《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  DOI ： Bezier 曲线变角度层合板设计及屈曲特性分析 富宏亚，曹忠亮，杜霖，韩振宇* (  哈尔滨工业大学  机电工程学院，哈尔滨市 150001 ) 摘要：基于二次 Bezier 曲线法，开展纤维变角度层合板的屈曲特性研究。首先，对原始的二次 Bezier曲线进行了扩展，提出了分段式二次Bezier 曲线变化方法，重新定义了纤维变角度铺放参考路径，确定了变角度层合板的表示形式。其次，以[0±<20(β )65>]2s 和[90±<20( β )65>]2s 为例对变角度层合板的屈曲特性进行了有限元分析，并与定角度层合板对比。最后，研究了不同终止角α 和连接点参数 β 对层合板屈曲性能的影响，结果表明：连接点参数β 的增大使得两种变刚度层合板的线性屈曲载荷先增大后减小，发现终止角大于起始角时，层合板的一阶屈曲载荷逐渐增大，铺放角度的增大有利于层合板屈曲载荷的提高。 关键词：变角度；层合板；轨迹规划；屈曲特性；几何缺陷 中图分类号：TB330.1                文献标志码：A Design of Bezier curve variable angle laminates and analysis on buckling property   FU Hongya, CAO Zhongliang, DU Lin, HAN Zhenyu* （School of Mechatronics, Harbin In stitute of Technology, Harbin 150001） Abstract: Based on quadratic Bezier curve, research on buckling property of laminates produced by fiber variable angle placement was studied. Firstly, a segmental quadratic Bezier curve fitting method was proposed by extending the original quadratic Bezier curve theory  to redefine the reference path of fiber variable angle placement and determine the parameterized expression of the laminates laid according to variable angle. Secondly, taking the laminates laid by variable angle of [0±<20( β )65>]2s and[90±<20( β )65>]2s as examples, the buckling properties were analyzed through FEM me thod. And the comparison an alysis with the buckling property of the laminates laid by constant angle was conducted. Finally, th e influences of termination angles  α and connecting point parameter  β  on the buckling property were studied. The results show that the linear buckling load of these two kinds of variable stiffness laminates first increases then decreases as  β  increases. And it is also found that the buckling load of first order increases gradually when the termination angle is larger than the initial angle, which indicates that incr easing the placement angle is beneficial to improving the buckling load of the laminates.  