摘 要：为了提高柔性关节机器人的轨迹跟踪精度和抖动抑制能力，设计了一种基于无源性理论的柔性关节控制器．通过Simulink仿真验证和简化了该控制器，使其更加适合于多自由度机器人的控制．用于实验的7自由度机器人采用DSP+FPGA结构，数字信号处理器（DSP）和现场可编程逻辑门阵列（FPGA）分别实现非线性部分和线性部分计算，避免了由于自由度的增加引起的关节控制器性能变化．实验结果表明，与传统的PD控制相比，基于无源性理论的柔性关节控制器具有力矩波动小以及抖动抑制快、稳态精度高等优点．
关键词：柔性关节；无源性；现场可编程逻辑门阵列；抖动抑制
Flexible Joint Controller Design Based on Passivity Theory
Abstract:In order to improve the trajectory tracking precision and the vibration suppression capability of flexible jointrobots, a passivity theory based flexible joint controller is proposed. The controller is verified and simplified in Simulink en-vironment in order to make it more suitable for the robot with multiple degrees of freedom (DoF). Experiments are conductedon a 7-DoF robot with DSP+FPGAs structure, and the nonlinear and linear parts are calculatd in digital signal processor(DSP) and field programmable gate array (FPGA) separately, which avoids the performance change of the joint controllerdue to the increasing DoF. The experiment results show that comparing with the PD (proportional-derivative) controller, theproposed controller has the advantages of lower torque fluctuation, faster vibration suppression and higher static accuracy.
Keywords:flexible joint; passivity; FPGA (field programmable gate array); vibration suppression
　　1 引言（Introduction）
　　大多数机器人关节中应用了谐波减速器的传动部件以使机器人结构轻巧，但同时也给机器人的关节带来了柔性．关节柔性的引入增加了控制的难度，众多学者对柔性关节机器人的控制进行了大量的研究，归纳起来主要包括以下几种方法：奇异摄动法、解耦控制和积分反步法、基于无源性理论的控制方法等[1-5]．
　　奇异摄动法将柔性关节的动力学系统划分为快、慢两个子系统分别控制，取得了较好的结果．但该方法忽略了快、慢两个子系统之间的耦合，并局限于关节具有足够刚度的情况[1]．解耦控制和积分反步法通过合适的反馈解决了奇异摄动方法中快的力矩系统和慢的位置系统之间的耦合问题，给出了完整的稳定性证明．然而，该方法计算过于复杂，控制器中需要用到关节加速度¨ q和外力text．虽然关节加速度可以通过q、˙ q、t、text 得到，然而加速度的计算需要用到惯性矩阵M¡1(q)，因此该方法局限于自由度较少的机器人．从奇异摄动方法的应用可知，柔性关节的控制中，仅有位置和速度反馈很难达到满意的效果，需要引入力矩反馈[1]．文[2-5] 基于无源性理论讨论了系统的稳定性问题，并给出了关节力矩反馈的物理解释．关节力矩反馈与电机端的动力学结合的系统为无源的，关节端动力学也是无源的，两个无源系统的反馈连接的系统也是无源的．基于无源性理论设计的控制具有算法简单、便于工程应用、跟踪性能良好等优点．
