摘 要:论文以灰色模型预测数据序列发展总的趋势， 再用马尔科夫概率矩阵预测确定状态的转移规律， 简单论述了灰色理论哲学思想和在认知领域的普遍性和实用性。

关键词:灰色系统理论;马尔科夫模型;预测;哲学;认知

1 引言

灰色系统是指既含有一致的又含有未知的或非确定的信息系统。对灰色系统进行预测的方法即为灰色系统预测法， 是研究介于完全已知(白色信息)信息和完全未知(黑色信息)信息之间的理论。灰色系统理论从信息的非完备性出发研究和处理复杂系统的理论， 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相依程度对原始数据进行处理来寻找系统变动的规律， 生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程， 预测事物未来的发展的趋势。［1 －5 ］ 体现了信息在认知中的重要作用和认知无穷尽的哲学思想。

灰色系统理论自 1982 年诞生以来， 在经济、 管理和工程技术中具有广泛的应用， GM(1， 1)预测模型是灰色系统理论的核心内容之一， 基本思想是将离散变量连续化， 用微分方程代替差分方程， 用生成数序列代替原始时间序列， 弱化原始时间序列的随机性， 通过一定的步骤生成数学模型。［6 ］

但基本 GM(1， 1)模型有时会存在预测精度较差的现象， 主要原因有:一是常采用传统公式来构造参数的背景值， 对数据变化急剧的序列预测精度较低;二是只考虑过去的全体数据， 未充分利用新信息， 精度较高的仅仅是最近的几个数据， 越往后发展， 预测意义就越弱。［7 －8 ］ 所以， 很多时候要结合其他理论进行修正。近年来不少学者对 GM 模型进行了改进与适用范围的研究， 其中主要有:改进初始条件、 提高原始序列光滑度、 重构背景值的 GM(1， t)、等维递补模型、 灰色系统残差修正模型、 静态频率特性系数预测灰色模型、 灰色 ＲBF 神经网络模型等。［9 －13 ］

我国食品价格的走势是一个灰色系统， 本文以灰色理论为基础结合马尔柯夫模型加以修正。以GM(1， 1)模型结合马尔科夫概率模型确定状态的转移规律， 两者结合， 优势互补提高预测精度。［14 －15 ］

2 灰色预测模型

2. 1 对原始观测值

 X (0) = {x (0) (1)， x (0) (2)…x (0)(n)}作一阶累加， 生成 1 － AGO 序列 X (1) ，X (1) = {x (1) (1)， x (1) (2)…x (1) (n)}其中 x (1) (k) =∑ki =1x (0) (i)． k = 1， 2…n

2. 2 构造 X (1) 的紧邻均值成序列 Z

 (1) :Z (1) = {z (1) (1)， z (1) (2)…z (1) (n)}其中 z (1) (k) = αx (1) (k) + (1 － α)x (1) (k －1)， k =2，3…n 一般取 α =0. 5设 X (1) 满足一阶线性常微分方程， 建立白化方程(即影子方程)aX (1) +dX (1)dt= b将上式离散化， 微分对应成差分， 得到 GM (1，1)的灰分方程模型为 az (1) (k) + x (0) (k) = b。最小二乘法可求解参数， 式中 a 为发展系数， 其大小反应了 X (0) 的增长速度， b 为灰色作用量， z (1)(k)为白化背景值。通过微分方程推导出起作用机理， 如图 1。设^ U 为待估参数向量即 ^ U = (a b) T则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足^ U = (B T B) －1 B T Y其中 B =－ z (1) (2)－ z (1) (3)…－ z (1) (n)11…1Y =x (0) (2)x (0) (3)…x (0) (n)白化方程 ax (1) +dx (0)dt= b 的解(也称时间响应函数)为 ^ x (1) (t) = x (1) (0) －b)ae－ at+b(aGM(1， 1)灰微分方程 az (1) (k) + x (0) (k) = b 的时间响应序列为^ x (1) (k +1) =x (1) (0) －b)ae－ ak+ba(k =1， 2…n()取 x (1) (0) = x (0)(1)， 则^ x (1) (k +1) =x (0) (1) －b)ae－ ak+ba(k =1， 2…n()还原值即预测方程 ^ x (0) (k +1) = ^ x (1) (k +1) －^ x (1) (k)

