短 文 自动化学报 第41卷第8期2015年8月Brief Paper ACTA AUTOMATICA SINICA Vol. 41, No. 8 August, 2015切换网络下时变线性多智能体系统的指数同步王兴平1 宋艳荣1 程兆林2摘要研究切换网络F时变连续线性多智能体系统的同步问题.在智能体动态满足-•致完全可控性条件F,设计出同步协议.通过将多智能体系统同步问题表示为矩阵无穷乘积形式并论证矩阵无穷乘积指数收敛到0，给出了多智能体系统指数同步结论.最后以仿真实例验证本文结论.关键词时变线性多智能体系统，指数同步，协议，矩阵无穷乘积引用格式王兴平，宋艳荣，程兆林.切换网络下时变线性多智能体系统的指数同步.自动化学报，2015，41(8): 1528-1532DOI 10.16383/] .aas.2015.c 140912Exponential Synchronization ofTime-varying Linear Multi-agentSystems with Switching TopologyWANG Xing-Ping1 SONG Yan-Rong1 CHENG Zhao-Lin2Abstract The paper considers synchronization of continuoustime-varying linear multi-agent systems with switching topology.Under an assumption that agent dynamics is uniformlycompletely controllable, the synchronizing protocol is designed.By relating the synchronization problem to an infinite matrixproduct, the exponential synchronization result is obtained byshowing the exponential convergence of the infinite product. Finally,the effectiveness of the result is illustrated by a numericexample.Key words Time-varying linear multi-agent systems, exponentialsynchronization, protocol, infinite matrix productCitation Wang Xing-Ping, Song Yan-Rong, Cheng Zhao-Lin.Exponential synchronization of time-varying linear multi-agentsystems with switching topology. Acta, Automatica Sinica, 2015，41(8): 1528-1532多智能体系统具有广泛的应用背景.从一般M义上讲，具有自主输入-输入响应能力的个体都可看作智能体，这样一群个体经连接组成多智能伟系统.由于智能伟之间的相互作用，多智能体能形成一个复杂系统.近年來，由于控制理论和应用的发展，多智能体系统已成为控制领域中一个重要的研究对象，其中一个典型的研究课题就是多智能体系统的同步问题.自文献[1]为Vicsek模型的步现象给出一个近似的理论解释后，一阶线性多智能休的同步问题酋先得到研究[2_3].最近几年，研究重点开始转向一般线性多智能休RJ步问题.这些研究有的面向W定网络[4_61,有的面向切换M络[7一9]，但它们大多针对定常线性多智能体，只有极少的文献涉及时变线性多智能体.文献[101研究具有固定M络的时变线收稿日期201^12-30 录用日期2015-03-31Manuscript received December 30, 2014; accepted March 31, 2015本文责任编委吕金虎Recommended by Associate Editor LV Jin-Hu1.海军航空工程学院系统科学与数学研究所烟台264001 2.山东大学数学学院济南.2501001. Institute of Systems Science and Mathematics, Naval Aeronauticaland Astro nautical University, Yantai 264001 2. School ofMathematics, Shandong University, Jinan 250100性多智能体的同步问题.