Keyword: variable angle; laminates; trajectory planning; buckling property; geometric imperfections                                                  收稿日期：2016-09-08 ；录用日期：2016-11-04 ；  网络出版时间： 网络出版地址： 基金项目：国家自然科学基金（51005060）；国家数控专项支持项目（2014ZX04001091） 通讯作者：韩振宇副教授，博士，博士生导师，主要从事纤维铺放、纤维缠绕、智能加工方面的研究。Tel：（0451）86413812, E-mail: hanzy@hit.edu.cn 引用格式：富宏亚，曹忠亮，杜霖，韩振宇.Bezier 曲线变角度层合板设计及屈曲特性分析[J].复合材料学报，2017, 34(x) ：xxx-xxx. FU Hongya,CAO Zhongliang, DU Lin，HAN Zhenyu. Design of Bezier curve variable angle laminates and analysis on buckling           property [J].Acta Materiae Compositae Sinica，2017, 34(x) ：xxx-xxx(in Chinese). 10.13801/j.cnki.fhclxb.20161205.0042016-12-05 17:17:31http://www.cnki.net/kcms/detail/11.1801.TB.20161205.1717.008.html《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  复合材料因其具有轻质量、高强度和设计自由度大等特点，备受工程领域人士的青睐[1-3]。因使用高强度轻质量的复合材料，既可以减少飞机质量，又可以降低燃油的损耗，所以复合材料在民用飞机上的使用量快速上升[4-5]。目前我国在飞机制造中复合材料的使用量较少，即使是我国最新自主研发的大型客机 C919，复合材料在机体结构中应用也仅为12% 。为了提升飞机的综合性能和应对节节攀升的燃油价格，中国商飞指出，下一个型号的国产大飞机会大幅增加复合材料的应用比例，计划可达到51% 。 随着铺放设备的发展，复合材料层合板在工程中，从已有单一的角度是0° 、90°和±45° 逐渐向变刚度铺层设计。变刚度铺层（Variable-Stiffness Ply）是由于铺层刚度随着纤维角度的变化也发生变化，故在不改变层合板铺层数量的情况下，可以提高层合板的力学性能，改变应力集中问题[6]。Gürdal 等[7-8]提出纤维铺放角度沿着参考几何轴线性变化来形成曲线纤维路径，并引出了变刚度层合板（Variable-Stiffness Laminates）的概念，并且通过Rayleigh-Ritz 法求解出层合板的屈曲载荷，与直线铺放相比，同样取得了明显地改善效果。Alhajahmad 运用Lobatto-Legendre 多项式来描述铺层的参考路径，同时利用有限元软件和 Ritz方法对变刚度层合板进行屈曲和失效形式的分析[9-10]。Wu用拉格朗日多项式对轨迹进行规划，利用Ravleigh-Ritz 方法进行分析，以最大屈曲载荷为目标对变刚度层合板进行优化[11]。Lopes等[12-13]研究变刚度铺层给层合板带来的设计自由度，优化层合板的最大屈曲载荷。马永前采用Waldhart 的纤维角度线性变化的铺层，并对层合板进行了屈曲分析[14]。杜宇提出了一种变刚度铺层的有限元建模方法，并在ANSYS软件中进行了应用，采用Tsai －Wu失效准则分析层合板的失效性能[15]。以上研究结果表明变刚度铺层可以很好的改变屈曲性能，但大部分的研究重点都是以线性变角度法为主，开展相关的屈曲及失效分析，此外，分析过程中设计参数对屈曲性能的影响少有研究。Byung 等[16]采用Bezier 曲线定义纤维铺放参考路径来实现连续丝束的剪切变换，该方法可以减少在铺放过程中出现的间隙或者重叠问题，并在一定程度上可以代替线性变角度轨迹，但是目前还未见针对Bezier 曲线变角度层合板的屈曲性能的研究文献。 本文采用分段二次Bezier 曲线定义方式，研究其纤维角度的变化规律，并建立分段式的数学模型，给出了纤维变角度铺层的建模方法，在压缩载荷作用下，以一阶屈曲载荷作为评判标准，研究不同终止角α 和连接点参数β 对层合板屈曲性能的影响。 1  变角度层合板的定义 1.1  二次 Bezier 变角度曲线法 目前，对于复合材料铺层来说，确定参考路径是关键，再由参考路径经过平移法得到整个铺层的纤维轨迹。所以，通过给出参考路径，研究其角度变化规律，就可以得到整个铺层的纤维角度变化规律。 二次Bezier 曲线构建的参考路径如图1 所示，Bezier 曲线从P 0 点开始，结束于 P 1 点，在P 0 和P1 点处的斜率角分别是 α0 和α1，两点处的切线相交于Q1 点。将 Q1作为控制点，可以改变二次Bezier 曲线的形状，同时也可以改变整条曲线斜率角的变化规律。 