2. 3 GM(1， 1)模型检验:

(1)残差检验残差分为两种， 一种是绝对误差， 一种是相对误差， 是针对模型值和实际值的残差进行逐点检验。检验步骤如下:①按模型计算 ^ x (1) (k) 并通过累减生成 ^ x (0)(k)^ x (0) (k + 1) = ^ x (1) (k + 1) － ^ x (1) (k) ^ x (0) (1) =^ x (1) (0)②计算残差绝对残差序列 Δ (0) = {Δ (0) (i)， i =1， 2…n}Δ (0) (i) = |x (0) (i) － ^ x (0) (i) |相对残差序列  = { i ， i =1， 2…n} i =Δ (0) (i)x (0) (i[ ])×100%平均相对残差 珚 =1n∑ni =1 φ i③ 给定 u， 当 珔 φ ＜ u， 且 φ n ＜ u 成立时， 称模型为残差合格模型。

(2)关联度检验关联度检验， 即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。关联度系数 r i =min{Δ (0) (i)} +ρmax{Δ(0) (i)}Δ (0) (i) +ρmax{Δ (0) (i)}其中 r i 为第 i 个数据的关联度系数， ρ 为去顶的最大百分比， 一般取 ρ =50%。关联度 r =1n ∑ni =1r i 一般关联度大于 0. 6 便满意。

(3)后验差检验后验差检验即对残差分布的统计特性进行检验。① 计 算 原 始 序 列 X (0) 的 均 方 差 S 1(=∑ni =1［ x (0) (i) － 珋 x (0) ］2n －)112② 计算残差的均值 珔Δ =1n∑ni =1 Δ(0) (i)③ 计算残差的均方差 S 2(=1n － 1 ∑ni =1［ Δ(0) (i)－ 珔Δ］)212④ 计算方差比 C =S 1S 2⑤ 计算小残差概率 P = P{ | Δ (0) (i) － 珔 Δ | ＜0. 6745S 1 }⑥ 检验:根据一般精确度等级的划分表 1 后验差检验判别参照表P C 模型精度＞0． 80 ＜0． 5 合格＞0． 70 ＜0． 65 勉强合格＜0． 70 ＞0． 65 不合格若相对残差、 关联度、 后验差检验在允许的范围内， 则可以用模型进行预测否则应进行残差修正。如表 1。

3 应用于城市居民食品零售价格预测

城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分， 同时严重影响着地方政府制定下一段时间的公共政策和市场宏观调控。下面以 2010 年3 月到 2011 年 1 月的城市居民食品零售价格为样本进行分析并预测后三个月的食品价格， 然后用2011 年 2 月到 2011 年 5 月的数据进行检验。以鲜猪肉(肋条肉)为例， 数据来自武汉市物价局。如表 2。根据数据得出灰微分方程系数 a = － 0. 0123 b=6. 4554 可根据预测方程求出各预测值。模型检验:平均相对残差 珚  =5. 4%关联度 r =0. 7239 ＞0. 6方差比 C =32. 2575% 优小残差概率 P =94. 8718% 合格可以采用灰色预测理论， 将前 33 个(已知)数据的预测值求出， 对比真实数据判断预测情况。图 2 实际值(* )与灰色预测值(o)比较

4 改进的 GM(1， 1)模型

从图 2 的对比结果可以看出， 灰色预测的结果恰当反应了食品的长期价格走势。可是城市食品价格受到多种随机因素影响， 并不严格按某一特定规律发展， 而是围绕这一变化趋势产生偏差、 跳跃和波动。基于此， 采用马尔科夫法进行模型修正， 形成一个灰色 － 马尔科夫模型， 可大大提高预测精度。

