39- ）少，并且在一定程度上缓解了小样本问题［6］。最大散度差（Maximum Scatter Difference，MSD）鉴别分析［7］通过最大化投影空间中样本的类间散布与类内散布之差来求取投影矢量，无需对类内散布矩阵的求逆，避免了线性鉴别分析的小样本问题，也进一步加快了运算速度。非参数特征分析（Nonparametric Feature Analy-sis，NFA）［8］以样本的 k 近邻样本计算类间散布矩阵和类内散布矩阵，而不是仅仅依靠类的中心。这种散布矩阵的构造突破了线性鉴别分析（LinearDiscriminant Analysis，LDA）类间散布矩阵的秩最大只能为 C-1（C 代表总的类别个数）［9］的限制，能够提取更多的特征用于高维数据和多类目标的识别任务；在计算类间散布矩阵时加入权值系数，使NFA 更加注重类边界样本的作用，相比于传统的鉴别分析能够获得类的边界信息，而边界信息对于识别往往也是非常重要的［8］；LDA 是对高斯分布最优的，即假设了每类的样本都服从高斯分布，而 SAR图像数据一般是不服从高斯分布的［10］，NFA 对散度矩阵的重新构造使其对非高斯分布的数据同样适用［8］。本文提出的 2DNMSD 不仅克服了线性鉴别分析只对数据高斯分布最优的缺陷，有效地提取了类的边界信息，而且降低了散布矩阵的维数，从根本上避免了 LDA 的“小样本”问题，所提取的特征个数也不再受到 C-1 的制约。1 二维最大散度差（2DMSD）鉴别分析1.1 图像水平方向 2DMSD假设训练样本集 ，其中 Aji为第 i 类第 j 个训练样本的图像矩阵，矩阵的大小 m×n，总的训练样本总数为 N，第 i 类训练样本的个数为 Ni，C 为总的类别数。第 i 类的训练样本均值为 Ai，全体训练样本均值为 A，定义二维情况下的类间散布矩阵和类内散布矩阵如下［11］：（1）（2）其中， 和 分别表示第 i类和第 j 类的先验概率，一般用每一类的训练样本个数与总训练样本个数的比值作为每一类的先验概率即。根据最大散度差准则，定义如下准则函数：（3）式中的 w 为归一化的列向量。使准则函数J（w）最大的w即为最优投影轴wopt，对于多类问题，仅仅一个投影方向是不够的，一般取一组投影轴w1，…，wr组成投影矩阵 。根据广义瑞利熵的极值性质［12］，则需要求的最优投影矩阵WRopt就是由 SbR-SwR前 r 个最大特征值对应的单位特征向量构成。求出投影矩阵 WRopt后，对每一个训练样本进行投影即可得到训练样本的特征矩阵 FiR：（4）任给一幅待识别目标的图像 向 WRopt投影，即可得到测试样本的特征矩阵 FR：（5）1.2 图像列方向 2DMSD上节水平方向 2DMSD 实际上是将图像按行划分为块，然后使用 MSD 方法进行处理。它消除了图像列之间的相关性，沿水平方向上对图像进行压缩，将水平方向上的判别信息压缩在极少的列上，这也是将之称为水平方向 2DMSD 的原因。但是，它忽视了图像行之间的相关性以及垂直方向上判别信息的压缩。为此，给出垂直方向 2DMSD，垂直方向2DMSD 是在水平方向 2DMSD 的类间散布矩阵和类内散布矩阵定义的基础上，对类间散布矩阵和类内散布矩阵另一种形式的定义：（6）（7）式中各项的定义与 1.1 类似，通过对 SbL-SwL的特征值分解，取前 l 个最大特征值对应的单位特征向量构成垂直方向上的投影矩阵。同样地，将训练样本 Ai和待识别的测试样本 A 向 WLopt投影，求取训练样本特征矩阵 FiL和测试样本特征矩阵 FL：（8）（9）2 非参数特征分析（NFA）假设训练样本集为 ，其中 Aji代表第 i 类第 j 个训练样本的图像矩阵，矩阵的大小为 m×n，总的训练样本总数为 N，第 i 类训练样本的个数为 Ni，C 为总的类别数。将训练样本的图像矩阵进行矢量化转换，形成矢量形式的图像数据。非参数形式的类间散布矩阵 SbNFA和类内散布火 力 与 指 挥 控 制 2014 年 第 5 期·102·0840 39- ）其中，散布矩阵中各项定义与 3.1 节相同，对SbA2DNMSD-SwA2DNMSD进行特征值分解，A2DNMSD 最优投影矩阵 即由前 l 个最大特征值对应的单位特征向量构成。