　　良好的控制效果不仅取决于好的控制策略，而且在很大程度上取决于硬件结构的合理性．当前的机器人控制器主要有以下两种形式：(1)基于DSP 的控制器，其具有电路简单、软件控制、灵活性高等优点．然而，DSP的计算精度以及所存在的反馈延迟限制了电流控制的带宽．虽然通过使用高性能DSP或多处理器技术可以解决带宽限制的问题，但会增加成本．(2)基于FPGA的控制器[6-10]，该方案结合高速AD和FPGA的超高速处理能力，可以实现微秒级别的运算．伺服控制系统从DSP中移植到FPGA中成为现阶段的主要研究方向[10]．然而，对于多自由度机器人，其运动学及动力学计算都很复杂．鉴于现阶段FPGA在处理复杂算法方面的不足，因此通常将DSP作为系统的中央控制器进行高速浮点运算，FPGA主要处理对实时性要求高且算法比较简单的程序．
　　2 7自由度仿人形机械臂及控制系统（7-DoFhumanoid manipulator and its control sys-tem）
　　本文研究的仿人形机械臂具有7个自由度，关节采用无刷直流电机加谐波减速器的结构，整个臂长度为0.65 m（从关节1的轴心到球拍中心），质量为5.9 kg，其外形如图1所示．机械臂控制系统采用kd m bτm图1 机械臂和柔性关节模型Fig.1 Manipulator and model of a flexible jointDSP/Intel CoreĊ+ FPGA    LVDS  图2 机械臂控制系统框图Fig.2 Diagram of the manipulator control systemDSP+FPGA的结构，如图2所示，在关节层采用FPGA完成关节的具体控制方法；在笛卡儿层采用DSP实现机械臂的运动学、动力学及轨迹规划等．该机械臂关节中集成了多种传感器，包括位置传感器、电流传感器和力矩传感器等．其中位置传感器包括检测连杆位置的电位计和检测电机位置的增量式磁编码器．由于存在电位计检测精度较低、增量式编码器只能检测相对位置的问题，本文采用电位计和磁编码器位置融合技术检测电机的位置[11]．电流传感器检测电机的a、c相电流，通过两路并行处理的AD芯片将信号传给FPGA用以实现电机的电流矢量控制；基于应变式原理的轮辐式力矩传感器安装在关节输出端检测关节输出力，用于实现力的闭环控制．机械臂采用DSP+FPGA的分层控制结构形式，能很好地满足多自由度机器人实时控制的需求．另外，考虑到减少走线的要求，本文采用了多点低压差分信号（M-LVDS）的点到多点的传输方式，参见文[12]，笛卡儿层和关节层的传输周期最小可以达到200ms．
　　3 柔性关节模型及控制策略（Model andcontrol strategy of the flexible joint）
　　3.1 柔性关节模型
　　根据Spong的假设[13]，柔性关节可以看作由电机和连杆以及连接它们的弹簧阻尼系统组成，柔性关节模型如图1所示，其方程如下：M(q)¨ q+C(q; ˙ q) +g(q) =t+DDKK¡1˙ t+text(1)B¨q+t+DDKK¡1˙ t=tm¡tf(2)t=K(q¡q) (3)式中，q2Rn、q2Rn分别代表连杆和电机位置，M(q)2Rn£n、C(q; ˙ q)˙ q和g(q)2Rn分别表示连杆惯性矩阵、离心力科氏力和重力，t;tm;tf;text 2Rn分别代表关节力矩、电机输出力矩、摩擦力矩和外力矩；K=diag(ki)2Rn£n为刚度矩阵，D=diag(di)2Rn£n为阻尼矩阵，B=diag(bi)2Rn£n为电机的惯性矩阵，n为机器人自由度数．由柔性关节模型知，电机的转动惯量B越小，弹簧的刚度系数K越大，关节模型越接近刚性关节模型．当关节谐波减速器的减速比为h时，为了使电机角度q和连杆角度q具有相同的变化范围，式(2)中参数进行如下修改：B=h2B0，tm=hh tt0m，tf =hh tt0f．其中B0、t0m、t0f分别代表实际的电机转动惯量、电机输出力矩和摩擦力矩．
