摘要：针对带有状态监测的单部件系统，基于剩余使用寿命预测信息，考虑了替换时间和备件订购时间的联合决策。首先，利用实时状态监测信息对剩余使用寿命分布函数进行预测；然后，分别建立了该预测信息下的序贯优化模型和联合优化模型；最后，进行了实验研究，利用实际的轴承加速寿命实验对序贯决策和联合决策的效果进行比较。结果表明，联合决策比序贯决策要好，同时还避免了序贯决策中决策结果无法实施的问题。

关键词：预测维修；剩余使用寿命；联合决策；序贯决策；备件订购

引 言

按照维修行为发生在设备失效之前还是之后，可将维修分为事后维修和预防性维修，而预防性维修按照其利用的信息特点，又可分为计划性维修、视情维修和预测维修 [1] 。视情维修 [2-3] 相比计划性维修，考虑了设备当前的实际运行状况，在一定程度上减少了计划性维修中维修过度和维修不足的问题；而预测维修 [4-6] 相比视情维修，强调更进一步利用预测信息来制定相应的维修计划，如剩余使用寿命（remaining useful life，RUL） [7-8] ，从而及早对设备失效开展应对措施。预测维修正在受到大家的重视，但目前的工作主要考虑如何基于预测信息对维修时间进行决策 [9-13] ，而忽略了备件供给和维修之间的影响关系 [14] 。Elwany 等 [15] 将预测维修和备件订购结合起来考虑，首先利用 Gebraeel等 [16] 提出的方法来预测 RUL 分布函数， 再用预测结果来代替文献[17]所提模型中的失效时间分布，对替换时间和备件订购时间依次进行决策；Wang等 [18] 使用了不同的 RUL 预测方法开展了类似的工作。

文献[15，18]都只考虑了序贯决策，即先利用预测得到的 RUL 分布函数进行替换时间决策，再依据替换时间决策结果对订购时间进行决策。这种序贯决策不能做到对维修和备件供给的全局考量，只是一种局部最优；同时，如果序贯决策所得到的最优替换时间小于备件订购的交付时间，那么将面临着决策结果无法实施的风险。 为了解决这些问题，本文基于 RUL 分布函数的预测结果，考虑替换时间和备件订购时间的联合决策，并通过实际的轴承加速寿命实验来验证联合决策的效果。

1 问题描述及优化模型考虑

带有状态监测的单部件系统，策略采用Armstrong 等 [17] 所提出的经典联合策略：系统从 0时刻投入运行，在到达订购年龄 t o 时订购备件，经过恒定交付时间 L 后备件到达，其后在替换年龄t r (≥t o +L)对部件进行预防性替换；在这期间，如果部件在 t o 之前失效，则立即订购备件并在到达后立即对其替换；如果在 t o 和 t o +L 之间失效，则等待备件到达后立即替换； 如果部件在t o +L和 t r 之间失效，此时备件已经到达，因此立即进行替换。本文通过状态监测量预测部件的 RUL 分布函数，并依此得到替换时间和备件订购时间的序贯决策和联合决策优化模型。

