摘 要：本文提出了一种新型的基于 Hammerstein-Wiener 模型的广义预测控制策略。采用基于最小二乘支持向量机的 Hammerstein-Wiener 模型描述非线性系统动态特性，作为被控对象预测模型。同时，针对现有遗传算法和混沌粒子群优化算法收敛速度慢和精度低等缺点，给出一种拟牛顿信赖域混沌粒子群混合优化算法，作为预测控制的滚动优化策略，函数测试和非线性对象的广义预测控制的滚动优化表明该算法的优越性。最后，对设计的预测控制器进行实例仿真，结果表明它能满足系统实时稳定运行的需求，取得了良好的控制效果。

关键词：广义预测控制；Hammerstein-Wiener 模型；拟牛顿信赖域；混沌粒子群

0 引 言

广义预测控制(GPC) [1] 是随着自适应技术发展起来的一种预测控制方法，它控制效果好，鲁棒性强，适用于具有时滞或开环不稳定的非线性系统，因此在工业控制中得到大量应用。然而，广义预测控制通常需要进行Diophantine方程求解、矩阵求逆、最小二乘递推等复杂计算，求解高阶复杂非线性系统控制问题时计算量较大。广义预测模型常采用CARIMA模型、状态空间模型等参数模型，但是针对复杂非线性系统，预测模型仍没有统一有效的建模方法。滚动优化采用对控制量和偏差加权的性能指标，常用最小二乘递推寻优，需要进行大量数据和复杂的矩阵计算，且寻优性能常在快速性和稳定性之间折中，其优化性能有待进一步提高。

文献[2]采用ARMAX模型作为广义预测控制的预测模型，设计了预测控制器，但是模型参数未知或存在动态不确定性时，该方法不能实现参数的一致估计和性能指标的极小化；文献[3]利用神经网络对非线性系统进行逼近和控制，但神经网络对大范围非线性系统的逼近存在逼近精度和网络复杂性的矛盾。T-S模型在非线性对象的建模和控制中也得到广泛应用， 文献[4,5]采用T-S模糊模型对被控对象建模，实现了模型实时更新，提高了被控系统的逼近精度，但其结构辨识与参数辨识的混合导致计算量大。Hammerstein-Wiener模型 [6-9] 作为一种经典的分块结构非线性模型，包括了两个非线性模块，能更好地描述非线性系统，且结构简单，计算量少，为非线性预测模型提供了良好的模型结构。

文献[10]将遗传算法作为广义预测控制中的滚动优化来处理带约束的优化问题，但遗传算法在函数寻优时容易陷入局部极值，产生早熟且进化代数较多。 粒子群优化(PSO)算法 [11-13]也被引入到预测控制的滚动优化中，解决了被控对象存在约束时寻优困难和计算复杂的问题，但PSO易产生早熟收敛；混沌粒子群优化算法 [14,15] 结合混沌和粒子群算法的优点，保持了全局寻优的快速性且避免陷入局部极值，但算法后期收敛精度和收敛速度仍未得到改善。文献[16]将拟牛顿法与信赖域法相结合，在信赖域求解子问题不理想时，采用拟牛法可以避免信赖域半径的盲目缩小和重新求解子问题，加快了寻优速度。

本文将 Hammerstein-Wiener 模型、拟牛顿信赖域混(QN-TR)沌粒子群优化(CPSO)算法和广义预测控制的思想相结合，提出一种新型的基于Hammerstein-Wiener模型的广义预测控制策略。为了提高 CPSO 算法效率，将拟牛顿信赖域和混沌粒子群相结合，可以避免陷入局部极值，并且加快局部极值的收敛速度。将拟牛顿信赖域混沌粒子群优化算法作为预测控制的滚动优化策略，可避免复杂的矩阵计算且提高滚动优化的性能。仿真结果验证了该方法的有效性。

1 广义预测控制的基本思想

设非线性被控对象的数学模型用如下具有随机阶跃扰动非平稳噪声的离散差分方程描述为：           1 1 111 A z y k B z u k C z k     (1)其中，y，u，?为系统输出、输入和均值为零、方差为δ 2 的白噪声； Δ为差分因子，-11 z    ；     1 1 11 0 11 , , 1a b cn n ni i ii i ii i iA z az B z bz C z cz             ； 其中ia ，ibic 为系统参数。将式(1)两边同时乘以差分因子Δ得：           1 1 11 A z y k B z u k C z k       (2)其中，   -1 -1A z A z   。 引入Diophantine方程：     -1 -1 -11jj jA z R z z S z  (3)其中，   1-1 -1, ,1 01 ,an ji ij j i j j ii iR z r z S z s z     。将式(3)代入式(1)并化简得：        /p py k j y k j k k j       (4)             -1 -1 1/ 1p j jy k j k B z R z u k j S z y k     为预测输出，     -1p jk j R z k j      为预测误差。广义预测控制问题可以表达为在模型约束和控制约束下求出使性能指标达到最小的一组最优控制量序列。采用如下二次型性能指标：J y k j y k j u k j          (5)其中P为预测长度， M为控制长度   M P  ，j为控制加权系数， ( )ry k j  为参考轨迹。

