密产品稳健优化设计的研究，以获取真正可用于高尖端领域具备稳健最优的复杂装备精密产品。 稳健优化设计在不消除不确定性源的前提下，通过降低产品性能对不确定性设计参数的敏感性，来增强产品性能的抗干扰性。其有效性已在车辆工程、航空航天等领域得到了应用验证。现有复杂装备相关的研究主要集中在系统可靠性设计、可靠性预测、结构可靠性灵敏度分析上。文献[2]针对复杂装备多阶段小样本贫信息情形下的可靠性预测问题，采用了部分逆转累计灰色 Verhulst 模型对复杂装备可靠性增长进行了有效的预测和监控；文献[3]提出了复杂装备可靠性增长 Stanford B-AMSAA 模型，对历史数据进行了可靠性预测和估计；文献[4]提出了一种多目标加权灰靶可靠性优化设计模型，解决了复杂装备产品可靠性设计优化与算法难题。文献[5-6]基于可靠性设计、可靠性灵敏度分析方法与稳健设计方法对复杂汽车零部件进行了优化设计，采用车轴作为研究实例并验证了方法的有效性；文献[7]对复杂系统进行可靠性设计，并采用复杂水平钻井失效数据验证了复杂系统可靠性方法。由现有文献可知，尚少出现对柔顺复杂装备精密产品不确定性情形下的性能稳健优化设计方面的研究。造成这一困难的根本原因在于柔顺复杂装备精密产品性能与不确定性设计参数之间的复杂非线性隐式函数关系难于通过理论推导获得，往往需要大规模有限元数值模拟获取给定设计空间下的性能响应值。而在稳健设优化计过程需要进行大量不确定性分析，更增加了这一工程难题的复杂性。 建立 Kriging[8-9]代理模型、RBF[10-11]径向基代理模型、RSM[12]响应曲面法代理模型与 SVM[13]支持向量机代理模型是在处理不确定性设计参数与目标响应之间复杂非线性关系，以减少优化求解过程中大规模数值模拟计算难题，实现稳健优化设计的有效途径。但对于设计参数敏感的柔顺复杂装备精密产品高度随机非线性的适用性不强。因此，本文提出一种设计参数不确定性情形下的柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展稳健优化设计新方法。本文方法与现有稳健优化设计方法相比，将多项式混沌扩展代理模型引入稳健优化设计方法中，解决了稳健优化设计模型中的不确定性分析、优化求解效率等难题。 1  柔顺复杂装备精密产品放大倍数性能波动分析 柔顺复杂装备精密产品是一种以新型机构（柔顺机构）的弹性形变来传递、转化能量的新型精密机械产品[14]。柔顺复杂装备精密产品在高尖端领域，其重要作用之一是通过柔性形变来实现输入微位移的放大。典型的柔顺复杂装备精密产品机构如图 1 所示，其通过压电陶瓷在机构两输入端产生输入位移载荷，实现输出端产生输出位移。  图 1 柔顺复杂装备精密产品机构受力示意图 根据柔顺复杂装备精密产品的结构高度对称，选取四分之一的结构来分析其输出位移放大原理。当对机构施加一个水平方向的位移载荷 Dx 时，在其垂直的方向会产生一个向上的输出位移 Dy ，同时柔性杆 CB 的倾斜角度从a 减少到a¢ ，其运动示意图如图 2 所示。 根据机构的运动关系可以得到： ( )( )22 2122 22xxx l y lx l x y lì + + =ïíï+ + D + =î                                               （1） 式中：C 点到 B 点的垂直距离为1y ； C¢ 点到B ¢ 点的垂直距离为2y ； C 点到 B 点的水平距离为xl ；柔顺杆 CB 的长度为 l 。 令 x =0 得到： ( )22 2 2x xDy =l -l -l -l + Dx                                               （2） 由式（1）和式（2）可得柔顺复杂装备精密产品机构的放大倍数为： ( )22 2 22 2 2sin sin 2 cosx xyl l l l x l l x l xAx x xD- - - +Da-a-D -aD= = =D D D                             （3） CC¢B¢ BDxDyxlyl laa¢ 图 2 柔顺复杂装备精密产品机构运动示意图 上述柔顺复杂装备精密产品机构在实际工程应用过程中，由于受到外界噪声因素（外界载荷、加工误差、机械振动、环境温度、环境湿度）影响，使其结构参数处于高度随机不确定性。结构参数稍有微小波动，可能导致其放大倍数产生显著质量波动，进而影响其在高尖端领域功能稳健实现。这种结构参数随机不确定性对柔顺复杂装备精密产品的影响尤为显著。因此，有必要针对结构参数复杂装备精密产品多项式混沌扩展稳健优化设计1 万良琪，陈洪转+，欧阳林寒，张  笛 （南京航空航天大学  经济与管理学院，江苏  南京 211106） 摘要：为了解决精密工程、航空航天、微机电系统领域复杂装备精密产品在设计参数不确定性情形下，其性能质量波动、优化求解效率低下的工程难题，提出一种基于多项式混沌扩展（Polynomial Chaos Expansion，PCE）的 6σ 稳健优化设计新方法。