文中对智能体系统提出假设，要求系统的系数矩阵满足Lipschitz条件，还要求系统的状态转移矩阵是有界的.在切换网络下，向领导者的M步问题在文献丨llj得到研究.文中对智能体系统提出更强的假设，要求存在一个正定矩阵使得对所有t > 0系数矩阵A⑷满足AT(t)P + PA(t) < 0.这等价干耍求所有雄)是临界稳定的，且共享同一个Lyapumw函数.只外还有一点需要注意，在上述线性多智能体同步研究文献中，它们大多采用二次Laypunov函数方法.特别地，切换网络下的同步研究多采用共同二次Lyapunov函数方法[9-11].由于共同二次Lyapunov函数方法的局限性，依靠这类方法得出的多智能体同步结论难免会有保守性.本文采用矩阵无穷乘积方法研究具有切换M络的时变连续线性多智能体同步问题.这一方法在现有文献中主要应用于一阶多智能体同步研究[1_2]，尚未见其应用于商阶连续多智能体同步问题.本文在一个常见的一致完全可控性条件下，给出同步协议的设计方法;然后利用数学变换将多智能伟同步问题转化为一个矩阵无穷乘积的收敛问题;最后通过证明矩阵无穷乘积指数收敛到0给出f多智能体指数M步的结论.这个方法基于矩阵分析技术，避免了应用Lyapunov函数方法常用的非光滑分析技术[M11.符号说明：在本文中，以A ® B表示矩阵A和B的Kronecker乘积，以||x||表示向量x的Euclid范数，以||A||表示矩阵A的由Euclid向量范数诱导的矩阵范数.1预备知识和问题叙述1.1时变线性系统考虑连续时变线性系统x = A(t)x + B{t)u (1)其中’x gR"是系统状态，® € Rm是系统输入，m,B {t)是维数适当的矩阵，其元素是定义在i 2 0上的分段连续函数.由于4⑷的元素是分段连续的，矩阵方程X { t ) = A{t)X{t), X ( s ) = I (2)存在解这个解被称为系统⑴的状态转移矩阵[121.系统的可控性格拉姆矩阵�Controllability Gramian)定义为G(t, s) = a ) d a (3)时变线性系统⑴在区间如t称为可控的，是指对任意给定的初始状态对知）=®Q,存在连续的输入倍号《⑷，使得系统在tf时刻的状态满足x{ti) = 0.可控性楚控制系统的一个.重要性质.关于时变线性系统（1)可控性的.重要结论是：系统⑴在区间如，M上是可控的，当fl.仅当格拉姆矩阵鄉0力).是可逆的[12].1.2代数图论一个无向图g = (v,e ) 由节点集合v和边集合s 组成，其中V = {«!,•••��n}是有限集，S由V中一些相异元素构成的无序对组成.对节点U�如边€ £,则称V是u的一个邻居，u的所有邻居构成u的邻居集，记为jVb(w).在图5中，连接顶点n和Vj的路耗是一个如下形式的边序列){vikt vj}-如果任何两个不同节点都存在一条连接它们的路径，图G称为是连通的.图S的8期 £兴平等：切换网络下时变线性多智能体系统的指数同步 1529邻接矩阵4(0) = [ a i j ] 是一个N 阶方阵，其元素定义为：当{vi,vj} € &时，aij = 1，否则ay = 0.图G的拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix,简称拉氏矩阵）L{Q) = [1好]定义为：当i+ j 时，£ij = —aij.,当 i = j '时,in — aij_1.3问题叙述考虑由N 个时变线性系统组成的多智能体系统.以1,2,---,N标记这N个智能体,第i个智能伟的动态方程为时变线性系统Xi(t) = A(t)xi(t) + B(t)ui(t), i = ,iV (4)其中，Xi(t) € R", ui(t) e Rm,矩阵聯 e Rnxn, B(t) €R"xm,其元素是定义在[0,oo)上的分段连续函数.将每个智能体看作一个节点，智能体间的通信网络以切换无向图G{t) = (v,£(t))描述，其中V = {1，...�JV}.本文假设智能体系统(4)满足如下假设：假设1.存在Q = t 0 <“〈…<t m〈…，在每个区间[红為+1》中,= 并且r = inf{tfc+i - ： fc = 0,1,2," •}> 0这里,r称为切换网络g ( t ) 的驻留时间.假设2.存在0 < J < t和e2 > Sl > 0,对任意t > 0,格拉姆矩阵G(t,s)满足£\I < G(t, t + <5) < e^I (5)假设1是多智能体系统研究中常见的条件.假设2保证智能体在每个区间14,一 1)上都是可控的.条件（5)与时变线性系统的一致完全可控性概念有关[13],它常见于时变线性系统的控制研究中[12—131.