对于任意样本数据，它在投影空间中的特征 为：（20）4 基于 2DNFA 的 SAR 图像目标识别使用美国 MSTAR 计划录取的数据进行仿真实验，MSTAR 数据是迄今公开较为完备的、评价 SARATR 算法性能较为标准的数据。数据由聚束式 SAR获取，分辨率为 0.3 m，图像切片大小为 128*128 像素，包括了俯仰角在 17°和 15°下的 3 类目标，即BMP2（装甲运兵车）、BTR70（装甲车）及 T72（主战坦克），每类目标包含了大量不同方位角下的图像，方位覆盖范围为 0°~360°。图 2 为 3 类目标的光学图像，图 3 给出了 BMP2_9563 装甲车在方位角 8°、80°、160°下的 SAR 图像。选择俯仰角下的 3 类目标数据作为训练样本，15°俯仰角下的数据作为测试样本，表 1 列出了所用数据的种类和个数。分别用数据库中的测试样本进行识别，方位角信息未知，识别率取所有测试样本的平均识别率，特征维数 l 和 r分别取 38、34、30、26、22、18、14、10、6、2。BMP2 BTR70 T72图 2 3 类目标的光学图像4.1 预处理为了更好地提高识别性能，需要对图像切片进行一定的预处理［2］：通过对数变换来减小目标图像的动态范围并抑制乘性噪声，恒虚警阈值分割和形态学滤波可以进一步减小噪声的影响，基于幂变换的图像增强可以突出图像的某些信息，归一化处理消除了目标相对于 SAR 的距离不同造成的回波强度差异，最后对图像进行二维傅里叶变换，以保证目标的平移不变性。因傅里叶变换幅频特性具有对称性，为了压缩样本维数减小运算量，取幅频信息的一半作为特征提取的输入，这样预处理后数据的大小为 128*64。4.2 特征提取参照 3.1 和 3.2 对预处理后的训练样本进行2DNMSD 和 A2DNMSD 方 法 的 特 征 提 取 ， 求 出2DNMSD 的投影矩阵 和 A2DN-MSD 的投影矩阵 。根据式（17）和式（20）即可求出任意训练样本i和待识别的测试样本 A 在两种投影空间中的特征矩阵。4.3 分类器设计为了体现本文方法提取特征的有效性，使用最简单的最近邻分类器对测试目标进行识别：先计算测试样本与每个训练样本在特征空间的距离，与测试样本距离最小的训练样本的类别即为该测试样本的类别。分别对 2DNMSD 和 A2DNMSD 的投影空间中的距离作如下定义：（1）基于 2DNMSD 特征的距离定义：测试样本的特征矩阵 与第 i 个训练样本的特征矩阵的距离定义为：（21）（2）基于A2DNMSD 特征的距离定义：测试样本的特征矩阵 与第 i 个训练样本的特征矩阵的距离定义为：（22）图 3 BMP2_9563 在俯仰角 17°，方位角 8°、80°、160°的 SAR 图像表 1 实验数据的种类及样本数数据类型 目标类别与型号 样本个数 样本总数训练数据（俯仰角为 17°）BMP2（9 563） 233BTR70（c71） 233698T72（132） 232测试数据（俯仰角为 15°）BMP2（9 563） 1951 365BMP2（9 566） 196BMP2（c21） 196BTR70（c71） 196T72（132） 196T72（812） 195T72（s7） 191火 力 与 指 挥 控 制 2014 年 第 5 期·104·0842（总第 39- ）矩阵 SwNFA定义如下：（11）其中，xji∈（m×n）×1表示第 i 类第 l 个训练样本的图像矩阵进行矢量转换之后的矢量形式，NNp（xji，j） 表示 xji到第 j 类训练样本中的第 p 个最近邻样本，kb和 kw为计算类间散布矩阵和类内散布矩阵时的近邻个数，ω（i，j，p，l）定义如式（12）所示，其中d（v1，v2）表示向量 v1和 v2之间的欧氏距离，α 为零到无穷大的常数，用来调节权值系数 ω（i，j，p，l）随着的近邻样本欧氏距离比值的变化速度。