基于随机响应面法和有限元数值模拟方法，构建了复杂装备精密产品目标响应和约束响应的多项式混沌扩展代理模型；在此基础上结合 6σ 稳健优化设计方法，建立了复杂装备精密产品多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计模型，并采用 NSGA-II算法对模型进行求解；算例结果表明：本文所提出的稳健优化设计新方法可有效地解决实际工程中因设计参数不确定性而导致复杂装备精密产品性能质量波动及优化求解效率低下的难题。 关键词：多项式混沌扩展；稳健优化设计；不确定性；复杂装备 中图分类号：TH112        文献标识码：A Polynomial chaos expansion robust optimization design for complex equipment products WAN Liangqi，CHENHongzhuan，OUYANG Linhan，ZHANG Di   (College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing  211106，China) Abstract:To  solvequality  fluctuation  and  low  optimization  efficiency  of  difficult  engineering  problems ofcomplicated  equipment  products  which  under  random  uncertain  conditions  in  precision  engineering， aerospace ，   micro-electromechanical  systems.  The  new  method  combined  with  polynomial  chaos expansion  theory  and  six  sigma  robust  optimization  designs  was  presented  in  this  study.The  stochastic response  surface  and  finite  element  method  are  given  establishment  of  polynomial  chaos  extension surrogate  model  for  target  response  and  constraint  response  to  complex  equipment  products.Then，we establishedpolynomial chaos extension six sigma robust optimization design. And the NSGA-II algorithm is utilized to solve the model. The numerical results showed that this new method can be stable quality and property  fluctuation  and  raise  optimization  efficiency  caused  by  design  parameters uncertainties  of complex equipment products in practical engineering. Key words:polynomial chaos expansion；robust design optimization；uncertainty；complex equipment                                                             收稿日期：2016-12-25；修订日期：2017-03-13。Received 25 Dec.2016;accepted 13 Mar.2017. 基金项目：国家自然科学基金资助项目（51365015，51665017，71372080，71671091）。Foundation items:Project suported by the National Natural Science Foundation，China(No.51365015，51665017，71372080，71671091）. 0  引言 复杂装备精密产品作为一种技术密集度高的精密产品，被广泛应用于航空航天、武器系统、微机电系统、航空母舰等领域[1]。