假设2成立的一个充分条件在文tt [14]中给出•如果多智能体系统(4)满足假设1和假设2，对任意a >0,定义Ga(t,t +6 )= I a)B{a)B T{a)^ T{t,a )da(6)由假设2，对任意t 2 0，> 0是可逆的.设计多智能体系统同步协议Ui{t) = n B T(t)G~ 1{t,t + d)(xj (t) -Xi(t)) (7)其中,k = 4 T lW ( N — 1), M t { i ) 表示 t 时刻节点 i 在 g{t).....h的邻居集.本文研究时变线性多智能体系统⑷的同步问题,主要结论是下面的定理1.定理1.假设时变线性多智能体系统（4)满足假设1和假设2,并且Q{t)在任一时刻t都是连通的.对任意给定的7> 0,取a满足不等式2a >7和(印。合e—2a[T—< 1 (8)则在同步协议（7)的作用下，存在C > 0,使智能体状态满足Wx^-xMl^Ce^ ||x(0)||其中，i, j = 1，2 , . . . , N �x ( 0 ) = ( x i ' ( O ) , - - - , a : ^ ( 0 ) ) T . 此即闭环系统(4)�(7)是指数丨n]步的.2定理证明根据拉氏矩阵定义，阶数为N 的无向图5的拉氏矩阵L(g)足一个半正定矩阵.将L(g)的全部特征值按升序排成0 < Ai < • • • '< 则:引理1.如果图S是连通的，则A i = 0且对应的特征向量为1，这里1表示N个分量全部为1的向量，同时A2 >4/(iVd)�其中d是图S的直径.关于Ai的结论是代数图论的一般事实.关于A2的事实在文献[15]中给出，它称为g的代数连通度�Algebraicconnectivity).考虑如下时变线性系统x(t) = ( A ( t ) - n B ( t ) B T{ t ) G ~ \ t , t + S))x(t) (9)其中，p > 1.以表示系统(9)的状态转移矩阵，关于^+…幻范数有如下结论：引理2.若存在〉0和> S l〉0,使得系统（1)的格拉姆矩阵G(t,s)满足sil < G(t,t -\- S) < S2I则对所有a > 0和m 2 1，有：ll«W(M)ll < (‘1)“2�-2…-3) (10)证明.考虑在时刻s 具有初值a;(s) = 的微分方程x = (A(t) - /.iB(t)B T{t)G~ 1(t,t + 5))x{t), x(s) = x o(11)令Q⑷=Gt(t�t + J)�定义函数V{t) = xT( t)Q(t)x{t)式中,x(t)是式(11)的解.计算V{t)关于t的导数f有:V(t) = xT(t)([A(t) - ^B(t)BT{t)Q{t)]TQ(t)十Q(t)[A(t) — nB(t)B T(t)Q(t)] + Q(t))x(t)计算—Ga(t,t + J)=2e~4a5^{t, t + S)B{t + 6)BT(t + S)^T{t,t + S)—•2B(t)BT(t)+4aQ-1(t) + A{t)Q-\t) +并将Q{t) = - Q⑷ + ⑷代入V ( t ) , 整理可得：V{t) = xT{t)[-iaQ{t) - 2 (“ - 1) Q(t)B(t)BT{t)Q{t)-2e~4oi5Q(t)m,t + 5)B{t + 5) xB T{ t + S)^ T{t,t + S)Q{t)]x{t)<-iax T( t)Q(t)x{t) = -4aV( t)利用比较原理[131�可由此推出V{t) < e_ 4 a ( t _ s)V⑷ （12)1530 自 动化学 报 41卷根据Ga(t�t + <5)的定义及e4a(t-CT)的单调性，有：2eie"w/ < Ga{t,t + S) < 2e2I从而，有：(2£2)-1/ < Q{t) < (2£i)"1e4^J于是V{t) = xT(t)Q(t)x{t) > (2e2)""1||a:W||2V(s) = a;T(s)Q(s)«(s) < (2si)_1e4a5||o:0||2将以上两个不等式代入式（12)，可得：(13)由于#_(M)是系统(11)的转移矩阵，所以x ( t ) =^aAt,s)^o,代入式（13)并利用矩阵范数定义就得到：HMIIS (印「”込―_s)•引理2给出状态转移矩阵电叫(t’s)的渐近估汁和瞬态估计.当t趋于s时，矩阵会经历超调，幅值达到(^r1)^2^.但当t从s开始增大时，桁数下降的因7e一2a(t—s)会抵消超调.特别地，当t - s > <5时，可以选择a充分大，使得任意小.当式(1)是定常系统时，类似的估计在定常线性切换系统研究中得到[1S].引理2的特点是估计式（10)对所有fx > 1 一致成立.下面给出定理1的证叨.证明.