2Hammerstein-Wiener预测模型辨识

在非线性系统动态建模和控制中，Hammerstein-Wiener 模型作为一类块结构非线性动态模型受到了高度重视。该模型同时结合了线性动态模型和静态非线性函数模型，结构简单，容易辨识，能较好地反映过程特征，已被广泛应用于系统建模 [9] 。单 输 入 单 输 出 非 线 性Hammerstein-Wiener 模型结构如图 1 所，它包括静态输入非线性模块 f， 动态线性模块 G和静态输出非线性模块 h。f G hxu vy图 1 Hammerstein-Wiener 模型本文采用基于最小二乘(LS)支持向量机(SVM)的 Hammerstein-Wiener 模型对非线性系统进行建模，通过模型辨识得到非线性系统的预测模型 [17] 。对于单输入单输出系统，基于 SVM 的Hammerstein-Wiener 模型辨识步骤如下：Step1：采集足够的输入输出数据样本。Step2： 根据 Hammerstein-Wiener 各个模块模型结构，得到 Hammerstein-Wiener 非线性 模 型 的 输 出 数 学 表 达 式         1 1- -n mi j ki jy k ag y k i b f x k j e    ,1g h   。Step3 ： 采 用 支 持 向 量 机 表 示Hammerstein- Wiener模型表达式中的非线性函数。Step4：定义相应的优化问题和约束条件，利用最小二乘对上述非线性函数参数进行寻优，得到待定参数 d1、d0，再进行奇异值分解得到回归参数ia 、jb ，从而得到非线性部分 ( ) f x 和 ( ) g y 。Step5：选择高斯径向基函数（RBF）为核函数，得到 Hammerstein-Wiener 模型的最终表达式：   1 01 1 1 1, ,n N m Nk i sv k j sv j sv k j sv ki sv j svy a Kv v d b K x x d e                      (6)系统静态非线性模块的输出即是整个模型的输出，对系统未来时刻输出进行多步预测， 得到多步预测输出， 将其反馈到输入端，从而对非线性系统进行提前预测控制。

3 基于混合优化算法的预测控制滚动优化

3.1 拟牛顿信赖域 CPSO 混合优化算法信赖域法是一种求解非线性约束优化问题的算法， 它可以同时确定搜索方向和步长，简化搜索过程。将拟牛顿法引入到信赖域中[16] ，采用 BFGS 拟牛顿公式修正信赖域模型子问题中的KB ，同时，在每个迭代步，优先使用信赖域方法，当试探步不成功时，采用拟牛顿步继续迭代，避免重新求解子问题及信赖域的盲目缩小，加快寻优速度而且算法具有二次终止性。该算法基本思想是迭代求解信赖域模型子问题： 1min ( )2. .T Tk k k kkq s f x s B s g sst s   (7)其中， ( )kf x 为 ( ) f x 在kx 处的函数值， s 为尝试迭代步，kB 为近似于Hessian矩阵2( )kf x  的对称矩阵， ( )k kg f x   为 ( ) f x 在kx 处的梯度，k 为信赖域半径。CPSO 是一种基于种群的随机优化技术，对待优化目标能实现快速全局搜索。将CPSO 作为全局搜索器 [14,18] ，用拟牛顿信赖域 [16] 加快局部搜索，能提高收敛速度，取得较好的寻优效果。基于拟牛顿信赖域的混沌粒子群混合优化算法步骤如下：Step1：确定群体规模 M 、最大函数评价次数mM 、确定算法权重 w ，粒子速度范围   ,max maxv v - 初始化粒子群随机初始位置和速度。Step2： 将每个粒子的个体极值iP 设置为当前位置， 根据适应度函数1ˆ - 1ni iiiy yfn y(n是训练样本数，iy 、 ˆ i y 分别为实际值和预测值)计算每个粒子的适应度值， 取适应度值最好的粒子的个体极值为 CPSO 最初的全局极值gP ，函数评价次数 k=M。Step3：若mk M  ，则   min ,best g lP P P  ，转 Step10，否则继续。Step4：用 PSO 速度和位置更新公式                 11 1 2 21 1k k k k k ki i i i g ik k ki i iv wV cr P x c r P xx x v       对粒子速度和位置进行更新。Step5： 根据各个粒子的适应度值更新iP和gP ，并记录全局最优粒子下标bestg ，更新k。Step6：判断是否满足 'k M kg gP P   ，若满足，则继续，否则，转 Step3。Step7：以全局最优粒子位置bestgx 为初始点，运行拟牛顿信赖域算法， 更新bestlx ，lP 和k。Step8：若mk M  ，则   min ,best g lP P P  ，转 Step10，否则继续。Step9：对当前粒子群gP 进行混沌扰动。首先将gP 映射为定义域 [0 1] 之间的混沌变量 r，若 r<P m （P m 为混沌变换概率） ，则用Logistic [19] 映 射 式   ' 1k k kZ Z Z    ( 其 中4   ， 0 1kZ   )进行迭代，得到 n 个混沌变量，这些变量通过逆映射获得 n 个粒子，对粒子适应度值进行计算和排序，从而获到最优解 'gP ，令 'g gP P  ，更新 k，转 Step3。Step10：输出粒子群最优值，算法结束。其中，拟牛顿信赖域算法达到收敛即停止迭代，不需要满足最大函数评价次数的终止条件。