4. 1 马尔科夫预测的基本原理

假定某一个事件的发展过程有 n 个可能的状态， 即 E 1 ， E 2 ， …E n 。记 P ij 为从状态 E i转变为状态E j 的状态转移概率， 这里用实际值减去灰色值得到新的序列(残差序列)， 并分为五个等长度的状态。通过状态转换的频率可以得到状态转移概率矩阵:P =P 11 P 12 … P 1nP 21 P 22 … P 2n… … … …P n1 P n1 … Pnnn =5

4. 2 进行预测计算状态

概率 π j (k)表示事件在初始(k =0)状态为已知的条件下， 进过 k 次状态转移后， 在第 k 个时刻处于状态 E j 的概率。根据概率的性质显然有∑nj =1π j (k) = 1从初始状态开始， 经过 k 次状态转移后到 E j 这一状态转移过程， 可以看作是首先经过(k －1)次状态转移后到达的 E i (i =1， 2， …n)， 然后再由 E i 经过一次状态转移到达状态 E j 。根据马尔科夫过程的无后效性及条件概率公式有π j (k) = ∑nj =1π j (k － 1)P ij (j = 1， 2， …n)图 3 实际值(* )与新模型预测值(o)的比较若记行向量 π(k) =［ π 1 (k)， π 2 (k)， …π n (k)］ 则可逐次计算状态概率的递推公式 π(k) = π(0)P k 求出转移概率矩阵从而确定后面采样点所处的状态来预测。我们仍然将前 33 个数据的预测值求出， 对比真实的已知数据以判断情况。对预测值与实际值， 从图 3 可清晰看到总体上二者吻合程度相当地高。

5 预测结果及分析

从表 3 中可以看出前 4 个预测数据的误差均在5%以内， 与实际值非常接近， 效果良好。前 6 个数据的误差保持在 10% 以内， 尚可接受， 再后面的数据误差较大， 符合人们认识事物复杂而又循序渐进的过程。从中也可以看出灰色 － 马尔科夫模型只能保证短期的预测准确性即不能用于长久期预测， 揭示了贫信息认知的普遍性与必然性。相关性检验:两组数据相关系数为 － 0. 74713即呈一定的相关性， 说明预测数据很客观地反应了实际数据的发展趋。

6 灰色系统理论的哲学思想

6. 1 灰色性的客观普遍性灰色性是一般系统的共同特征。人们的认识过程就是在灰色空间中摸索前进的过程， 即灰色程度不断降低的过程。［16 ］ 事物的发展永无止境， 人们的认识也永无止境， 只有对事物实践、 认识、 再实践、 再认识， 循序渐进才能认识事物的本质， 而灰色性也普遍地存在于人们的认识事物的过程中。

6． 2 灰色系统理论的辩证法思想

唯物辩证法认为:内因是事物变化发展的根源，外因是变化的条件， 外因通过内因而起作用。灰色系统理论内外分析相结合但更注重内部的分析， 坚持从系统的内部研究， 加强内在规律的探索， 体现了唯物辩证法的内外因辨证关系原理。任何事物都是运动和静止的统一， 运动是绝对的， 静止是相对的。灰色系统理论很好地解决了动静间的转化问题。

7 总结

灰色 － 马尔柯夫模型反映了灰色系统的宏观发展规律和微观波动规律 ［17 ］ ， 用来预测猪肉等食品价格的走势比较适合。预测的精度与状态划分有关，目前尚无统一标准， 应视具体情况而定， 一般原则是使各状态具有较多样本点， 以便更客观地反映状态转移规律。灰色 － 马尔科夫理论通过对系统的各因素进行关联分析来探索系统的发展规律， 从而预测事物未来的发展的趋势， 并做最大概率的状态判断，在短期的预测方面具有很强的推广性。影响一个系统性质的因素很多而各因素之间又存在着难以捉摸的联系， 人们不可能掌握反应系统特征的全部信息， 只是根据掌握的部分信息得到一种不精确的、 近似的预测， 但在实际探索中， 这种预测却对系统认知起着相当重要的指导作用。

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