在实际工程应用中复杂装备精密产品性能稳定性往往受到内部设计参数和外部噪声因素的不确定性波动影响，往往造成复杂装备精密产品在高尖端领域出现质量损失、制造成本过高及性能稳健难以实现等实际工程难题。因此，迫切需要开展在设计参数不确定性情形践经验及多项式混沌扩展代理模型假设可知，按照输入设计变量不同类型分布情形下的混沌多项式扩展基底选择如表 1 所示。 表 1 常用随机变量分布类型及转换关系 分布类型  正交多项式  取值范围 高斯分布  Hermite 多项式 (-¥, +¥)  均匀分布  Legendre 多项式 [0, +¥)  贝塔分布  Jacob 多项式 [a,b]  伽马分布  Legendre 多项式 [a,b]  依据上文可知，柔顺复杂装备精密产品不确定性结构参数服从高斯分布。故选取 Hermite 多项式作为多项式混沌扩展的基底。根据柔顺复杂装备精密产品存在多维不确定性设计变量影响，可根据文献[17-19]构建多维 Hermite 多项式 ( )1, ,p i ipGx Lx 表达式，如下： ( ) ( )112211, , 1, ,TTnnp i ipi ipeex xx xx xx x-¶G = -¶LL                                               （7） 当 p分别为 1，2，3 阶次时， ( )1, ,p i ipGx Lx 的表达式分别为： ( )1 11 i iGx =x                                                                 （8） ( )11 21 221 221 21,,,ii ii ii ii ixx xx xì - =ïG = í¹ïî                                                   （9） ( )1 11 2 3 1 3 31 2 331 2 323 1 2 31 2 33 ,, , ,i ii i i i i ii i ii i ii i ii i ix xx x x x x xx x xì - = =ïïG = í- = ¹ï¹ ¹ïî                                             （10） 将上述多维 Hermite 多项式表达式（7），代入多项式混沌扩展近似模型式（4），高斯随机响应进行展开可得： ( ) ( ) ( )( )11 1 2 1 21 21 21 2 3 1 2 31 2 31 10 0 1 1 21 1 1131 1 1ˆ,, ,P Pii i i i i ii i iPi ii i i i i ii i iY x a a aax x xx x x- -= = =-= = == G + G + G +G +å ååååå L                                                 （11） 式中：系数ib 与系数1, ,i ipa La 对应； ( )iy x 与多项式函数 ( )1, ,p i ipGx Lx 对应。 （3）多项式混沌扩展系数求解 多项式混沌系数的确定对柔顺复杂装备精密产品响应Y(x) 估计精度有着重要作用。通常，多项式混沌扩展系数的确定有嵌入式和非嵌入式两种方法[20-22]。嵌入式在多项式混沌扩展系数的计算过始模型进行调整和改进，增加了系数求解的复杂度，然而非嵌入式则不需要。因此，本文采用非嵌入式方法来确定多项式混沌扩展系数。 （4）多项式混沌扩展代理模型精度检验 多项式混沌扩展代理模型精度检验是构建多项式沌混扩展 6σ 稳健优化设计模型的基础。在随机不确定性概率空间内，对于每个样本点，目标响应的估计值 ˆY(x) 与实际值Y(x) 之间的差异可通过误差e 来表示： ( ) ( ) ( )2iˆ1, 2, ,i i ie =p x éY x -Y x ùi =më ûL                                                     （12） 本文采用平方和根 SSR来表示多项式混沌扩展代理模型整体误差，其表达式如下： ( ) ( ) ( )( )211ˆni i iiniip Y YSSRpx x xx==æ öé -ùç ë û÷è ø=åå                                                     （13） 采用相对平方和 RSSR 根来判断所构建的代理模型精度是否达到要求，其表达式如下： ( ) ( ) ( )( ) ( )211 1ˆ1ˆni i iin ni ii ip Y YRSSRy pnx x xx x== =æ öé -ùç ë û÷è ø=æ öç ÷è øåå å                                                 （14） 式中： ( )ip x 为ix 的概率密度函数； ˆ( )iY x 与 ( )iY x 分别表示多项式混沌代理模型响应值与实际响应值。 