由假设1,存在序列0 =亡0 < 亡1 < < .. •使得 4+i - t k > r 及当 t € [4,ifc+i)时，Q { t ) = Qifh)- 将同步协议(7)应用到多智能体系统(4),然后将闭环系统写成时变线性切换系统形式x{t) = ( I® A{t) - nL{t.k ) ® B{t)BT{t)G~1 (t, t + 8))x{t)(14)式中，L(tk) = L(Q(tk)), tk < t < t k + i - 将矩阵 L ( t k ) 的特征值按升序排列为0 = \l(tk) < A2(tfc) < • • • < 入iv(tk)由于Q { t k ) 是连通的，根据引理1, Ai(ffc) = 0是单根且对应的特征向量为1.设VS^1�C办)，• • • ,CN(tk)是与入1(h)�…，\N(tk)对应的正交规范化特征向量,令C(tk} = (C2(tk),…，CN(tk))及 T(tk) = (VN^l,C(tk)).则 T(tk)是一个正交矩阵，且有：Tt{tk)L(tk)T{tk) = diag{0,A2(tfc)�... ,Ajv^a�)}在时间区间^，4+1)内做坐标变换x(t) = T{tk) ® I • z{t) (15)记之= ( z j , z ^ f , Z l € Rn, 22 € R(JV"1)n;在新的坐标下,系统（14)变为Zl(t) = A ^ Z ! ^ )z 2 { t ) = ( l ^ A { t ) - n A { t k ) ® B { t ) B T { t ) G a 1 { t , t + 6))z2(t)(16)式中，A(tk) = diag{A2(tfc),... ,Ajv(“)}.系统的状态转移矩阵是$(t,S).�系统22的系数矩阵是分块对角阵I ® A{t) - n\{tk) ® B{t)BT{t)G-\t, t + S) =diag{ A ⑷一fj,2( tk)B(t)BT{ t)Ga1( t,f + <5),. . . ,A(t) - m{tk)B{t)BT(t)0-\t,t + <5)}其中,M t k ) = 利用'j丨理2中的记号,；系统％在[tk,t-k+i)上的状态转移矩阵为$(t�s) =diag{$a#2(tfc)0,s)’...，屯•幽JM)}借助状态转移矩阵$(t�s)和#(ML系统（16)在区间[tk, tk+i)上的解为Zl(t) 屯(Mfc) Zl{tk)’⑷_ Z2(t k )根据式(15)，闭环系统(14)在区间[tk,tk+1)上的解rr⑷可表示为x(t) = [ i V _ 1l l T®$(^if c ) +G(tk ) ® I • ^(t,tk) • C T( t k ) <B I]x(t k ) (17)利用状态轨迹的连续性，取t 一 t k + 1 , 得到x(tk+i) = [A r ® ^(tk+i,tk) +C(tk ) ® I • ^{tk+i,t k ). C T( t k ) ® I]x(tk ) (18)下面在式(17)和式(18)的基础上逢续推导，将所有智能体状态与其均值的差表示成矩阵乘积形式.为方便叙述，引入记号t k ) = C ( t k ) ® / • ^ ( t , t k ) • C T { t k ) ® I在式(17)两端减去n -H I '1 ® 利用事实G T{ t k ) l = 0,可以验证:x(t) - iV_1llT ® . x{tk)=- N-1^ ^ I)x{tk ) (19)在式（18)两端左乘矩阵I - N - h l T ® I,同样可以验证：(I — iV_1llT # I)x(tk+l) = -tk)x(tk)—^(tk+i,t k )(I - iV_1llT ® I)x{tk ) (20)将式(20)看作楚一个递推公式,并结合式（19),当t k < t <ife+i时，可推出关系式x(t) - JV_111T 0 ^(t,t k )x(t k )=吨’“)f n 难+i,“)) ^ (°) (2i)8期 £兴平等：切换网络下时变线性多智能体系统的指数同步 1531记 xs (t �t k ) = N ^ 1 Y , i L i ^ ( t , t k ) x i ( t k ) , 关系式（21) r]以改写为x(t) - l<g>xs (t,tk ) = ^(t,t k ) x(0) (22)这样，系统（14)的状态与的差被表示为矩阵乘积形式.下面通过范数估计证明在t — oo时，矩阵无穷乘积以e—卞的速度趋于零.首先，估计的范数.