（12）分析式（10）~ 式（12）以及参照图 1 可以看出：线性鉴别分析的参数化散布矩阵的构造仅仅依靠类中心 （如图 1 虚线箭头所示），而 NFA 打破了LDA 的固有限制，散布矩阵不再仅仅依赖类中心，而是由样本的近邻样本来计算，当近邻数为 1 时，NFA 的类间散布即如图 1 实线箭头所示，如此构造散布矩阵更能体现数据的结构特征，提取的特征数也不再受到 C-1 的制约；从权值系数 ω（i，j，p，l）的式（12）定义可以看出，当样本 xji在类边界上时 ω（i，j，p，l）的值可达到或接近 0.5，随着样本 xji远离边界ω（i，j，p，l）趋向于 0，权值系数 ω（i，j，p，l）使 NFA 更加注重对边界信息的提取［9］。3 二维非参数最大散度差（2DNMSD）鉴别分析3.1 基于图像行方向的 2DNMSD根据非参数特征分析的思想，在二维情况下，直接在图像矩阵上进行类间散布矩阵 Sb2DNMSD∈n×n和类内散布矩阵 Sw2DNMSD∈n×n的计算：（13）（14）权值系数为 ω（i，j，p，l）定义如下：（15）其中， 表示第 i 类第 j 个训练样本的图像矩阵，NNp（Aji，j）表示 Aji到第 j 类训练样本中的第 p 个最近邻样本，d（A1，A2）表示矩阵和 之间的欧氏距离：（16）在式（13）~ 式（16）中，A（i，j）代表矩阵 A 第 i 行j 列的元素，kb、kw和α 定义与式（10）~ 式（12）相同。结合最大散度差鉴别分析的思想，最优投影方向即由 Sb2DNMSD-Sw2DNMSD的前 r 个最大特征值对应的单位特征向量构成。对于任意样本数据 ，它在投影空间中的特征为：（17）从式（13）、式（14）和式（17）可以看出 2DNMSD方法是建立在图像矩阵行的基础上，即对行信息进行鉴别，同样，也可以从图像的列方向上进行鉴别分析，下面给出 2DNMSD 的另一种形式———基于图像列方向的 2DNMSD （Alternative 2DNMSD，A2DN-MSD）。3.2 基 于 图 像 列 方 向 的 2DNMSD（Alternative2DNMSD，A2DNMSD）构造 A2DNFA 的类间散度矩阵和类内散度矩阵 如下：（18）（19）（10）图 1 NFA 非参数类间散布与 FLDA 参数类间散布姜 晖，等：二维非参数最大散度差鉴别分析的 SAR 图像识别·103·08412013-03-22 修回日期：2013-04-19作者简介：姜 晖（1964- ），男，江苏淮安人，教授，硕士生导师。研究方向：高速信号采集与实时处理及图像处理系统开发。摘 要：为增强线性鉴别分析（LDA）在图像识别中所提取特征的可鉴别性及避免小样本问题，提出了二维非参数最大散度差鉴别分析（2DNMSD）的图像特征提取方法。首先根据非参数特征分析的准则直接在二维图像矩阵上构造散布矩阵，然后基于最大散度差鉴别分析准则求取投影矢量。基于 MSTAR 计划录取的数据的仿真实验结果表明：即使方位角信息未知并且使用简单的最近邻分类器，该方法所提取特征在较低特征维数下的识别率也可以达到 98 %以上，表明了方法的有效性和正确性。关键词：Fisher 线性鉴别分析，最大散度差鉴别分析，非参数特征分析，合成孔径雷达，目标识别中图分类号：TP 751，TN 951 文献标识码：A二维非参数最大散度差鉴别分析的 SAR 图像识别姜 晖，刘 振，王 鹏（解放军电子工程学院，合肥 230037）SAR Image Target Recognition Based on Two DimensionalNonparametric Maximum Scatter Difference Discriminant AnalysisJIANG Hui，LIU Zhen，WANG Peng（Electronic Engineering Institute of PLA，Hefei 230037，China）Abstract：To enhance the performance of linear discriminant analysis and avoid its“small sampleproblem”，an image feature extraction method based on two dimensional nonparametric maximumscatter difference（2DNMSD）discriminant analysis is proposed. In this method，the scatter matrices areconstructed