新增认知部分)(1XFt +为空时，对上一次的累积认知结果 Xf)(t进行修正： fXFXf X)()()(ttt-¬                   (2) 同时，把t+1时刻的认知结果 )(1Xft +退回到修正之前的水平，即 )()(11fXf Xtt -+¬                       (3) 计算机学报 李金海（通信作者），男，1984年生，博士，教授，博士生导师，主要研究领域为概念格、粗糙集、粒计算. E-mail: jhlixjtu@163.com.  米允龙，男，1987年生，博士研究生，主要研究领域为数据挖掘、神经网络、形式概念分析. E-mail: YunlongMi@yeah.net.  刘文奇，男，1965年生，硕士，教授，博士生导师，主要研究领域为数据挖掘、数据质量控制与决策分析. E-mail: liuwenq2215@sina.com.   概念的渐进式认知理论与方法  李金海1), 2)    米允龙3)    刘文奇1), 2)   1)(昆明理工大学数据科学研究中心  昆明  650500) 2)(昆明理工大学理学院  昆明  650500) 3)(中国科学院大学计算机与控制学院  北京  100190)  摘  要  概念是知识表示的基本认知单元，它由外延和内涵两部分构成.由于概念的外延与内涵可以相互诱导，所以概念的外延和内涵一旦有一个被确定下来，那么这个概念也就随之确定.概念认知是将属于这一概念的特征属性筛选出来，同时把不属于这一概念的特征属性排除，即通过确定内涵的方式获得概念，它采用特定的认知方法来完成概念的识别.当前，概念认知正逐渐借鉴认知科学领域中的一些研究思想，不断完善自身理论与方法.然而，现有的概念认知方法要求假定概念认知算子具有完全认知功能，但现实中由于个体认知的局限性往往会出现认知不完全的现象，在此情况下要对概念进行全面认知则需漫长等待，这意味着在时限约束条件下可能无法及时获取足够的概念信息.在认知科学领域，一般采取问题分解求解的策略解决此类问题，即根据当前的局部有限信息做出相应的快速决策，为阶段性认知提供有效的及时参考，是渐进式思维的一种认知模式.受此启发，本文提出概念的渐进式认知理论与方法，以处理不完全认知条件下的概念获取问题.具体地，提出概念渐进式认知的认知机理，其功能主要包括概念信息的增删改操作，以模拟一般的认知过程；针对线索为对象集、属性集以及对象集和属性集的三种不同情况，分别给出概念渐进式认知算法，并对它们的时间复杂度和空间复杂度进行分析.特别地，为了实现近似概念认知，设计乐观悲观两种信息融合策略，使得对于任意对象集和属性集为线索的概念认知至少获得一个上界概念.最后，数值实验表明概念渐进式认知算法的有效性.  关键词  粒计算；概念认知；形式概念分析；概念格；认知算子  中图法分类号  TP18      Incremental cognition of concepts: Theories and methods LI Jin-Hai1), 2)   MI Yun-Long3)    LIU Wen-Qi1), 2) 1)(Data Science Research Center, Kunming University of Science and Technology, Kunming   650500) 2)(Faculty of Science, Kunming University of Science and Technology, Kunming   650500) 3)(School of Computer and Control Engineering, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing   100190)   Abstract   Concepts are often considered to be the basic cognitive units of knowledge representation, and they consist of two parts: one is the extent and the other is the intent. Considering that the extent and the intent of a concept are able to induce each other, we can obtain a concept once its extent or intent is