　　3.2 无源性理论在机器人中的应用首先，根据无源性理论给出无源系统的一个充分条件．对于由状态模型定义的动力学系统：˙ x=f(x;u)y=h(x;u) (4)若存在一个连续可微的存储函数V(x)，且V(x)有下界，满足：uTy>˙V=¶V¶xf(x;u); 8f(x;u)2Rn£Rp(5)其中状态变量和输入变量的维数分别为n和p，则系统(4)为无源系统．众多学者采用无源性理论方法研究柔性关节机器人，并给出了完整的稳定性证明[10-12]．为了引出本文设计的柔性关节控制器，首先对前人的工作进行简单的回顾．文[3]中给出了无源控制的控制律：tm=BBBB¡1qu+ (I¡BBBB¡1q)t+(DDKK¡1¡BBBB¡1qDsK¡1)˙ t (6)式中，u为中间变量，Bq =diag(bqi)且bqi <bi 为名义电机转动惯量，Ds 为力矩反馈的增益矩阵．将式(6)代入式(2)得到新的电机层的动力学方程：Bq¨q+t+DsK¡1˙ t=u¡BqB¡1tf(7)与式(2)比较知，式(7)中电机的转动惯量减小了，并且摩擦力tf 对系统的影响也降低了．本文主要研究柔性关节的控制，从上面分析可以看出，该控制方法已经降低摩擦力对系统影响，在实际应用中，摩擦力可以作为前馈补偿项进一步减少其对系统影响．当机器人在自由空间运动时，所受的外力矩为0．因此忽略外力和摩擦的影响，令ta=t+DDKK¡1˙ t，选择存储函数[4-5]：Sq(q; ˙ q) =12˙ qTM(q)˙ q+Vg(q) (8)Sq(q;q;˙q) =12˙qTBq˙q+12(q¡q)TK(q¡q)+12(q¡qd)TKq(q¡qd)¡V¯ g(q) (9)以及中间变量u=¡Kq(q¡qd)¡Dq˙q+¯ g(q)，其中V¯ g(q)为关节角度q坐标下的重力势能项，V¯ g(q)、¯ g(q)分别为q角度下对应的重力势能和重力项．在平衡位置，¯ g(q) =g(q)．对式(8)、(9)微分得到：˙Sq(q; ˙ q) =˙ qTta˙Sq(q;q;˙q) =¡˙qDq˙q¡˙ qTta由给出的系统无源条件知关节层和电机层的动力学系统都是无源的，映射关系分别为：ta!˙ q和˙ q! ¡ta．两个无源系统的反馈连接仍是无源系统，则柔性关节系统为无源系统．由文[13]分析知，整个系统的存储函数V(q; ˙ q;q;˙q) =S(q; ˙ q) +Sq(q;q;˙q) (10)为正定的，且˙V(q; ˙ q;q;˙q) =¡˙qDq˙q60，则系统在原点渐近稳定．
　　3.3 柔性关节控制器
　　在轨迹跟踪中的应用上述无源性分析主要针对机器人实现点到点运动的问题，在轨迹跟踪问题中，关节的期望位置和速度以及加速度往往不为0．为了提高机器人的轨迹跟踪性能，需要在控制器中考虑期望速度和加速度的影响，假设外力矩text =0，选择控制律：8><>:u=¡Kq˜q¡Dq(q)˙˜q+uffuff =Bq¨qd+tadtad =M(qd)¨ qd+C(qd; ˙ qd)˙ qd+g(qd)Kqd+D˙qd=KKqqd+D˙ qd+tad˜q=q¡qd(11)合并得到：u=¡Kq˜q1¡Dq˙˜q1+Bq¨ qd+tad+tadf(12)式中，tadf =Bqs2+Dqs+KqK+DDstad，˜q1=q¡qd，q为电机实际位置，qd 为期望的连杆位置．当关节为刚性关节即K为无穷大时，式(12)中最后一项值接近0，将式(12)最后一项定义为关节柔性的干扰项．通过定义：t0ad=Bq¨ qd+tad+tadf(13)得到关节中间变量的一般表达式：u=¡Kq˜q1¡Dq˙˜q1+t0ad(14)将u代入控制律表达式(6)得到电机输出力矩：tm=BBBB¡1q(¡Kq˜q1¡Dq˙˜q1) +t0ad+(BBBB¡1q¡1)(t0ad¡t) + (D¡DsBBBB¡1q)K¡1˙ t (15)式(15)中t0ad为非线性项，实际应用时在DSP中计算，其余线性项可以在FPGA中计算．式(15)改写为状态反馈控制器形式：tm=¡KP˜q1¡KD˙˜q1+t0ad+KT(t0ad¡t) +KS˙ t (16)式中，KP=BBBB¡1qKq，KD=BBBB¡1qDq，KT=BBBB¡1q¡1，KS= (D¡DsBBBB¡1q)K¡1．该控制方法的稳定性证明26 机 器 人 2013年1月sKv(1+sTv)qdqd....qdqd.θ.τθττdτmτpreτadqdKPKT′KS图3 柔性关节控制器Fig.3 Controller of a flexible joint可以见文[3]．与文[3]中式(4)比较，本文主要在以下方面进行改进：(1) 在文[3]，˜q 中的qd 计算涉及到动力学项tad，而本文控制器采用的˜q1 中的参数可以直接获得，避免了动力学计算，便于在FPGA中实现．(2)文[3]中式(4)没有考虑关节动力学中的惯性力和科氏力，本文给出了动力学的完整表达式，并考虑到由关节柔性引起的动力学变化．