directly on the SAR image matrices by non -parametric feature analysis criterion. Then，projection vectors are computed using two dimensional maximum scatter difference discriminantanalysis criterion. Experiments on MSTAR（Moving and Stationary Target Acquisition and Recognition）public database show that recognition rates of the new method can achieve more than 98 % with lessfeature dimensionality，which indicates the correctness and effectiveness of our method.Key words：fisher linear discriminant analysis，maximum scatter difference，nonparametric featureanalysis，SAR，target recognition引 言合成孔径雷达 （Synthetic Aperture Radar，SAR）图像目标识别已经成为现代战场中最为重要的一种军事侦查手段，SAR 目标识别的研究备受国内外学者的重视和关注，并提出了各种方法。Zhao Qun［1］使用支持向量机（SVM）进行 SAR 图像目标的识别，胡利平将主成分分析［2］用于 SAR 图像目标识别的特征提取，韩萍［3-4］分别使用核鉴别分析（KDA）和核主成分分析（KPCA）提取 SAR 图像目标的特征，然后使用 SVM 进行目标的分类识别。二维线性鉴 别分析 （Two Dimensional LinearDiscriminant Analysis，2DLDA）［5］直接在图像矩阵上构造散布矩阵，然后通过最大化投影空间中样本的类间散布与类内散布之比来求取最优的投影方向，是一种有效的特征提取方法。相比于传统的 LDA，2DLDA 能够更加准确地估计散布矩阵，能够保留图像矩阵的结构信息，计算最优鉴别矢量的时间也较姜 晖，等：二维非参数最大散度差鉴别分析的 SAR 图像识别（总第 39- ）5 实验仿真与分析使用前文介绍的训练样本和测试样本进行本文方法的仿真验证，测试样本方位角信息未知，识别率取所有测试样本的平均识别率。为了简化参数的选取，假设计算类间散布矩阵的近邻数 kb与类内散布矩阵时的近邻数 kw相等，同取为 k。特征维数 l和 r 分别取 38、34、30、26、22、18、14、10、6、2。图 4（a）和（b）显示了参数 α 对识别率的影响，其中散布矩阵近邻个数 k=116。从图中可以看出，在r=2 时，2DNMSD 识别率仍可以达到 91 % 以 上，A2DNMSD 的识别率可以达到 92 %，且两者在较低维数时识别率均可以达到 98 %以上，说明本文方法提取的特征信息具有良好的可鉴别性。从图 4 还可以看出 α 取值为 0.1 和 1 时识别效果较好，同时为了降低算法的运算量，一般可取 α=1。（a） 2DNMSD （b）A2DNMSD图 4 2DNMSD 和 A2DNMSD 在 α 取不同值下的识别率图 5（a）和（b）显示了散布矩阵近邻个数 k 对识别率的影响，其中 α=1。从图中可以看出，本文方法对参数 k 具有一定的鲁棒性，不同 k 值的识别率在一定特征维数下均可以达到 98 %以上。2DNMSD 在不同 k 值下识别率都在 95 %以上；只有 A2DNMSD在 k=230，识别率相对较低。可见 k 取值并不是越大越好，因为当 k 接近某类训练样本个数时，2DNMSD的性能趋于 2DMSD，丧失了非参数特征分析的优越性，进而导致性能的下降，一般取每类训练样本个数的一半即可［8］。（a） 2DNMSD （b）A2DNMSD图 5 2DNFA 和 A2DNFA 在参数 k 不同值下的识别率综合图 4、图 5，2DNMSD 和 A2DNMSD 在较低的特征维数下即可达到识别率的峰值，因此，特征维数一般选择在 6~22 即可。