completely determined. As is well known, concept cognition is to select all the attributes that belong to the concept, and at the same time, eliminate other attributes that do not belong to the concept. In other words, a concept can be formed by means of 计算机学报李金海等：概念的渐近式认知理论与方法  5  为了严谨起见，约定修正操作至少在已执行过一次增量操作之后才允许实施，即t³1. 综上，当新增认知部分 )(1XFt +不为空时，执行增量认知操作；否则，执行修正认知操作. 需要指出的是，修正操作实际上包含两个子操作：式（2）可看作是删除操作，即删除上一次新增的认知部分；式（3）可看作是修改操作，即将最新累积认知修改成 t-1时刻的认知结果.再结合增量操作，那么渐进式认知过程就具备对概念信息进行增删改的功能. 此外，考虑到修正操作会将之前认知过的部分又删减掉，所以 )(1XFt +允许取重复值（一旦取重复值，意味着这两个状态之间的某个时刻已执行过修正操作，如 )()(2XFXFtt -= ，则表明t-1时刻执行了修正操作）.这与现实中概念渐进式认知存在反复现象是一致的，即删减掉的部分随着认识越来越深刻又会被重新添加回来. 由于增量操作与修正操作可以交替进行，那么如果没有其他约束，它们将一直持续下去（最坏的情况就是形成交替死循环），这显然不符合实际情况.为此，本文引入额外条件 )()(2XFXFtt -= 作为概念认知的暂停条件，以获得阶段性的概念认知结果. 定义 3.  设 g 是属性-对象算子，tF 是新增认知算子，tf 是渐进式认知算子.对于 UX Í ， AB Í ，若存在正整数t³2 使得 )()(2XFXFtt -=                        (4) BXf,)(t= )(XBg =                    (5) 则称序对( )BX , 为渐进式认知概念. 上述定义中，式（5）比较容易理解，它与完全认知算子的概念定义是类似的；式（4）表示t-1时刻实施过一次修正操作，但相对于未修正之前的状况，概念认知未取得任何进展，即此次修正无效.本文将该时刻视作获得阶段性的概念认知结果. 尽管如此，渐进式认知概念，随着时间的推移，后续再度实施修正操作，它仍有可能获得更多的知识，即多次修正奏效. 此外，不管是增量操作，还是修正操作，渐进式认知算子的通项 )(1Xft +都可以由新增认知算子的通项 )(1XFt +迭代之后完全确定.因此，渐进式概念认知的核心是如何确定每个时刻的新增认知)(1XFt +. 为了解决这个问题，下面先从 ( )Xft和 ( )Xf 的角度，讨论渐进式认知概念与完全认知概念的联系与区别. (ⅰ)  当 t 足够大时，累积渐进式认知 ( )Xft与完全认知 ( )Xf 可认为是等同的，即承认概念认知的有限性，最终趋同. (ⅱ)  现实世界中，人们一般等不到 t 足够大时才进行概念认知，很多时候概念认知具有时效性，即获得一部分信息便开始实施概念认知，所以概念的渐进式认知与时间等因素密切相关，而概念的完全认知则不考虑这类干扰因素. (ⅲ)  渐进式认知概念 ( )BX , 与完全认知概念不一定相等.实际上，根据定义 3，渐进式认知概念( )BX , 仅仅只是满足实施一次修正操作之后，未能获得更多的知识，但据此并不能得出 ( )Xft和 ( )Xf就一定相等，因为实施一次修正操作未能奏效，不代表实施多次修正操作也无法奏效. (ⅳ)  渐进式认知概念 ( )BX , 只是一个相对概念，从某种程度上而言它是不稳定的，即随着时间推移，它有可能再次被更新.然而，完全认知概念是已有信息诱导出的稳定概念，除非信息出现更新，否则它被认为是最终的认知结果. (v)  渐进式认知概念 ( )BX , 是根据当前信息作出的一个阶段性概念认知结果，它很可能只是一个满意解，主要是为了通过该满意解来及时指导下一步的行动. 例 1.  表 1 给出了一个形式背景 ( )=IAUK ,, ，其 中 对 象 集 { }54321=,,,, xxxxx U ， 属 性 集{ }=,,,,,fedcba A ，表中数字“1”表示所在行的对象拥有所在列的属性，数字“0”表示所在行的对象不拥有所在列的属性.取 { }210=, xx X ，下面计算线索0X 的渐进式认知概念. 