根据平方和根 SSR与相对平方和根 RSSR 的值越小，表示所构建的多项式混沌扩展代理模型精度越高。 3  基于多项式沌混扩展 6σ 稳健优化设计 3.1  建立柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计模型 柔顺复杂装备精密产品在实际工程应用中，其设计参数在复杂工况下往往具有一定波动性和统计分散性，容易导致设计参数的不确定性。传统确定性优化设计在设计阶段，由于忽略了外界噪声因素带来的不确定性设计变量波动，且优化目标响应仅考虑响应目标的均值而不包括方差。故传统确定性优化设计方案往往具有波动性。 在完成构建柔顺复杂装备精密产品目标响应多项式混沌扩展代理模型基础上，结合 6σ 稳健优化设计建模思路[23-24]，建立柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展的 6σ 稳健优化设计模型如下所示： 形下的柔顺复杂装备精密产品性能（放大倍数）进行稳健优化设计。 2  构建柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展代理模型 多项式混沌扩展法是一种有效描述和量化随机不确定性的新方法[15]。由于柔顺复杂装备精密产品机构运动不是传统刚体运动，其传递运动的影响因素较多且较复杂，难于通过理论推导获取输出响应和输入设计变量之间的显式函数关系，且在优化求解过程中需要进行大规模有限元数值模拟来获取目标响应值（放大倍数）和约束响应值（最大等效应力）。因此，本文采用多项式混沌扩展代理模型来描述目标响应、约束响应与不确定性设计变量之间的随机复杂非线性隐式函数关系。 由上节结构参数不确定性情形下的柔顺复杂装备精密产品放大倍数质量波动分析，结合多项式混沌扩展的适用条件，同时依据工程实践经验及相关研究文献[16]本文做出如下假设： （1）柔顺复杂装备精密产品不确定性结构参数 [ ]1 2, , ,nx =x x Lx 在设计空间内服从高斯分布； （2）输入不确定性结构参数 [ ]1 2, , ,nx =x x Lx 之间相互独立。 根据上述对柔顺复杂装备精密产品的多项式混沌扩展提出的假设，且考虑柔顺复杂装备精密产品实际工程应用中的复杂程度，对所构建模型精度的逼近要求，选择不高于 P 阶次的多项式混沌扩展模型，其响应Y(x) 近似模型可表达为： ( ) ( )10ˆPi iiY x by x-== å                                                                 （4） 式中：ib 为多项式混沌扩展系数； ( )1 2, , ,nx =x x Lx 为 n 维随机设计变量； ( )iy x 为以随机变量 x 为参量的多维正交多项式； P 为多项式混沌近似模型的项数。 其中，多项式混沌近似模型的多项式混沌扩展系数的项数 P 可通过式（5）确定： ( )( )( )( )( )!1 ! 1 !( )!11 ! 1 !2! 1 ! ! ! !nn n p n pPn n n p n p+ - + += + + + + =- - -L                                       （5） 构建柔顺复杂装备精密产品目标响应多项式混沌扩展代理模型的前提需要完成如下三方面工作： （1）随机不确定性设计变量线性变换 为了描述设计参数的不确定性，可根据式（6）将输入不确定性设计变量 [ ]1 2, , ,nx =x x Lx 转化为均值为 0，方差为 1 的高斯分布随机变量。 ( )2iii xixx mxs-=                                                         （6） 式中：ixm 设计变量ix 的数学期望； ( )2isx 为设计变量ix 的方差。 （2）多项式混沌扩展正交多项式基底 )12 221 1 2, , 1,2, ,. . 6 0, 1,2, ,6 6 , 1,2, ,k ki ij ji ili if ff fi i ij g gL Ui iMin F k ps sst g j mi nx xx xx x xw wm s m sx m sx s m m s=ì é ùé ù= - + =ï ê úë ûïë ûïí= + £ =ïï+ £ £ - =ïîå LLL（15） 式中，i 为设计变量个数；k 为目标响应个数； j 为约束响应个数；ifm 为各个响应变量的均值；ifs 为各个响应变量的方差；iM 为期望达到的平均性能目标；1iw 与2iw 分别为不同目标响应均值和方差的权重系数；1is 与2is 分别为不同目标响应均值和方差的归一化系数。 柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展的 6σ 稳健优化设计模型的求解，需要对模型中目标函数及约束函数的均值与方差参数进行估计。对其多项式混沌扩展的均值与方差估计如下所示： ( ) ( ) ( )( ) ( )1ˆ ˆYi iiE Y Y p da p dm x x x xy x x x+¥-¥¥+¥-¥==é ù =ë û=òòå（16） (( ) ) ( ) ( )( ) ( )2212 21ˆY i iii iiE Y Y a p dY p ds x y x x xy x x x¥¥-¥=¥¥-¥=é ùé ù= - =ê úê úë û ë û=òåå ò（17） 3.2  构造复杂装备精密产品多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计流程 本文基于多项式混沌扩展代理模型与 6σ 稳健优化设计模型相结合来解决设计参数不确定性情形下的柔顺复杂装备精密产品性能稳健优化设计难题。其基本流程如图 3 所示。具体步骤如下： 步骤 1   根据柔顺复杂装备精密产品性能设计要求，选取输入不确定性设计变量，并确定其取值空间及分布类型。 步骤 2   采用随机响应曲面法安排试验设计组合表，根据有限元数值模拟分析获取各试验设计组合对应的输出目标响应及约束响应函数值； 步骤 3   在步骤 2 中试验设计组合及有限元数值模拟获取输出目标响应函数值的基础上，依据多项式混沌扩展代理模型的构建思路来建立柔顺复杂装备精密产品目标响应及约束响应的多项式混沌扩展代理模型； 步骤 4   通过平方根和及相对平方根和来对所构建的多项式混沌扩展代理模型精度检验，如果模型精度未通过检验，则重新安排试验设计直至满足精度要求为止。 步骤 5   在满足精度检验的多项式混沌扩展代理模型的基础上，结合 6σ 稳健优化设计模型，建立柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计模型，并估计其目标响应和约束响应的均值与方差。 混沌扩展代理模型的样本来自于比多项式混沌展开高一阶的正交多项式之根。根据实际工程的建模精度要求，本文选取 PCE 多项式阶次为 2 阶，即构建柔顺微操作平台放大倍数和最大 等 效 应 力 多 项 式 混 沌 扩 展 代 理 模 型 的 样 本 点 来 自 于 3 阶 Hermite 正 交 多 项 式 之 根( )1 2 3, 3 , 0, 3i i i i ix =m +sx x = -x =x = 。故其样本点输入空间为43 个样本点。但对于高维随机空间内，其样本输入点远多于多项式混沌展开的系数项 15 项（( )!(4 2)!15! ! 4!2!n pPn p+ += = = ），导致数值模拟成本增加。 从减少有限元数值模拟成本并保证计算精度的角度出发，在设计空间内选取多项式混沌展开系数项的两倍样本数就足于满足计算精度要求。因此，根据式（6）的随机不确定性设计变量均值和方差的线性变换方式，结合随机响应曲面法的 Monte  Carlo 抽样方式，在给定均值和方差情况下进行随机抽样。本文随机抽取 30 个试验设计组合方案。基于有限元数值模拟分析平台 Ansys workbench对随机抽取的 30 个试验设计组合方案进行最大等效模拟仿真获取最大等效应力约束响应值，并通过理论推导公式获取放大倍数目标响应值。平台输入结构参数、输出目标响应和约束响应的随机响应面试验设计组合方案模拟结果如表 3 所示。 表 3 随机响应面试验设计组合方案数值模拟结果 序号  L mm  HL mm  r mm   t mm   Y 倍  maxsMpa 序号 L mm  HL mm  r mm   t mm   Y 倍  maxsMpa1  27.3827   3.0827   2.6827   0.5127   7.2965  10.82909 16  27.4000  3.1173  2.6827   0.5127   7.3301   10.863682  27.3827   3.1000   2.7000   0.5300   7.2360  10.90634 17  27.4000  3.1173  2.7000   0.5300   7.2697   10.785573  27.3827   3.1173   2.7173   0.5473   7.1859  10.26066 18  27.4000  3.0827  2.7173   0.5473   7.1764   10.281394  27.4173   3.0827   2.6827   0.5127   7.3109  10.83572 19  27.3827  3.1173  2.7173   0.5127   7.3009   10.100995  27.4173   3.1000   2.7000   