还可以看出，随着维数的进一步增大，2DNMSD 识别率反而出现下降的趋势；A2DNMSD 则在一定达到维数后识别率趋于稳定。为了进一步验证本文方法的有效性，表 2 给出了本文识别结果与文献［13-18］识别结果的比较。2DNMSD 和 A2DNMSD 获得的识别率均可高于其他方法的最优识别率，并且所需特征矩阵的维数也较小，更加验证了本文方法的有效性。表 2 不同方法的识别率比较6 结 论二维非参数最大散度差鉴别分析的特征提取方法直接在图像矩阵上构造非参数形式的散布矩阵，利用最大散度差鉴别分析准则求解投影矩阵，不仅保留了图像矩阵的结构信息、有效利用了类的边界信息，而且避免了小样本问题，减小了运算量，即使在方位角未知的情况下仍然可以获得较高的识别率。通过与其他方法比较，可以看出本文方法能够以较低的特征维数达到提高识别率的目的，表明本文方法可行有效。参考文献：［1］ Zhao Q，Principe J C. Support Vector Machine for SAR Au-tomatic Target Recognition ［J］. IEEE Trans on Aerospaceand Electronic Systems，2001，37（2）: 643-654.［2］胡利平，刘宏伟，吴顺君.一种新的 SAR 图像目标识别预处理方法［J］. 西安电子科技大学学报（自然科学版），2007，34（5）:733-737.［3］韩 萍，吴仁彪. 基于 KPCA 准则的 SAR 目标特征提取与识别［J］.电子与信息学报，2003，25（10）:1297-1301.［4］韩 萍，吴仁彪，王兆华. 基于 KFD 准则的 SAR 目标特征提取与识别［J］.现代雷达，2004，26（7）:27-30.［5］ Swets D L，Weng J. Using Discriminant Eigenfeatures forImage Retrieval［J］. IEEE Trans. Pattern Analysis and Ma-chine Intelligence，1996，18（8）:831-836.［6］张 静，王国宏，杨智勇，等.基于二维子分类鉴别分析的SAR 图像识别方法研究 ［J］. 电子学报，2010，38（4）:方法 识别率（特征维数）PCA+SVM（文献［13］） 94.21 %Adaptive Boosting（文献［14］） 96.12 %ICA+SVM（文献［15］） 96.92 %R_2DLDA（文献［16］） 96.47 %（128*8）L_2DLDA（文献［16］） 96.81 %（28*64）Dia CDA（文献［17］） 97.10 %（128*14）2DMCSD（文献［18］） 97.15 %（128*8）2DNMSD（本文方法，α=1，k=58） 98.54 %（128*6）A2DNMSD（本文方法，α=1，k=29） 98.53 %（18*64）·105·0843 39- ）（上接第 100 页）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%法的稳健性，Woojae Seong 等提出了一种特征提取算法，但未充分利用拷贝协方差矩阵的信号分量，在此基础上，本文构造了两种新的处理器，这两种理器可更好地利用拷贝场协方差矩阵的信号向量和噪声向量。最后使用 1993 年 SACLANT 在北厄尔巴岛的实验数据进行了算法的验证，从仿真结果可看出，不论是固定声源还是运动声源，优化后的NFEM-II 型匹配场处理器都能正确定位，且具有更高的峰值背景比和输出信干比，其定位性能得到了改善。参考文献：［1］杨坤德. 水声信号的匹配场处理技术研究［D］. 西安：西北工业大学，2003.［2］ Baggeroer A B，Kuperman W A，Mikhalevsky P N. AnOverview of Matched Field Methods in Ocean Acoustics［J］. 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