表 1 形式背景( )=IAUK ,,  U a  b c  d e f  1x  1  1  1  1  1  0 2x  1 1 1 1 1 0 3x  0 1 1 0 0  0 4x  0 0 1 1  1  0 5x  0 0 0 0  1  1  假设 ( )itXF 为 t 时刻随机选择iX 的一些共性计算机学报计  算  机  学  报  2019 年  属性组成的集合，这里iX 是通过属性-对象算子 g作用于累积共性属性集 ( )it--11Xf 上产生的.那么由式（1）、式（2）、式（3），概念渐进式认知的具体实施步骤如下： ①  令 ( )},{01Fdc X = ，执行增量操作，即 },,{)()(0101fF ==dc XX  }.,,{}),({4211==xxxdcg X  ②  由 于 ( )}{12Fe X = ， 执 行 增 量 操 作 ， 即},,{)()()(120112ff X UF ==edc XX （此处不妨认为)()(0111fXf X = ，因为0X 的共性属性 c 和 d 也是1X 的共性属性）， .},,{}),,({1421==Xxxxedcg  ③  由于 ( ) Æ=13XF ，执行修正操作，即 },,{)()()(121212ff XF =-¬dc XX  }.,{)()(1113ff =¬dc XX  ④  由于 ( )}{14Fe X = ，执行增量操作，即 },,,{)()()(141314ff X UF ==edc XX  .},,{}),,({1421==Xxxxedcg  ⑤  注意到，此时已满足 ( ) ( )}{1214FF ==e XX且 },,{)(14f =edc X 和1}),,({ Xedcg = 均成立，所以}),,{,(1edc X 是一个渐进式认知概念. 上述计算中，修正操作会受新增认知算子tF 的影响.比如，本例步骤①中，如果令 ( )}{01Fc X = ，那么步骤②就要开始执行修正操作，因为添加共性属性 c 之后，其他属性就无法再添加进去，所以需要通过修正操作退回到初始状态，以便调整 ( )01XF的赋值，获得更加理想的概念认知结果. 下面讨论如何设计新增认知算子tF ，以揭示概念渐进式认知的主要研究内容. 这个问题大致可描述为：给定对象集 X ，从第1 次到第 n 次认知，假设依次新增的认知部分为)(,),(),(21XFXFXFnL ，那么它们之间有何关联？即具体取什么值？显然，当 ƹ+)(1XFt时，说明它识别出 XF)(t未曾识别的共性属性（已被修正过的认知除外）.这是问题的关键所在，为什么有些共性属性在上一次被识别出来，而有些共性属性却要延迟到下一次认知中才能被识别呢？从认知心理学角度而言[30]，这是由于属性被识别存在不均衡的现象，即有些属性容易被识别，而另外一些属性相对难识别。这就说明共性属性被识别存在“认知优先关系”.换言之，当人们识别共性属性时，会出现一些共性属性优于其他共性属性被提前识别出来的现象.造成共性属性“认知优先关系”的原因很多，比如，先验知识，个体偏好，背景知识等.下面列举几个例子予以说明. 例 2.  以表 1 为例.假设恰好被目标对象集 X 所拥有的属性为 X 的理想共性属性，那么对于那些除了被 X 拥有之外还被其他对象所拥有的共性属性而言，“其他对象越多，意味着这个共性属性越不理想”就成为先验知识.取 { }21=, xx X ，则共性属性的渐进式认知过程为 ®®,,ecdba ，因为 a 是理想共性属性(刚好与 X 完全匹配，第一次就被识别出来)， db, 是次理想共性属性(除了与 X 匹配，还被另外一个对象匹配，第二次才能被识别出来)，而ec, 是最不理想的共性属性(除了与 X 匹配，还同时被另外两个对象匹配，最后才被识别出来).这里的共性属性“认知优先关系”是由先验知识获得的. 例 3.  图 1 给出了两幅图片，每幅图片包含若干图形，每个图形内的英文字母表示该图形的填充颜色，其中 r：红色，b：蓝色，y：黄色，g：绿色，p：粉色.现要求找出它们共同拥有的图形.显然，不同的人去完成这个任务，最终结果很可能是一样的，但是识别出所有相同图形的先后顺序往往会存在差异.比如，现在派甲、乙两位男同学去完成这个任务，他们对图形本身没有偏好，但是对颜色有偏好.假设甲对颜色的偏好依次是：粉色→蓝色→绿色，而乙对颜色的偏好依次是：蓝色→绿色→粉色.那么甲和乙识别出相同图形的先后顺序分别为：圆柱体→三角形→长方体，三角形→长方体→圆柱体.尽管最终的结果相同，但是认知过程是有差异的.