1.1 RUL 预测方法

Si 等 [19] 提出了一种具有参数自适应估计能力的 RUL 预测方法，且得到了 RUL 分布函数的解析表达式，从而提高了预测的实时性和准确性。本节对文献[19]所提的方法进行简单介绍。利用漂移布朗运动对部件的退化过程{X(t),t≥0}进行描述X(t)= ϕ+θt+σ B(t) (1)式中，X(t)为 t 时刻的退化信号； ϕ 为初始退化量， θ 和 σ 分别为漂移系数和扩散系数，B(t)为标准布朗运动。 ϕ 和 σ 是固定量，表征某一批对象的共性部分，且认为 ϕ 已知而 σ 未知；而 θ 是随机量，其概率分布 p( θ )服从均值为 μ 0 方差为 σ20 的正态分布，用来表征不同个体之间的差异性，且 θ 和 B(t)相互独立。通常令 ϕ =0，即在每个监测时刻将监测量减去初始退化量 X(0)。用 x t 表示 X(t)在时刻 t 的监测值，则部件从开始时刻 t 1 (t 1 =0)到 t k 时刻的监测序列可表示为X 1:k ={x 1 ,x 2 ,…,x k }。 在 X 1:k ={x 1 ,x 2 ,…,x k }时刻部件的剩余使用寿命 L k 定义为退化过程从当前时刻开始首达失效阈值 w 的时间，即L k =inf{l k :X(l k +t k ) ≥w∣X 1:k } (2)且令 L k 的概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）分别记为 f L k ∣ X 1:k (l k ∣X 1:k )和 F L k ∣ X 1:k (l k ∣X 1:k )。 因为 θ是随机量，则 L k 的 PDF 为( ) ( ) ( )1: 1:1: 1: 1: ,, dk k k kk k k k k L Lf l f l pθθ θ θ = ∫∣ ∣∣ ∣ ∣X XX X X (3)可见，为了得到 f L k ∣ X 1:k (l k ∣X 1:k )，需要知道f L k ∣ θ , X 1:k (l k ∣ θ ,X 1:k )、p( θ ∣X 1:k )，以及未知参数 σ 。文献[12]中给出的具体计算步骤如下。（1）确定 X 1:k ={x 1 ,x 2 ,…,x k }的先验分布( )( )( )1:21121 121 11( )2exp2kkj jjkj j j jj j jpt tx x t tt tθσθσ−=− −= −=π −⎧ ⎫⎡ ⎤− − −⎪ ⎪⎣ ⎦−⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭∏∑∣ × X(4)（2）确定 θ  的后验分布( )2,1:2, ,1( ) exp2 2kkk kpθθ θθ μθσ σ⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥π⎣ ⎦∣X (5)其中2 20 0,2 20kkkxtθμ σ σμσ σ+=+(6)2 22 0,2 20kktθσ σσσ σ=+(7)这里 θ  的后验分布仍然为正态分布，均值和方差分别为 μ θ, k 和2,k θσ 。（3） 利用 EM 算法确定未知参数 Θ Θ =[ σ 2 , μ 0 , σ 2 0 ]，Θ Θ 在时刻 t k 估计值记为2 20, 0,ˆˆ ˆ ˆ , ,k k k kσ μ σ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦Θ，计算公式如下( ) ( )( )( ) ( )221 , 1 1122 21 . , 11ˆ 2( )kk j j k j j j jjj j k k j jx x t t x xkt t t tθθ θσ μμ σ− − −=− −⎡= − − − − +⎢⎣⎤− + −⎥⎦∑(8)0, ,ˆk k θμ μ = (9) σ σ =(10)（4）根据步骤（3）估计的参数，利用式（11） 、式（12）计算 RUL 的 PDF 和 CDF( )( )( )1:1:2,2 23 2 2,,( )exp22k kk k Lk k kkk k kk k kf lw x lw xl ll lθθθμσ σσ σ=⎡ ⎤− −−⎢ ⎥−⎢ ⎥+π +⎣ ⎦∣∣XX(11)( ) ( )( ) ( )1:,1:2 2 2,22, ,2 42 2, ,2 2 2 2,( ) 12 2exp2k kk k kk k Lk k kk k k kk k k k k kk k kw x lF ll lw x w xw x l l w xl lθθθ θθ θθμΦσ σμ σσ σσ σ μΦσ σ σ⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠⎛ ⎞− −⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠∣∣XX×(12)式中，l k 表示自变量，而 σ 、 μ θ, k 和2,k θσ 分别为步骤（3）中估计得到的结果。

1.2 序贯优化模型序

贯决策采用文献[15，18]的序贯优化模型。在时刻 t k ，首先以最小化长期平均维修费用率 Crk为目标对替换时间 trk 进行决策，相应的目标函数为( )1:r1:r1:r1:0( )1 ( ) dk kkk kp f p k k Lktk k k k Lc c c F tCt F l l+ −=⎡ ⎤+ −⎣ ⎦ ∫∣∣∣∣XXXX(13)式中，c p 为单次预防性替换费用，c f 为单次失效替换费用。然后，根据所确定的最优替换时间 trk ，再以最小化长期平均备件管理费用率 Cok 为目标对订购时间 tok 进行决策，相应的目标函数为o ro o1: 1:o ro1: 1:o1: 1:1: 1:0( )d 1 ( ) d( )d 1 ( ) dk kk k k kk kk kk k k kkkt L ts k k k h k k k L Lt t Lt L tk k k k k k k L LtCc F l l c F l lt F l l F l l+++=⎡ ⎤+ −⎣ ⎦⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦∫ ∫∫ ∫∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣X XX XX XX X(14)式中，o rk kt t L − ≤ ；c s 为单位时间内的备件短缺损失；c h 为单位时间内的备件存储费用；L 为备件交付时间。需要说明的是，在序贯决策和联合决策的建模中， 均是将文献[17]决策模型中的失效分布函数 F(t)替换为 RUL 预测得到的1:1:( )k kk k LF l∣∣XX 。