虽然t0ad的表达式较复杂，但可以通过仿真分析提取t0ad中的主要作用项，忽略次要项，在不影响性能的情况下降低了计算量．对式(16)中的t0ad合并得到：tm=¡KP˜q1¡KD˙˜q1+t+KT0(t0ad¡t) +KS˙ t (17)式中，KT0 =BBBB¡1q．柔性关节控制器框图如图3所示．在实际应用中，虚线框内的计算由DSP实现，点划线框内计算由FPGA实现．位置PD控制变为外环位置P控制和内环速度的PI控制，提高了系统的响应能力，如图3所示，其中Kv 和Tv 分别为PI控制的参数，且KP=Kv，KD=KvTv．tpre 为前馈补偿（如摩擦补偿），td 为力矩干扰．
　　3.4 关节控制器仿真
　　在Simulink仿真环境中借助SimMechanics工具箱，建立图4所示的单个柔性关节模型，电机和连杆由旋转关节表示，电机转子的转动惯量参数由电机资料提供，连杆参数通过Pro/E模型获得．电机的驱动力由反馈控制律直接给定，连杆的驱动力由电机和连杆之间的弹簧阻尼系统耦合作用产生，即式(1)中的t+DK¡1˙ t．由于SimMechanics中没有给出关节力矩t的检测模块，关节力矩t由式(3)通过检测电机和连杆的位置得到．柔性关节模型的输出量为电机位置、电机转速、关节力矩、关节力矩的微分和连杆位置．关节控制器的仿真模型如图5所示，控制器的输入包括关节力矩t（tor），关节力矩微分˙ t（dtor），电机位置q以及电机速度˙q（w）．关节期望位置由Paul规划（即4-2-4规划）给出期望位置（qd）、期望速度（wd）以及期望加速度（ad）．选取关节参数K=21900 N/m，D=9.62 N¢m¢s/rad，B=0.55 kg¢m2，M=0.441 kg¢m2，关节质心位置选择在距离关节1轴心0.3 m处．ap32CS1rotormotormotoractuatorjointactuatorjoint sensorB11F1linkBB F B F1torque+−apavθθmotor sensorqjoint toquetordtorspring and damper1sensors图4 柔性关节仿真模型Fig.4 Simulation model of a flexible joint控制器参数选择如下：BB¡1q=3，Kq =4 000，Dq =270，Ds =D，仿真波形如图6所示．图(a)为考虑关节柔性干扰项的跟踪曲线，整个运动过程历时0.3 s，其中开始的加速和结束的减速时间都为0.05 s，中间段为匀速过程，匀速过程速度为¡5:2 rad/s，图(b)、(c)、(d)分别为位置误差曲线、关节力矩t曲线和关节力矩微分˙ t曲线．点划线代表PD控制，虚线代表忽略关节柔性干扰项的控制，实线代表考虑关节柔性干扰项的控制．从图6可以看出，PD控制力矩抖动最大且无法消除静态误差，但其位置跟踪的收敛速度最快；无源性控制方法有效抑制了力矩的波动，减小了静态误差，但在加减速的过程中位置跟踪误差比PD控制大，柔性干扰项有利于减小位置跟踪误差和力矩波动．仿真发现柔性干扰项中的二次微分项对关节第35卷第1期 张奇，等：基于无源性理论的柔性关节控制器设计 27CS1F1B1Btorquesensorsqdwdadclockclock2trajectory generation 2 controller2tordtorθwqdwdadtorquesaturationtor2scope63dtorqerr1+−link2EnvEnvground4ground5flexible joint model2 environment5environment4machinemachinescope7图5 柔性关节控制器仿真模型Fig.5 Simulation model of the flexible joint controller0 0.2 0.4 0.6−1.5−1−0.5   0 0.2 0.4 0.6−0.02−0.0100.01   0 0.2 0.4 0.6−200−1000100200  0 0.2 0.4 0.6−2−1012×104   图6 PD控制和无源控制仿真性能比较Fig.6 Simulation performance of PD versus passivity-based control控制性能的提高不明显，该项会引入较大的电机输出力矩波动，在实际应用中不利于电流的跟踪．忽略柔性干扰项中的二次微分项，t0ad如式(18)所示，最后一项通过对tad 滤波得到．t0ad=Bq¨ qd+tad+Dqs+KqK+Dstad(18)