这里的共性属性“认知优先关系”是由于个体对颜色的偏好导致的. 计算机学报李金海等：概念的渐近式认知理论与方法  7  图 1  识别相同图形  例 4.  图 2 给出了两篇论文的参考文献，要求找出它们共同引用的论文.显然，这两篇论文的参考文献均是按“字母序”排列的.当查找相同引文时，可以充分利用这一背景知识.具体地，从上往下比对，第一篇找出来的相同引文是 Fehr  and  Gachter (2012)，第二篇找出来的相同引文是 Liu (2016)，第三篇找出来的相同引文是 Nowak  (2006).这里的共性属性“认知优先关系”是由背景知识获得的. 根据上述实例及其讨论，下面给出共性属性“认知优先关系”的定义.    图 2  两篇学术论文引用的参考文献  定义 4.  给定属性-对象算子 g ，对象集 UX Í及其共性属性 Aaaa Î21,, .如果对于 X 的渐进式认知，1a 与2a 存在优先关系，不妨记21aa f （或12aa p ），那么称1a 比2a 更容易被识别；如果21aa f且21aa p ，那么称1a 与2a 被识别的难易程度相同.进一步，若 a 比剩余所有共性属性都更容易被识别，则称它是 X 最容易被识别的共性属性. 根据前面的讨论，这里的共性属性认知优先关系 f （或p ）一般由概念渐进式认知问题中的先验知识、个体偏好、背景知识等诸多因素决定.实际上，共性属性认知优先关系并不是一成不变的.比如，执行修正操作后，通常会将修正部分无条件降为最不容易被识别的共性属性. 为了方便讨论，记 ( )XtBer 为 t 时刻对象集 X 的所有最容易被识别的共性属性组成的集合. 例 5.  以 表 1 为 例 ， 假 定 目 标 对 象 集 为{ }21=, xx X .那么根据例 2 对渐进式认知的讨论结果可知， ( ) { }a X =1Ber ， ( ) { },Berdb X2= ， ( ) { },Berec X3= . 定义 5.  给定对象集 UX Í ，定义新增认知算子tF 为 ( ){ })(|Ber)(1FaXfa XXttt -ÏÎ=          (6)                    其中 )(1Xft -与 )(,),(),(121XFXFXFt -L 的关系由式（1）、式（2）和式（3）确定. 由定义 5 可知， XF)(t表示t 时刻对象集 X 最容易被识别的所有共性属性组成的集合，这些共性属性在t 时刻之前未被识别或已被识别但又被修正删 除 . 至 此 ， 关 于 如 何 选 取 新 增 认 知 部 分)(,),(),(21XFXFXFnL ，已讨论完毕. 利用新增认知 XF)(t，再结合式（1）、式（2）和式（3）可知，在渐进式认知结束之前，渐进式累积认知算子tf 满足以下条件： UTiitXFXfÎ= )()(                        (7) 其中 },1,,,1,,1,{},,2,1{2211+++-=kkLLsssssst T  1,,1,121+++ksss L 表示渐进式认知算子在 t 时刻之前执行过修改操作（即式（3））的所有时刻，而k,,,sss21L 表示执行修改操作时同时又实施删除操作（即式（2））的所有时刻.换言之， ( )Xft表示从初始时刻到t 时刻，对象集 X 的累积认知（部分认知由于被执行修正操作，可能出现反复，即添加后又被删除，甚至再添加，但该认知过程的总体趋势是渐进累积的）. 例 6.  以 表 1 为 例 ， 假 定 目 标 对 象 集 为{ }21=, xx X ，并满足例 2 中的先验知识. ①  当 t=1 时， ( ) { }a X =1Be r ， ( ) { }Fa X =1，( ) ( ) { }fF ==a XX11. 计算机学报8  计  算  机  学  报  2019 年  ②  当t=2 时， ( ) { },Berdb X2= ， ( ) { }Fdb X ,2= ，( ) ( ) ( ) { }FXfFdba XX ,,212== U . ③  当t=3时， ( ) { },Berec X3= ， ( ) { }Fec X ,3= ，( ) ( ) ( ) ( ) { }FXFXfFedcba XX ,,,,3213UU== . ④  当 t=4 时， ( ) Æ=X4Ber ， ( ) Æ=XF4，故( )Xf3执 行 删 除 操 作 ， ( )Xf4执 行 修 改 操 作( ) ( ) ( ) { }FXfFdba XX ,,214== U . ⑤  当t=5时， ( ) { },Berec X5= ， ( ) { }Fec X ,5= ，( ) ( ) ( ) ( ) { }FXFXfFedcba XX ,,,,5215UU== .