0.5300   7.2505  10.89868 20  27.3827  3.1173  2.7173   0.5300   7.2530   10.197566  27.4173   3.1173   2.7173   0.5473   7.2009  10.29706 21  27.3827  3.0827  2.6827   0.5473   7.2010   11.050837  27.4000   3.0827   2.6827   0.5127   7.3076  10.83753 22  27.4173  3.1173  2.7173   0.5127   7.3191   10.121478  27.4000   3.1000   2.7000   0.5300   7.2334  10.87456 23  27.4173  3.1173  2.7173   0.5300   7.2407   10.136189  27.4000   3.1173   2.7173   0.5473   7.1960  10.29097 24  27.4173  3.0827  2.6827   0.5473   7.2073   11.0674110  27.3827   3.1173   2.6827   0.5127   7.3355  10.87783 25  27.4000  3.1173  2.7173   0.5127   7.3048   10.1105611  27.3827   3.1173   2.7000   0.5300   7.2501  10.92238 26  27.4000  3.1173  2.7000   0.5300   7.2697   10.7855712  27.3827   3.0827   2.7173   0.5473   7.1769  10.25884 27  27.4000  3.0827  2.6827   0.5473   7.2044   11.0583913  27.4173   3.1173   2.6827   0.5127   7.3430  10.88747 28  27.3827  3.1173  2.7173   0.5473   7.1859   10.2606614  27.4173   3.1173   2.7000   0.5300   7.2549  10.91782 29  27.3827  3.1173  2.7173   0.5300   7.2530   10.1975615  27.4173   3.0827   2.7173   0.5473   7.1725  10.23827 30  27.3827  3.0827  2.6827   0.5127   7.2965   10.829094.3 柔顺微操作平台多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计建模 根据多项式混沌扩展的建模思路，选择以 Hermite 正交多项式为基底，建立放大倍数目标响应及最大等效应力约束响应与各不确定性结构参数之间的复杂随机不确定性隐式函数关系。通过式（11）构建目标响应放大倍数 ˆY(x) 和约束响应最大应力 ( )maxd x 的多项式混沌扩展代理模型如下所示： 于 NSGA-II 算法对步骤 5 所构建的柔顺复杂装备精密产品多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计模型的均值与方差进行稳健优化求解，获取最优稳健优化设计方案。  图 3 柔顺复杂装备精密产品稳健优化设计流程 4  案例研究 4.1 柔顺微操作平台放大倍数性能波动分析 本文选取柔顺微操作平台作为柔顺复杂装备精密产品进行研究，其结构如图 4 所示。该平台采用差动式杠杆放大原理，利用位移放大机构对输入端微位移的放大来实现微操作平台其大行程，其设计原理如图 5 所示。根据杠杆原理及平台设计机理可推导出柔顺微操作平台放大倍数与各结构参数之间的函数关系如下所示[25]： 4 3 2 1 4 3(1 / ) (1 / ) /OIyA l l l l l ly= = + + -                                         （18） 将相应柔顺微操作平台结构参数代入式（18），可得柔顺微操作平台放大倍数与各结构参数的关系表达式： ( )( )( )( )2 22 22 2 1 2 2 2HH Hr L tL L r L tAL r t r t L r t- ++ - += -+ + + + + +                                         （19） 直圆型柔性铰链厚度和半径；L 表示杆件度 II、III 的长度；HL 表示直角柔性铰链 H的长度；Oy 输入位移；Iy 输出位移。 