摘 要: 空气轴承间隙的实时测量中，采用 个电容测微仪将轴承轮廓的形状误差从径向回转误差中分离出来 基于三点法误差分离原理，推导了电容测微仪读数中的随机误差和系统误差传递数学模型，分别以随机误差和系统误差传递模型为目标函数，对传感器夹角布置进行了仿真优化 最后，模拟计算了传递到径向回转误差两垂直分量上的电容测微仪读数测量误差大小 仿真结果表明: 即使是最优角度，传感器读数的随机误差在三点法计算过程中也将被放大，而恒值系统偏差约按 的比例传递到径向回转误差测量结果中
关键词: 空气轴承; 回转误差; 三点法; 测量误差传递
引 言
由于空气轴承回转精度高，目前精密离心机主要采用空气轴承作为旋转主轴 动不平衡等因素将会造成空气轴承的回转误差增大，甚至导致空气轴承主轴和轴套相互摩擦，造成不必要的损失［］因此，对空气轴承间隙的实时状态监测很有必要
空气轴承间隙随着径向回转误差和轴套轮廓的形状误差变化而变化，基于三点法误差分离技术，可以在线将形状误差从径向回转误差中分离出来，使得轴承间隙只随回转误差变化 前人的研究主要从数学上保证三点法谐波权函数不等于零［，］实 际 上，个测微仪之间的夹角选择不当，除了会导致谐波抑制外，还将导致传感器读数误差等各种测量误 差 被 放 大［，］，降低空气轴承间隙的测量精度虽然三点法误差分离技术已被广泛应用，但从国内发表的文献来看，个测微仪之间的夹角布置和测量精度的定量收稿日期:基金项目: 国家重大科学仪器专项资助项目( )计算缺乏统一的可直接借鉴的文献报道 这些对于高精度的精密离心机用空气轴承间隙状态监测又是很有必要的 本文基于三点法误差分离原理，推导传感器读数误差传递模型，对空气轴承间隙的测量误差进行定量仿真分析
三点法测量空气轴承间隙的原理
空气轴承间隙等于静态间隙量与径向回转误差的叠加，关键是径向回转误差的测量 基于三点法误差分离的空气轴承径向回转误差测量如图 所示 空气轴承圆周上布置 个电容测微仪，电容测微仪 ，与 的夹角分别为，
假设 个电容测微仪处于同一平面内且相交于平均回转中心，根据三点法误差分离原理，可推导出径向回转误差在 个电容测微仪组成的平面内的 个量( ) ， ( ) 按以下迭代式进行计算传感器与微系统 第 卷图 三点法误差分离示意图( ) ( ) ( ) ， ( )( )( ) ( ) ［( ) ( ) ］( )其中( ) ( ) ，( )( ) ( ) ，( )( ) ( ) ，( ) ( ) ( ) ( ) ，，，( )，( )，式中 ( ) 为空气轴承轮廓的形状误差， ，， ，，取整数，为空气轴承旋转一周的采样点数，为傅里叶变换谐波阶次，为相应的采样点( ，，， ) ， ( ) ， ( ) ， ( ) 分别为 个电容测微仪读数传感器读数误差传递模型建立基于三点法形状误差分离的空气轴承间隙测量中，由于受温度变化噪声电磁干扰等的影响，电容测微仪读数中存在随机误差和系统误差 对于随机误差和系统误差，需要知道经过三点法形状误差分离后，传递到径向回转误差上的量值大小设个电容测微仪读数的随机误差相同，均 为 ，且个电容测微仪之间相互独立 由于式( ) 式( ) 是关于传感器读数的线性组合关系，根据数理统计理论，傅里叶系数 和 的方差为( )( )( )( )( )( )( )( ) {( )由三角函数性质，式( ) 可简化为( ) ( )( )( )( )对于每一个采样点 ，傅里叶系数 和 均为传感器读数( ) 的线性组合，二者强相关，认为相关系数为，则传递到形状误差( ) 上的传感器读数随机误差为( )( )( ) ( )根据式( ) ，式( ) ，传递到径向回转误差分量 ( ) ，( ) 上的传感器读数随机误差 ( ) ，( ) 为( )([ ])( )(( )[ ]){，( )式中 为傅里叶变换的最高谐波阶次 公式推导过程中认为 ( ) 与( ) 弱相关，因此，按式( ) 的计算结果稍微比实际值大设 个电容测微仪读数中存在系统误差，分别记为 ，， 基于式( ) 和式( ) ，不考虑其它测量误差，根据误差理论［］，对于每一个采样点 ，传递到傅里叶系数 和上的传感器读数系统误差为( )( )( )( )( )({ )( )传递到形状误差( ) 上的传感器读数系统误差为( )( )( )([ ]) ([ ]){ } ( )对于每一个采样点 ，径向回转误差分量 ( ) ， ( ) 上的传感器读数系统偏差为第 期 凌明祥，等: 空气轴承间隙测量精度分析( )( )()( )( )()( )其中，传感器读数误差传递模拟计算设空气轴承回转误差测量系统中第一，二个电容测微仪垂直放置，即 ，测量误差的传递大小由夹角 的取值决定 一方面为了使传感器读数随机误差传递倍数最小，用式( ) 的误差传递函数 ( ，，) 来优化 的取值( ，，) 反映了 对径向回转误差各阶谐波分量测量精度的影响 ( ，，) 越 小，说明传递到回转误差上的第阶谐波分量中的传感器读数随机误差越小，即径向回转误差测量结果越精确 另一方面，为了使传感器读数系统误差传递倍数最小，用式( ) 的误差传递函数 ( ，，) 来优化 的取值( ，，) ， ( )( ，，) ( )取 ，构造的优化策略是求 的值，分别使误差传递函数 ( ，，) 和 ( ，，) 的各阶谐波分量之和为最小，即( ，) ( ，) ， ( )( ，) ( ，) ( )以 为步长，当最大谐波次数 时，目标优化函数 ( ，) 和 ( ，) 随角度 变化的曲线关系如图所示 ( ，) 和 ( ，) 取极小值的 值有很多个，因此，可结合其它约束条件对 的取值进行灵活选择 此外，( ，) ， ( ，) 取值的离散程度均很大，说明夹角 的值出现小变化就有可能使 ( ，) ， ( ，) 的取值从极小变到无穷大，因此，要避免夹角 的实际安装偏差引起传感器读数误差的放大对每一谐波阶次，当 取 时，( ，) ， ( ，)的取值如图 所示 由图中曲线可知，当 的取值使误差传递函数 ( ，) ， ( ，) 取极小值时，对应的每一谐波分量均可控制在一定范围之内，而不会出现某一谐波分量的谐波抑制现象 计算中发现，( ，) 取极小值对应的值几乎全部也可以使 ( ，) 取极小值，即使各次谐波分图 ( ，) 随角度 变化的曲线关系( ，)量 ( ，) 的取值较 ( ，) 平滑，优化 的取值还是以误差传递函数 ( ，) 为目标函数较为合理图 ( ，) 随谐波阶次 的变化( ，)计算中发现，最高谐波次数 取不同值时，目标函数( ，) 取最小值时对应的 值不同 一般来说，回转轴的形状误差取 阶谐波即可，因此，所研制空气轴承回转误差测量系统中 取 表 所示是本文优化结果与文献［］优化结果对比情况，当 取 时，本文的优化结果略优于文献［］表 不同最大谐波阶次优化结果比较本文 文献［］，( ，，)，( ，，)， 或( ，，)，( ，，)若电容测微仪读数中存在测量误差，则 该 误 差 将 按式( ) 和式( ) 传递到回转误差的测量结果中 取， ， ，按误差传递函数 ( ，) 优化得到的 个 象 限 内 的 最 优 值 为 ， ， ，，对于每一个采样点 ，根据式( ) ，传递到回转误差分量( ) ， ( ) 上的传感器读数随机误差计算结果如图 所示 个 值对应的传递到回转误差分量上的传感传感器与微系统 第 卷器读数随机误差差距不大，均 值 在 之间，大多数峰峰值为 说明即使是误差传递最小的 值，传递到回转误差分量上的传感器读数随机误差也将被放大，平均放大量在 之间设传感器读数的系统偏差为 ，对于每一个采样点 ，根据式( ) ，传递到形状误差( ) 上的传感器读数系统偏差如图 所示 由图中数据可知，传递到形状误差( ) 上的传感器读数系统偏差的数量级在左右，则传递到回转误差分量 ( ) ， ( ) 上的传感器读数系统偏差为 ( ) ( ) 说明三点法能消除传感器读数偏差 需注意的是，若传感器读数偏差与采样点 有关，则上述结论不适用 此外， 对应的系统偏差传递量明显大于其他 组值，说明按误差传递函数 ( ，) 优化得到的 值并不完全使传感器读数系统偏差传递量也越小 然而，由于系统偏差传递倍数极小，因此，空气轴承间隙实际测量中可以忽略恒值系统偏差对形状误差的影响，而恒定系统偏差约按 的 比 例 传 递 到 回 转 误 差个分量的测量结果中图 不同采样点对应的随机误差传递量
结 论
针对空气轴承间隙实时测量的测量精度问题，建立了电容测微仪读数的随机误差和系统误差传递数学模型，并对传感器夹角进行了仿真优化 在此基础上，模拟计算了图 不同采样点对应的系统偏差传递量传递到回转误差分量上的传感器读数随机误差和系统偏差大小 结果表明: 即使是最优角度，随机误差也至少将被放大 左右，而恒值系统偏差约按 的比例传递到回转误差测量结果中 所建立的测量误差传递模型可为相关主轴回转误差测量的精度评估提供一定的参考
参考文献:［］任顺清，杨亚非，吴广玉精密离心机主轴回转误差对工作半径的影响［］哈尔滨工业大学学报， ，( ) : 张宇华，王晓琳三点法中测头最佳角位置的确定方法［］光学 精密工程， ，( ) :［］张宇华，张国雄提高三点法测量精度的研究［］北京理工大学学报， ，( ) :［］朱 正 华，黄 建 刚一个间接测量误差传递公式的普遍证明［］湖南大学学报， ，( ) :