BP 0β1aaXYα0α1Q1P1 图1  二次Bezier 曲线 Fig.1 Quadratic Bezier curve  由图1 中的参数可以得出二次Bezier 曲线的向量参数方程式(1)。 () ( ) () [ ]()()() ()2200 0 1 010001 1 1 001 1 0 1 1121 0,10, 0,tan, tan 1 tanBt t PP t tPQ t PP tPPPQ a aPP a a abb aba b a=- + - + Î===+-uuuu r uuuur uuuur uvuuuuruuuuruuuur，     (1) 其中：参数 β1 为连接点参数，决定了连接点 Q1的位置，由于连接点Q1 在初始点P 0 与终止点P 1 之间，所以参数 β1 取值范围在[0,1] 之间变化。从图中可以看到Q1 的位置会随着β1 增大而向终止点P 1 靠近，因此，连接点参数 β1 也作为参考路径改变的另一个重要参数。此时可以得到二次Bezier 曲线在 xy 坐标系中的表达式： ( ) ( )211 12 2 x att b b =- +，0 x £ ， 1 t £      (2) () ( ) ( )21110 10 1 tan tan 2 tan ya t t b ab a b a =- - +     (3) 根据几何关系可以得出二次Bezier 曲线在任意一点的斜率角，如下式所示： 《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  () ()()1 1111 10 111tan1tan1 tantan12dy dtdt dxttqb ababb--æö =ç÷èøæö-+- =ç÷-+ èø      (4) ()()1211 1111                                           =0.5 12     0.512xt xbbb bbbìï= -+ +- í¹ï-î     (5) 由于二次Bezier 曲线通过改变控制参数β可以使变角度发生非线性变化，控制参数β 发生改变对应的角度轨迹也发生变化，而当控制参数β=0.6 条件下，Bezier 曲线变角度法就可以近似逼近于传统线性角度法。因此，二次Bezier曲线法定义的变角度轨迹的设计空间要大于传统线性角度法，在角度变化过程中的设计自由度更大。  1.2  分段式二次 Bezier 曲线 为了拓展轨迹的设计范围和空间，可以将Bezier 曲线设计为多段变化的形式，本文以两段二次Bezier 曲线的形式为例，如图2 所示，第二段路径的起点和初始角是第一段路径的终点和终止角，由于是以分段的形式来拓展路径，所以每一段路径的角度计算方式没有变化，保证角度在一定范围内是连续的。又因为每一段区域内都有独立的连接点β，所以每一段区域内纤维铺放的角度都是不同的，坐标平移如式(6)所示。经过拓展的分段式二次Bezier 曲线，每段都有自己独立的控制点参数β，使得变刚度铺层的设计自由度大大增加，拓展了设计空间。 BP 0β1a1a1XYα0α1 Q1P 1 Q 2α2a2 +a1a1 +a2β2 图2  分段式二次Bezier 曲线 Fig.2 Piecewise quadratic Bezier curve  () ()() ()1110 1 1112 1 11tan 1 tan       + tan 1 tan  ,          1, 2,3iikkiii i iixx ayy aaiba b aba b a-=-- - --ì=+ ïï=+ +- +íï+-ï=îåLK   (6) 式中ix ——第i 段Bezier 曲线的 x 坐标； iy ——第i 段Bezier 曲线的 y 坐标； kb —— 第k +1段Bezier 曲线的连接点参数； ka ——第k +1段Bezier 曲线的分段长度； ka ——第k +1段Bezier 曲线的起始角。 在铺放过程中并不是任意的角度都可以实现的，当转弯半径过小时就会出现褶皱。在进行曲线铺放时，需要对轨迹的曲率进行限制。采用Bezier 曲线的曲率计算公式(7)，同时将二次Bezier 曲线的 x 和y 的计算公式(2)和(3)求导后代入公式(7)，可以得到曲率的计算公式，如公式(8)所示。  223/2(t) y (t) (t) y (t)[(t)y(t)]xx Kx¢ ¢¢ ¢¢ ¢ -=¢¢+               (7) () ()22110 2222223/110211122(12)(22tan)[4 (1 2 ) 4 ]      11  namt a mt tmtantanKatamtbabbaba bbì -- +ï =-=+ íï= -- - î；      (8) 实际应用时，不产生褶皱的曲率值一般由实验获得。本文中屈曲分析选用的板长为150mm，当预浸丝宽为 5mm、分段长度为 75mm时，通过前期实验测得不产生褶皱的参考轨迹最小曲率半径为178mm，对应的曲率值为0.0056mm-1。