此时，( ) ( )XFXF35= 已满足，所以结束概念渐进式认知. 从例 6 的③、④和⑤可知， Xf)(t在渐进式认知过程中，确实会发生反复现象. 性质 1.  给定对象集 UX Í ，则对任意 t ，( ) ( )fXf XtÍ . 证明. 根据上述讨论，显然成立.      证毕. 性质 2.  给定对象集 UX Í ，则对任意 t ，( )( )Xfg XtÍ . 证明. 由式（7）可知， ,)()( UTiitXFXfÎ=  再根据属性-对象算子 g 以及性质 1 的结论，有( ) ( )fXfg Xg)()(tÍ .注意到 ( )ÍXfg X)( ，即可证得 ( )( )Xfg XtÍ .                         证毕. 需要指出的是，如果将性质 2 中的对象集替换为属性集，则结论不成立，即给定属性集 AB Í ，对任意t ， ( )( )Bgf BtÍ 不成立，具体见以下反例. 例 7.  以表 1 为例，并假定目标属性集为{ }=dba B ,, .那么根据例 2 和例 6 中渐进式认知的讨论结果可知， ( ) { }21B ==, xx Xg ， ( ) { }gf BfF )()()(Ì===Ba XX111. 性质 3.  给定属性集 AB Í ，则存在 t 使得( )( )Bgf BtÍ . 证明.  根据约定，本文承认概念认知的有限性，即当t 足够大时， ( )Xft与 ( )Xf 趋同.因此，存在足够 大 的 t ， 使 得 ( )( ) ( )( )gBgf Bft= . 由 于( )( )ÍBgf B ，所以也有 ( )( )Bgf BtÍ .       证毕.      下列例子进一步解释性质 3 的结论. 例 8.  以表 1 为例，并假定目标属性集为{ }=dba B ,, .那么由例 2 和例 6 中渐进式认知的讨论结果可得， ( ) { }21B ==, xx Xg ， ( ) { }gFXf BfF ,,)()()()(dba XX2122=== U , ( ))(2ÍBgf B . 3  概念的渐进式认知方法 本节在概念渐进式认知原理的基础上，继续讨论如何从一个已知线索（即对象集，属性集，或对象集和属性集）通过渐进式认知获取相应的概念.  3.1  线索为对象集的概念渐进式认知 假定以对象集0X 为线索，通过1f 作用可得0X的第一次共性属性认知 ( )01Xf ，不妨令 ( )010=Xf B表示这些共性属性；利用属性-对象算子 g 对当前获得的共性属性集0B 进行对象认知，获得更新后的对象集 ( )0Bg ，不妨令 ( )01Bg X = 表示更新后的对象集；进一步，通过1f 又可以获得1X 的第一次共性属性认知，根据迭代累积认知思想，如果未实施修正操作，当前认知结果应等于旧认知加上新增认知，即 ( )0111=BXf B U （如果发生修正操作，意味着1X 重新被赋值，那么以最新一次赋值为准）；再利用属性-对象算子 g 对共性属性集1B 进行对象认知，又可获得更新后的对象集 ( )12Bg X = .上述过程进 行 反 复 迭 代， 可 得 到一 系 列 的 认 知对 象 集n,,,XXX43L 和一系列的共性属性集n,,,BBB32L .为了下文叙述方便，本文将上述过程称为迭代累积认知. 注意到，上述迭代累积认知过程，与第 2 节介绍的概念渐进式认知原理似乎不太一致.原因是第 2节强调的是针对同一对象集 X 进行共性属性的渐进式认知，而这里的迭代累积认知得到的是一系列对象集n,,,XXX21L .换言之，对相同对象集反复识别是第 2 节概念渐进式认知原理的核心思想，一系列对象集的迭代累积认知除非它们相等，否则第 2节提出的概念渐进式认知原理应用于此处效果会不佳，即式（7） UTiitXFXfÎ= )()(  不能较好的发挥作用（它是渐进式认知思想的具体表现）.令人欣慰的是，上述迭代累积认知产生的一系列有效对象集n,,,XXX21L （发生修正操作时，无效的对象集不予记录），确实是相互相等的，下面把这个结论通过以下性质给出. 性质 4.  给定对象集 UX Í0，如果通过算子1f和 g 对0X 进行迭代累积认知得到一系列的对象集n,,,XXX21L ，那么n===ÍXXXX L210. 证明.根据迭代累积认知过程的设计，可得( ) ( )( )0101g ==Xfg BX ，再结合性质 2 的结论：计算机学报