3.2 寻优性能比较

为了验证拟牛顿信赖域 CPSO 混合优化算法的优越性，本文将其与遗传算法(GA)、混沌粒子群优化算法(CPSO)分别对4个给定初始点的无约束优化问题测试函数 [20] 进行寻优，并对各自的函数最优值、仿真时间和收敛精度进行比较。表 1 3 种算法寻优性能比较f  T(s)  CR/%函数.  f*QN-TR-CPSO/CPSO/GAQN-TR-CPSO/CPSO/GAQN-TR-CPSO/CPSO/GARosebrock 0  0.000 006 5/0.000 73/0.000 71  0.47/0.84/1.63  100/100/100Rastrigrin0  0.000 007 3/0.000 282/0.002 149  0.49/0.97/1.78  100/83/816Schaffer f 0  0.000 004 3/0.000 102/0.000 834  0.47/0.83/1.44  100/90/100Sines 0.9  0.900 003 8/0.900 715/0.900 832  0.43/0.62/1.47  100/100/100对每个函数进行寻优，参数设置如下：信赖 域 半 径  0 0= g x  ， 最 小 信 赖 域 半 径min0.2   ， 0.75   ，正定矩阵0B I  ，精确度510  ，10.25 c  ，22 c  ， 0.1   。粒子群规模30 M  ， 加速常数1 2 '' 2 c c   ， 惯性权重 w 取文献[19]中的线性惯性权重， 0.9maxw  , 0.4minw  ,  / 2max max minv x x   ,   /2max max minv x x   ,min maxv v   ,   ，收敛阈值3' 10  ，最大函数评价次数3000 ， 混 沌 概 率 0.2mp  ， 混 沌 搜 索 区 间0.5 , 2.5g gp p     。CPSO 算法的参数取值同上，GA 算法取种群规模 30， 交叉概率 0.8， 变异概率 0.002。对每个函数测试 50 次， 测试函数维数均为2， 寻优结果取 50 次搜索得到最优值的平均值，仿真时间取 50 次仿真的平均时间。 得到最终结果如表 1，其中： QN-TR-CPSO 为拟牛顿信赖域混沌粒子群混合优化算法，CPSO 为混沌粒子群优化算法，GA 为遗传算法，f*为标准的函数最优值，f 为搜索得到的函数最优值，T为仿真时间，CR 为收敛率。

3.3 基于混合优化算法的滚动优化预测

控制鉴于拟牛顿信赖域 CPSO 混合优化算法函数寻优的准确性和快速性，本文将其应用于广义 预 测 控 制 的 滚 动 优 化 。 以Hammerstein-Wiener 模型为预测模型，以拟牛顿信赖域 CPSO 混合优化算法为滚动优化策略的广义预测控制结构如图 2 所示。其预测控制步骤如下：Step1：设置预测控制初始参数，拟牛顿信赖域初始参数， CPSO 初始参数， 基于 SVM 的Hammerstein-Wiener 模型辨识初始参数。Step2： 通过Hammerstein-Wiener模型辨识得到系统多步预测输出。Step3：由系统多步预测输出和参考轨迹输出计算性能指标式(5)。Step4：采用拟牛顿信赖域CPSO混合优化算法进行寻优， 输出使性能指标达到最小的控制量?(k)。Step5：转Step2，将得到的 ( ) u k 重新作用于系统， 得到下一步多步预测输出， 进行下一周期的预测控制。