1.3 联合优化模型

在进行联合决策时， 用 t 0 和 t 0 +L+t 1 来代替之前序贯策略中的订购时间 t o 和替换时间 t r 。在时刻 t k ， 以最小化长期平均总体费用率 CJk 为目标，对订购时间 t0k (≥0)和替换时间 t1k (≥0)进行决策，相应的目标函数为

2 实验验证

2.1 实验环境实验在清华大学故障诊断与可靠性技术实验室完成， 所用的实验平台为 BPS 轴承故障预测模拟实验台， 如图 1 所示； 实验对象选用美国 REXNORDER16K-E1 型轴承。该实验台由美国 SpectraQuest 公司开发，可模拟滚动轴承在不同转速和轴向/径向负载情况下的疲劳磨损过程，进行滚动轴承的故障诊断实验和全加速寿命实验。 在动力方面， 该实验台配有一台 PC可编程变频交流异步电动机用于驱动实验台转动，并可提供高达 6000 r·min −1 的转速；动力通过联轴器、传动轴和两组支撑轴承传送到实验端；在实验端，被测轴承安装于轴承座内，轴向负载和径向负载可通过轴承座传递给被测轴承；实验台提供了 2个液压加载系统，可以分别实现轴向和径向加载，图 1 BPS 轴承故障预测模拟实验台Fig.1 BPS bearing failure prediction simulation testbed且每个加载系统能够提供最大约 27 kN 的负载；在数据采集方面，可提供 1 个速度传感器和 3 个加速度传感器， 并通过一个 4 通道 USB 数据采集器将传感 器 数 据 传 送 到 上 位 机 ； 在 上 位 机 ， 通 过SpectraQuest 公司所提供的 VQPro 软件，对数据进行存储和输出。

2.2 实验数据

在实验中，转速设定为 2400 r·min −1 （40 Hz） ，径向负载设定为 300 Pa，轴向负载为 0 Pa。采样频率设为 51200 Hz，采样时间设为 10.2 s，采样间隔为 2 min。通道 4 对应的加速度传感器直接安装在轴承座上，最靠近被测轴承，因此选用其信号作为监测信号。在本次实验中，共做了 3 组轴承加速寿命实验，分别记为 Rexnord No4，Rexnord No6 和Rexnord No7，相应的原始信号分别如图 2～图 4 中所示。均方根值（RMS）反映了振动信号的能量，是常用的时域特征指标， 3 组原始数据对应的 RMS 值随着时间的变化关系如图 5～图 7 所示。 可以看到，RMS 信号的退化趋势明显，因此选取 RMS 值作为反映轴承退化过程的退化信号 X(t)。将Rexnord No6和Rexnord No7作为训练数据，而将 Rexnord No4 作为测试数据。通过观察训练数据，将失效阈值定为 w=0.06，3 组数据对应此失效阈值的失效时间见表 1， 其中失效时间单位为 2 min（采样间隔） 。关于阈值的选择需要说明的是：①实际使用过程中很少将系统跑到完全失效，实验时在原始信号最大振幅超过 0.3 后就认为系统处于不正常状态而停止；因此，失效阈值通常指软失效阈值 [20] ，依据相应工业标准或者工程经验来确定；②阈值的选择不是本文考虑的主要问题， 选择 0.06 是因为此时原始信号的最大振幅接近 0.3， 同时也为了照顾每组数据都跑到了失效阈值。