在参考路径规划时，通过校核其曲率值来防止褶皱的产生。 通常在进行轨迹规划时，需要实现任意角度旋转铺层，以满足不同的需求，本文采用线性变角度法的坐标旋转法进行坐标变换，在此不再过多介绍。结合参考路径的轨迹表达式和坐标变换公式就可以得出不失一般性的纤维参考路径，为铺层的设计提供更多的可能性。  1.3  变刚度层合板的表示方式 从数学公式描述可以看出影响参考路径轨迹的主要参数有旋转角φ、起始角和终止角α、分段长度a 和连接点参数β。本文中采用的分段式二次Bezier 曲线参考路径，可以参考纤维角度线性变化的参考路径进行定义，又连接点参数β 的变化会使得层合板的结构发生变化，为了更清晰的表示出铺层的结构，将参数β 放在起始角和终止角之间，由于在变刚度层合板的设计过程中分段长度一般是相同的，故可以不用在表达式中出现，最终采用式(9)对变刚度铺层进行定义。 ( ) ( ) () 0112 2 1nnn fababa a ba -< > K          (9) 式中：φ——铺层的旋转角度； αn- 1 ——为第n 段参考路径的起始角； αn ——为第n 段参考路径的终止角。 本文中采用的分段式二次Bezier 曲线参考《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  路径，图3 所示为层合板[0±<20(0.6)65>]2 s 的铺层示意图。 0<-20(0.6)-65> 0<20(0.6)65>  XYo 图3  复合材料层合板[0±<20(0.6)65>]2s 铺层示意图 Fig.3 The layer diagram  of composite laminates [0±<20(0.6)65>]2s   将生成的铺层为[0±<20(0.6)65)>]2s 分析模型导入到ABAQUS中，如图4 所示。左上第一幅图是导入到ABAQUS中的变刚度复合材料层合板，在层合板中任取三个相邻的网格，由A、B 、C 三个位置可以看出，同一铺层相邻网格之间的角度变化，并且相邻两个铺层的角度大小相等、符号相反，所显示的层数和所设计的层合板铺层数也是一样的，能够体现丝束角度的变化，同时也能看出网格划分越密集，所得的分析模型越接近真实的铺层结构。 A BCA (a)                 (b) BC (c)                (d) 图4  变刚度复合材料层合板分析模型 Fig.4 The analysis mode l of variable-stiffness composite laminates 2  数值分析与讨论 2.1  屈曲分析模型 为了对比变刚度层合板与直线纤维层合板的力学性能，分析模型选用边长为150mm的正方形层合板，边界条件如图5 所示，对其右边界施加均布力，对层合板进行压缩分析。 U2=0U3=0U1=0U2=0U3=0U3=0U3=0qy x  图5  复合材料层合板屈曲分析模型以及边界条件 Fig.5 The buckling analysis model and boundary conditions of composite laminates  根据纤维变角度层合板所定义形式，结合上文提到的曲率限制和铺放工艺性，本文以[0±<20(β)65>]2s 和[90±<20( β)65>]2s 为例进行了有限元分析，其中β 取值分别为0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9，用以说明参数变化对变刚度层合板性能的影响。根据直线纤维铺放的设计准则，八层对称结构的铺层，有8 种铺层分布情况，分别是[0/±45/90]s 、[0/90/±45]s 、[±45/0/90]s 、[±45/90/0]s 、[90/0/±45]s 、[90/±45/0]s 、[0/90]2s 和[±45]2s 。分析中所使用的复合材料为碳纤维增强环氧树脂预浸丝，厚度为0.125mm ，宽度为5mm，由威海光威公司提供，环氧树脂型号为7901高温韧性环氧树脂，碳纤维类型为HS-Carbon，材料弹性参数见表1 。  表1  碳纤维增强环氧树脂预浸丝弹性基础参数 Table 1 The elastic foundation parameters of carbon fiber reinforced towpreg E1/G Pa E2/GPa G12/GPa G13/GPa G23/GPa μ12 120.45 9.51 5.10 5.10 3.63 0.32 2.2  线性屈曲分析 对直线铺层和变刚度铺层进行线性屈曲分析，所得的一阶线性屈曲载荷如表2所示。可以看出[0±<20(β)65>]2s 变刚度层合板的屈曲载荷要小于直线纤维层合板的屈曲载荷值，而[90±<20( β)65>]2s 变刚度层合板的屈曲载荷要大于直线纤维层合板的屈曲载荷值，说明通过改变Bezier 曲线设计变量可以得到优于直线铺层的一阶屈曲载荷。