由g ( t i ) 是连通的，同时阶数为N 的连通图的直径d < N - l , 根据' j丨理1，\ 2 ( t i ) >n(W^T)'由此，抝= …，见利用引理2，有：11^(^+1,^)11 = ||$(ii+i,^)|| ={e^-^h2015-201^1^ (23)由假设1, t i + 1 - U > T , 再利用不等式(8),^£2£;~1^ie2a5_2Q:(ti+l_ti)e7(£i+l-^) <(e2ei1)h2a6e-{2a-l)T =< 1所以ll_i+i�“)ll < < e"7(ti+1_ti)(24)其次,利用理2估计S ( t �t k ) 的范数，则有：11^,^)11 = mt,tk) \ \ < ( e 2 e ^ ) h 2 a S - 2 a ^ - t k ) <(25)在式(22)两端取范数，并将式（24)和式(25)代入，可\\x(t) — 1 «0 ；5 (^^)11 = 屯( M f c ) ]^[ ^(ti + i^i) ®(0)| <i=0(26)于是，对任意i�j = l�2�…，N , 有：ll®i(t) - ^(Qll < 2(e2£r1)^Me-^||a!(0)||取C = 2 (£2£^)h2 a 5 ,即证得结论. Q定理证明包含两个步骤：1)将同步问题转化为矩阵无穷乘积收敛问题（22)，其关键是依赖切换网络的坐标变换（15)的引入，基F这个变换，同步问题与矩阵无穷乘积联系起来;2)论证无穷乘积指数收敛到0,在这一步引理2起了关键作用，它保证可以选择a控制矩阵屯(tm力）的范数.与文献[10-11]的结论相比,定理1不W对智能伟的状态转移函数提出有界假设,仅要求智能体满足一致完全可控性条件，这个条件在时变线性系统控制研究中是常见的.另外，文献[10-11]的结论只能保证指数W步的结论，没有给出同步收敛速度&估计,而定理1则给出了收敛速度的估计,可以选择适当设计参数使同步以任意指数速度实现.注1.如果6⑷在一个己知的连通图集合S 中取值,则同步协议（7)的k可取k = Ag1,其中As = min{A2⑵：Q€ 5}, A2(5)表示连通图Q的代数连通度.3仿真实例考虑由10个智能体组成的系统,它们的动态方程为[。12_(剛+_in(1叫 M0 1 1式中,i = 1，...，10.集合 S 由 10 个连通图 g { k ) = ( V , £(k)),fc = 1，2，...，10组成，其中 V = {1，2，…，10},£(k) = {{i, k} ：i^ k ,i — 1, , 10}• t km 0.15fc, fc = 0，1，2，….在时刻t k ) k S 中随机选取图g(t k ), 然后对 t € [tk,t k +i) 定义 g{t) = 9{t k ).计算智能体动态的状态转移矩阵$(t,s)为1 0.8et_s sin(15i) — sin(15s)$(t�s) =0 et_s可验证当Q 0时,满足不等式0.00031 < G(f’t + 0.1) < 0.15/根据定理1,多智能体系统可以由同步协议（7)实现同步.取7 = 0.1,从不等式（8)中可解出a = 31.173.山于按式（8)选择的a比较保守，这里直接选取a = 1.所有图G{k)的代数连通度都是1’由注1’ « = 1.在平面区域[-10,20] x [-10,20]中为每个智能体随机选取初值，然后运行仿真.仿真结果如图1所示.4结论本文研究切换网络下时变连续线性多智能体同步问题，这一问题在现有文献中较少得到关注.在一个一致可控性条件下给出同步协议的设计方法，并证明了耦合多智能体系统指数同步的结论，这一结论不需对状态转移函数进行额外限制.本文y丨入矩阵无穷乘积方法研究连续线性多智能体系统的同步问题，这一方法曾被用来研究一阶线性智能作系统的同步问题[1一2],但未见其应用于高阶连续多智能体同步问题.与Lyapunov函数方法比较，这一方法可以使用矩阵分析技术建立线性多智能体系统的同步结论.1532 自 动化学 报 41卷t/st/s图1 10个智能体的状态轨迹Fig. 1 The state trajectories of 10 agentsReferences1 Jadbabaie A, Lin J�Morse A S. Coordination of groupsof mobile autonomous agents using nearest neighbor rules.IEEE Transactions on Automatic Control’ 2003，48(6): 988-10012 Ren W, Beard R W. Consensus seeking in multi-agent systemsunder dynamically changing interaction top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