2.3 RUL 预测以测试数据

 Rexnord No4 为数据来源，将初始监测时刻的 RMS 值设为退化初始值 ϕ ， θ 先验分布1:( )kp θ ∣X 的参数估计初始值设为0,1ˆ 0.01 μ = 和20,1ˆ 0.005 σ = ， σ 的估计初始值设为21ˆ 0.05 σ = 。利用2.1 节中的算法进行 RUL 预测，所得结果见图 8。图中平面上的两个轴分别表示监测时刻点和 RUL时刻点，带圆点的实线表示实际 RUL 值，曲线表示在不同监测时刻预测得到的 PDF 函数。可以看到， 越接近失效时刻， 所预测的 PDF 函数峰值越高，即表示 PDF 函数的方差越来越小， 预测的不确定性越来越小；同时，对应的退化路径估计结果见图 9，图 8 剩余使用寿命的 PDF 预测结果Fig.8 Prediction PDF results of RUL图 9 退化路径估计结果Fig.9 Estimation results of degradation path说明了预测结果的准确性。

2.4 序贯决策和联合决策结果选择

文献[15]所使用的仿真参数：c p =25，c f =100，c s =350，c h =0.1，L=4。按照 2.2 节所给的序贯优化模型进行序贯决策。首先，对替换时间 trk 进行决策：在不同监测时刻，费用率 Crk 与替换时间trk 的关系见图 10，可以看到随着监测时刻越接近失效时刻，最优的替换时间逐渐减小；随后，根据决策得到的最优替换时间，对订购时间 tok 进行决策：在不同监测时刻，费用率 Cok 与替换时间 tok 的关系见图 11，可以看到随着监测时刻越接近失效时刻，最优的订购时间也是逐渐减小。同样，按照 2.3 节所给的联合优化模型同时对订购时间 t0k 和替换时间 t1k 进行决策： 在不同监测时刻所得的最优解和对应费用率见表 2，为了能够与序贯决策的结果进行比较， 将联合决策的结果 t0k 和t1k 转换为序贯决策对应的时间量 t0k 和 t0k +L+t1k 。表 2 序贯优化和联合优化结果及比较Table 2 Comparison between sequential and jointoptimization序贯优化  联合优化监测时刻订购时间替换时间费用率订购时间替换时间费用率比较结果603  0  0  0.7954  0  4  0.7954  0%554  5  11  0.0450  4  8  0.0446  0.90%504  8  17  0.0495  7  11  0.0487  1.64%404  13  29  0.0619  12  16  0.0598  3.51%304  25  74  0.0842  23  27  0.0764  10.21%在表 2 中的最后一列，统计了序贯决策比联合决策在最优费用率上高出的比例，可以发现：①联合决策的结果比序贯决策的结果要好，在几个监测时刻中，最多能够减少费用率 10.21%，这是因为联合决策是同时对订购时间和替换时间进行决策，相比序贯决策来说是全局的最优结果；②序贯决策产生了最优的替换时间无法实现的问题，如表中监测时刻 t k =603 时，最优替换时刻是 0，而系统存在交付周期 L=4，此时最优替换时间小于交付周期而无法实现，但是联合决策对订购时间和替换时间同时进行决策，有效避开了这个问题。

3 结 论

本文基于预测的 RUL 分布函数，考虑了替换时间和备件订购时间的联合决策，并利用轴承加速寿命实验对序贯决策和联合决策的结果进行了比较。所得结果表明，联合决策相比序贯决策能产生更小的费用率， 验证了研究联合决策的效果； 同时，通过联合决策还可以避免序贯决策中决策结果无法实现的问题。符 号 说 明B(t) ——标准布朗运动c p , c f , c s , c h ——分别为单次预防性替换费用、单次失效替换费用、单位时间内的备件短缺损失、单位时间内的备件存储费用L ——备件交付时间t k ——第 k 个监测时刻t o,  t r ——分别为序贯决策的订购时间、替换时间t 0 ,t 1 ——分别为联合决策的订购时间、替换时间trk ,tok ——分别为监测时刻 t k 时，序贯决策的替换时间、订购时间t0k , t1k ——分别为监测时刻 t k 时，联合决策的订购时间、替换时间w ——失效阈值X(t),x t ——分别为退化信号、 t 时刻退化信号的监测值ϕ , θ , σ ——分别为 X(t)的初始退化量、漂移系数和扩散系数μ 0, σ 2 0 ——分别为 θ 的均值和方差μ θ ,k ,2,k θσ ——分别为 θ 均值和方差在监测时刻 t k 时的估计值

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