从表2中还可以看出，参数β的增大使得两种变刚度层合板的线性屈曲载荷都呈先增大后减小的趋势，在本文的分析中当β值为0.7时屈曲载荷最大。可见，在 Bezier 曲线层合板设计时，β 是影响层合板力学性能的重要设计参数。另外，当旋转角是90°时的一阶屈曲载荷大于旋转角为0 °的情况，说明纤维角度的变化方向与载荷作用方向垂直时更利于层合 《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  表2  复合材料层合板线性屈曲分析结果 Table 2 The linear buckling results of   composite laminates Layer sequence First order buckling load/kN [0/±45/90]s  1.026 [0/90/±45]s 1.259 [±45/0/90]s 0.892 [±45/90/0]s 0.892 [90/0/±45]s 1.259 [90/±45/0]s 1.028 [±45]2s 1.064  [0/90]2s 0.867  [0±<20(0.2)65>]2s 0.937 [0±<20(0.3)65>]2s 0.945 [0±<20(0.4)65>]2s 0.975 [0±<20(0.5)65>]2s 1.031 [0±<20(0.6)65>]2s 1.095 [0±<20(0.7)65>]2s 1.143 [0±<20(0.8)65>]2s 1.050 [0±<20(0.9)65>]2s 0.965 [90±<20(0.2)65>]2s 1.078 [90±<20(0.3)65>]2s 1.157 [90±<20(0.4)65>]2s 1.269 [90±<20(0.5)65>]2s 1.413 [90±<20(0.6)65>]2s 1.544 [90±<20(0.7)65>]2s 1.560 [90±<20(0.8)65>]2s  1.394 [90±<20(0.9)65>]2s 1.092    β =0.4         β =0.6       β=0.8 (a) [0±<20( β )65>]2s  β =0.4             β =0.6         β =0.8 (b) [90±<20(β )65>]2s 图6  变刚度复合材料层合板的一阶屈曲模态 Fig.6 The first order buckling mode of variable-stiffness composite laminates 板稳定性的提高。图6 为变刚度层合板的一阶屈曲模态，可以看出β=0.8 时使得变刚度层合板的屈曲模态由（1,1）形态变成（1,2）形态。  2.3  非线性屈曲分析 在线性屈曲分析中，层合板结构是不存在初始几何缺陷，而在实际的铺放过程中，层合板结构是含有几何缺陷，那么层合板的稳定性只能从非线性平衡方程解得。考虑到模型的简便计算，本文中仅仅考虑几何非线性的影响，由于初始几何缺陷一般不容易获取，所以文中引入的几何缺陷由几阶屈曲模态叠加而成，可以通过调整各个屈曲模态的比例因子大小，调整其缺陷大小。 本文中引进的缺陷在线性屈曲分析得到的屈曲载荷和屈曲模态中获取，仅引入第一阶模态形状，在ABAQUS中应用Riks 模块对层合板进行非线性分析，该模块使用的方法为改进弧长法，可以有效的避免迭代方程无法收敛的问题。 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.500.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0 0.4 0.6 0.8 Straight line  Displacement/mm  Load/KN  图7  复合材料层合板的载荷-位移曲线 Fig.7 The load - displacement curve of composite   laminates 由表2 可知，直线纤维层合板中[0/90/±45]s的一阶屈曲载荷较大，用该直线层合板与[90±<20( β)65>]2 s 作对比分析，几何因子取为1%，由于仅引入第一阶模态形状，那么引入的初始几何缺陷可以简单理解为层合板厚度的1%，所得复合材料层合板的载荷位移曲线如图7 所示，非线性屈曲载荷大小如表3 所示。  