IIIIIIIVVABC DEFHoxy 图 4 柔顺复杂装备操作平台 4l3l1l2lIIII FIIVIOBCDEGH 图 5 柔顺微操作平台工作原理 根据大量相关柔顺机构实际工程研究实践表明，柔顺微操作平台在实际不确定性复杂工况情形下，受外界载荷、机械振动、环境温度、环境湿度、加工误差等噪声因素的影响，导致其结构参数疲劳退化，呈现不确定性状态，进而影响其放大倍数的波动。为了实现其微位移的放大倍数在复杂装备上稳健可靠，本文基于提出的多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计新方法来解决这一实际工程难题。 4.2 构建柔顺微操作平台随机响应曲面试验设计组合及有限元数值模拟计算 根据复杂装备中柔顺微操作平台的实际工程要求，确定其不确定性结构参数的取值范围及分布类型如表 1 所示。 表 2 随机输入结构参数特性(单位/mm) 设计变量  物理意义  初始设计 设计空间 分布类型L   杆件 II、III 长度 27.40  [25，35]  Gaussian HL   铰链 H 的长度  3.10  [2.5，3.5] Gaussian r   柔性铰链半径  2.70  [2.2，3.8] Gaussian t   柔性铰链厚度  0.53  [0.5，0.9] Gaussian lHL、uHL、lr、urlt 和ut 分别为不确定性设计变量Lx 、HLx 、rx 、tx 的上下限；Y(x)m和Y(x)s 为目标响应估计的均值与方差； ( )maxd x 为最大等效应力； ( )maxm éd x ùë û为最大等效应力的均值；d为材料屈服强度。 4.4  柔顺微操作平台性能放大倍数稳健优化求解及结果对比分析 在完成柔顺微操作平台多项式混沌扩展6σ稳健优化设计模型构建及传统确定性优化设计模型构建。下面本文基于 Isight 多学科优化设计平台采用 NSGA-II 算法对上述两种优化设计模型进行求解，并对优化结果进行稳健可靠性校核对比分析如表 4～表 6 所示。 表 4 多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计与传统确定优化设计方案稳健性对比设计变量、约束响应   传统确定优化设计方案  多项式混沌扩展稳健优化设计方案 目标及约束响应  设计空间   优化解   质量水平  可靠度   稳健解  质量水平  可靠度 L m m   [25，35]  27.2383  8σ  100%  30.5556  8σ  100% HL mm   [2.5，3.5]  2.8470  0.6745σ  49.9999%  3.1797  8σ  100% r m m   [2.2，3.8]  2.3216  0.6745σ  49.9999%  2.4959  8σ  100% t m m   [0.5，0.9]  0.6757  0.6711σ  49.7863%  0.6534  8σ  100% 从表 4 综合分析，可知基于多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计的各个结构参数的质量水平都达到了 8σ 水平，其可靠度都达到了 100%；然而，基于传统确定性优化设计得出各结构参数的质量水平大部分不足 1σ 水平，可靠度都处于相对较低的状态，仅接近 50%。表明传统确定性优化设计的设计方案通常处于约束边界，设计参数稍有波动，导致平台性能放大倍数波动。本文所提出的多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计，在考虑各结构参数的随机不确定性分布类型基础上并进行稳健优化，在达到预期目标值并远离条件约束边界，使得稳健优化方案比传统确定性优化方案更稳健可靠。 根据表 5 和表 6 综合分析可知，基于本文所提出方法的柔顺微操作平台放大倍数为 11.175 7 倍，相比传统确定性优化设计得出的 13.0125 倍，两者优化效果相差不大。但传统确定性优化后的放大倍数质量水平才 2.701  1σ 水平，未达到 3σ 标准。而稳健优化后的放大倍数质量水平为 3.628  3σ 水平；另一方面，传统确定性优化后的最大等效应力 34.000 0MPa，稳健优化后的最大等效应力为 30.573 2MPa。表明，稳健优化后的应力值得到降低，减小了机构发生失效的概率。从质量水平也可反映出，稳健优化设计的最大等效应力为 7.956 4σ，而确定性优化设计结果的质量水平不足 1σ。 从放大倍数和最大等效应力的方差分析也反映出，基于本文提出的多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计的结果方差比传统确定性优化结果的方差小的多。稳健优化设计后放大倍数和最大等效应力分别为 0.159 9，0.372 3；而传统确定性优化设计方差分别为 1.110 8、2.075 2。