3.4 滚动优化效果比较

取以下非线性系统为研究对象：      1.001676 1 0.241714 2 y k y k y k        0.23589 1 / u k E k     (8)其中， E(k)为[-0.2,0.2]范围内的均匀白噪声， 来验证拟牛顿信赖域 CPSO 混合优化算法寻优的优越性。分别采用最小二乘支持向量机(LS-SVM)、 混沌粒子群(CPSO)及本文的拟牛顿信赖域混合优化算法(QN-TR-CPSO)作为滚动优化策略，得到仿真结果如图 3 所示。其 中 ， Yr 为 参 考 输 入 ， LS 、 CPSO 和QN-TR-CPSO分别为采用最小二乘、 混沌粒子群及拟牛顿信赖域混沌粒子群优化算法作为滚动优化策略得到的预测控制结果。 可以看出， 拟牛顿信赖域混沌粒子群优化算法使输出快速稳定跟随给定输入，超调较小，调节速度最快，取得了良好的控制效果。

4 仿真实例研究

4.1 非线性系统Hammerstein-Wiener模型辨识以如下非线性Hammerstein-Wiener系统为被 控 对 象 ， 验 证 所 给 出 的 基 于Hammerstein-Wiener模型和混合优化算法的广义预测控制策略的实时控制效果。被控系统包括两个静态非线性模块和一个动态线性模块， 其中， 静态输入部分为一非线性死区函数：     1 12 20.5 0.2 0.20 = 0 0.1 0.20.5 0.1 0.1m x r x xu f x xm x r x x              (9)动态线性部分的传递函数： 1 2 1 211 21 2 1 21 20.2 0.11 1 0.6 0.4bz bz z zG zaz a z z z           (10)非线性输出部分的逆： 21 0.66712qv h y q y y    (11)采集200组系统实时输入输出数据，利用前面 所 述 的 最 小 二 乘 法 辨 识 基 于 SVM 的Hammerstein-Wiener模型线性部分递归参数和非线性部分参数 [17] ，得到系统的预测模型，其中各个预测参数如下：     1 2 1 21 2 1 21 2ˆ ˆˆ ˆ , , , 0.2003,0.1002, 0.5996,0.3998ˆ ˆ ˆ ˆ , , , 0.5002,0.5003,0.207, 0.092ˆ ˆ , [2.0021, 0.6682]a a b bm m r rq q     图 4 为基于 SVM 的 Hammerstein-Wiener预测模型与系统实际输出的对比。可以看出，Hammerstein-Wiener 模型对复杂非线性对象有较好的辨识能力，该方法简单且辨识精度高。作为全局的 N-L-N 模型， 辨识参数会随非线性动态系统变更而更新，能随时反映系统动态过程。

4.2 基于Hammerstein-Wiener模型的广义预测

控制将上述非线性Hammerstein-Wiener系统模型作为预测模型， 采用拟牛顿信赖域混沌粒子群混合优化算法作为滚动优化策略，构成了基于Hammerstein-Wiener模型的非线性系统的广义预测控制系统。控制系统结构如图2所示，取预测长度 6 P  ，控制长度 2 M  ，控制加权系数0.6j  ，柔化系数 0.4   ，最大函数评价次数3000mM  ，得到非线性系统实时跟踪控制仿真曲线如图5所示。仿真结果表明， 在系统输入发生变化时， 非线性系统能够快速稳定跟随系统给定输入， 输出波动小，控制精度高，取得了良好的控制效果。

5 结 论

针对非线性系统建模困难和广义预测控制滚动优化性能存在的问题，提出了一种基于Hammerstein-Wiener 辨识模型和新型滚动优化算法的广义预测控制方法。采用基于支持向量机的非线性Hammerstein-Wiener模型作为预测模型，有效提高了预测模型对研究对象的逼近精度；同时给出了一种拟牛顿信赖域混沌粒子群混合优化算法，并将其作为广义预测控制的滚动优化策略， 仿真测试表明该算法的优越性。最 后 ， 将 该 控 制 策 略 应 用 于 非 线 性Hammerstein-Wiener 系统的预测控制，结果表明系统输出能快速稳定跟随给定输入，取得了良好的控制效果。

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