表3  复合材料层合板非线性屈曲载荷分析结果 Table 3 The nonlinear buckling results of composite laminates Layer sequence The nonlinear buckling load/kN [0/90/±45]s  0.91 [90±<20(0.4)65>]2s1.09 [90±<20(0.6)65>]2s1.21 [90±<20(0.8)65>]2s1.10 《复合材料学报》                                               Jan. 15 2015 Vol.32 No.x: xxx-xxx Acta Materiae Compositae Sinica                                  ISSN 1000-3851   CN 11-1801/TB http://fhclxb.buaa.edu.cn  由上述结果可以看出，直线纤维层合板的非线性屈曲载荷仍然小于变刚度层合板的非线性屈曲载荷，且参数β 的增大使得变刚度层合板的非线性屈曲载荷仍然是先增大后减小，与线性屈曲分析的结果保持一致。由表2 和表3 对比可以看出，非线性分析的屈曲载荷都小于相应的一阶线性屈曲载荷的大小，这是由于引入了几何缺陷对层合板的稳定性造成了影响。 为了研究不同初始几何缺陷对输出结果的影响，在几何因子分别为1%、5%和10% 情况下，对[90±<20(0.6)65>]2 s 进行分析，得到的载荷-位移曲线如图8所示。 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.500.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0  Displacement/mm Load/KN  0.01 0.05 0.1 图8  不同初始几何缺陷的复合材料层合板 载荷-位移曲线 Fig.8 The load - displacement curve of composite laminates with different initial geometric imperfection    可以看出：初始几何缺陷对载荷位移曲线的影响比较大，在不同的初始几何缺陷值下，其屈曲载荷不同，初始几何缺陷越大屈曲载荷越小，并逐渐趋近于线性屈曲分析中得到的屈曲载荷，可见在层合板的成型过程中应尽量减少结构上的缺陷。  2.4  终止角对层合板性能的影响 通过改变铺层设计的终止角，探究变刚度层合板线性屈曲载荷的变化。分析中保持初始角度不变，改变参考路径的终止角，所使用的分析模型如图5 所示，铺层结构统一为[0±<30(0.6) α1>]2 s ，保持参考路径初始角为30°，改变参考路径的终止角，得到的不同层合板的前六阶屈曲载荷变化曲线如图9 所示。 从图中的分布规律可以看出，纤维角度变化轴方向与载荷作用方向平行时，[0±<30(0.6)-30>]2s 和[0±<30(0.6)-15>]2s 的终止角都是负角度，它们的各阶屈曲载荷值变化都比较小，基本保持不变；当终止角由0° 开始逐渐增大到30°时，各阶屈曲载荷开始逐渐增大，此后的变化都是路径的终止角大于初始角，可以看出在终止角为45°、60°和75°的各阶屈曲载荷都比终止角在30°之前的大，说明当初始角到终止角是增大的变化趋势有利于层合板屈曲载荷的提高。总体来说，各阶屈曲载荷的曲线呈现出一种上升的趋势，而当终止角为30°时所对应的结构[0±<30(0.6)30>]2s 则为直线铺层结构，从曲线的趋势可以看出，直线铺层的一阶屈曲载荷比终止角小于初始角的情况大，说明变刚度铺层不一定会提高层合板的稳定性，所以在进行设计时应谨慎选择参考路径。工程应用中，一般考虑以一阶屈曲载荷的大小作为判据。  -30-150 15304560750500100015002000250030003500400045005000 Buckling load/NEnd angle/ o Mode1 Mode2 Mode3 Mode4 Mode5 Mode6 图9  不同终止角的复合材料层合板各阶屈曲载荷 Fig.9 The buckling load of composite laminates with different end angle 3  结  论 （1 ）以分段式二次Bezier 曲线定义了纤维铺放参考路径，得到了纤维角度的变化规律，确定了变刚度纤维增强复合材料层合板的分段表示形式，这种分段式变角度轨迹的设计性更大，相对于直线铺层能进一步提高层合板的屈曲性能。 （2 ）从复合材料层合板的稳定性出发，对直线铺层和变刚度铺层分别构成的层合板进行了屈曲分析，对比发现变刚度层合板的屈曲载荷明显提高，在不同的初始几何缺陷值下，初始几何缺陷值越大对应的屈曲载荷越小。 （3 ）连接参数 β 的增大会使变刚度层合板的线性屈曲载荷先增大后减小，在保持参考路径的起始角不变，改变参考纤维的终止角，发现当终止角大于起始角时，层合板的一阶屈曲载荷会随着终止角的增加而增大。 参考文献： [1]  杜善义.  先进复合材料与航空航天[J].复合材料学报, 2007, 24(1):1-12. 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