方差值越小表示波动性越小，因此，本文稳健优化设计结果相比传统确定性优化结果更稳健。 表 5 确定性优化设计结果方案校核 目标响应  均值  标准差  质量水平  可靠度/% maxsMpa   34.000 0  2.075 2  0.674 5σ  49.9998 Y 倍数 13.012 5  1.110 8  2.701 1σ  99.3089 表 6 稳健优化设计结果方案校核 目标响应  均值  标准差  质量水平  可靠度/% maxsMpa   30.573 2  0.372 3  7.956 4σ  100 Y 倍数 11.175 7  0.159 9  3.628 3σ  99.9715 由多学科优化平台 Isight 后处理，可得多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计和传统确定性优化设计的目标响应放大倍数和约束响应最大等效应力的概率分布密度对比如图 6 和图 7 所示。 综合图 6 和图 7 分析可知，相比传统确定性优化设计结果，基于多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计得出的柔顺微操作平台最大等效应力和放大倍数概率密度曲线“瘦小”，表明稳健优化后方差变小即性能波动得到了降低，其对外界的抗干扰能力得到了提升。  图 6 柔顺微操作平台最大等效应力概率分布对比 ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22ˆ7.25 0.0098 0.0068 +0.0021 0.01370.00514 1 +0.0148 1 + 0.00177 10.014 1 +0.071 0.00017 0.01480.00349 0.00123 0.000833HHHH HL L r tL L rt L L L r L tL r L t r tY x x x x xx x xx xx xx xxx x x x xx= + - +- - - -- - - -- + -                                   （20） ( )( ) ( ) ( )( )max2 2 2210.6 0.0229 0.0427 +0.081 0.01070.0196 1 +0.0423 1 + 0.126 1+0.0279 1 +0.0201 +0.00107 +0.02080.0948 0.0467 0.0184HHHH HL L r tL L rt L L L r L tL r L r td x x x x xx x xx xx xx xxx x x x xx= - - -- - - --- + -                                   （21） 在完成放大倍数和最大等效应力多项式混沌扩展代理模型构建，采用式（12）～式（14）对所构建的代理模型进行精度检验。通过计算可得目标响应（放大倍数）平方和根为 SSR=0.2571，相对平方和根为 RSSR=0.0357；约束响应（最大等效应力）平方根和为 SSR=0.6911，相对平方根和为 RSSR=0.0574。由相对平方根和小于 0.05 可认为模型精度满足要求，故本文所构建的多项式混沌扩展代理模型可替代真实模型。 在上述基础上，本文以柔顺微操作平台位移放大倍数为稳健设计优化目标函数、最大等效应力为优化约束函数、平台不确定性结构参数为优化设计变量。根据柔顺微操作平台最大等效应力不应超过材料所承受的屈强度 34MPa 作为其最大等效应力约束。不确定性结构参数设计空间及分布类型如表 2 所示。根据式（19）建立柔顺微操作平台多项式混沌扩展 6σ 稳健优化设计模型如下所示： ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]max max maxˆ,. . 66 66 66 66 6HY Yl uLl uH H L H Hl url utMin Ys tL L L LL L L Lr r r rt t t tx xm sd x m d x s d x ds x ss x ss x ss x sì é ùë ûïï= ù+ £é é ùë û ë ûïïï+ £ £ -íï + £ £ -ïï+ £ £ -ïï+ £ £ -î               （22） 为了验证本文所提出基于多项式混沌扩展的 6σ 稳健优化设计方法的有效性，同时建立传统确定性优化设计模型进行对比如下： ( )maxˆ. . ,Hl uLl uH L Hl url utMin Ys tL LL Lr rt td x dxxxxìïï£ïï£ £í£ £ïï£ £ïï£ £î                        （23）