　　4 实验和结果（Experiment and results）
　　4.1 关节控制器设计
　　基于FPGA的关节控制器通过M-LVDS点到多点的传输方式获得基于DSP中央控制器的期望速度、力矩前馈等，并将底层的位置、速度、力矩等信息反馈给DSP中央控制器用于实时的控制参数修正．关节控制器使用Altera的Cyclone III系列FPGA的EP3C25F256I7，利用软硬件程序设计各自的优势，设计如图7所示的关节控制系统．NIOS II处理器与应用IP核通过Avalon数据总线通信，NIOS II处理器将电流控制的控制命令传给应用IP核，如：期望电流项iqd 电流控制的前馈量uqpre;udpre 以及PI的控制参数kp;ki;kc 等；应用IP将传感器采集的数据以及电流控制的状态变量传输给NIOS II完成关28 机 器 人 2013年1月SOPCMA/DTATB TATBA,B,ZiaicA/DmodelpotpotA/DRxdRamCRCNRZITxdNRZICRCRAMDMA.Avalon data busPLD NIOS PLDMosfetPWMclk_ 50 MhzMLVDSdrive chipRxdRxdenTxdTxdenvectorcontrolm_encode, id, iq, pot, τ, τ, wriqduqpreudprekpkikciaicidiqM1M2ibwdwrM/TsKv(1+sTv)torque processτpre,wd,τad,KT,KS,modeττadτpreτ+−++++−KTKS+−+.DSG图7 关节控制器结构Fig.7 Structure of the joint controller节控制以及对电流控制的监控，例如：电机电流ia;ib;ic 和id;iq，计算速度所需要的脉冲数M（M1）和时间T（M2），以及电位计值pot和磁编码器脉冲数mencode等．此外，关节控制器可以通过从上层控制器传输变量mode实现不同的控制方式，即决定关节控制器由FPGA完成还是由DSP完成．FPGA处理器由NIOS II处理器和自定义功能模块两部分组成．NIOS II处理器主要用于实现式(17)中的速度控制、力矩控制、数据处理等功能；而自定义功能模块完成关节的电流矢量控制、传感器数据的采集处理以及通信等功能．关节端力矩传感器数据由A/D模块采集后送到NIOS II处理器中进行处理．在离线条件下对力矩传感器进行标定得到力矩传感器数据和实际关节力矩的关系．根据上述关系，NIOS II处理器将采集的传感器数据校准为真实的力矩值，并利用近似微分算法得到关节力矩的导数[14]．电机的位置由集成在矢量控制模块中的磁编码器模块获得，该模块还用于记录MT法测速中的脉冲数M和时间T，并送到NIOS II处理器计算转速wr，避免了采用VHDL语言编写除法运算的过程．在静止坐标系中，无刷直流电机的数学模型是一个时变、非线性、强耦合的多变量系统，对磁场和电流控制十分困难．在dq旋转坐标系下，借助电机矢量控制技术，可以实现电压、电流和磁势等变量的解耦控制．本文采用id =0的矢量控制方法，通过控制iq 间接地控制电机的输出力矩[15]．电机矢量控制采用VHDL硬件编程的方法以提高电流控制的带宽，电流控制周期为50ms[7-8]．电机矢量控制的结构如图8所示．矢量控制被划分为5个模块，采用状态机机制实现对各模块的开关．5个模块分别为：电流采集和位置获取模块（ads7863 &mencode& sincos）、静止坐标系到旋转坐标系转换模块（abcto dq）、反积分饱和的PI控制模块（PI）、旋转坐标系到静止坐标系转换模块（dqto abc）以及空间矢量脉宽调制模块（SVPWM）．各模块由Si触发，由Ei 结束，i =1;¢ ¢ ¢;5．
　　4.2 实验和数据分析
　　为了验证无源控制的优越性和DSP+FPGA硬件结构的合理性，进行了以下两个实验：(1)无源控制和PD控制性能比较实验；(2)分别采用FPGA和DSP作为关节控制器的性能比较实验．第35卷第1期 张奇，等：基于无源性理论的柔性关节控制器设计 29Wait0S1=1Wait1 S2=1Wait2S3=1Wait3 S4=1 Wait4 S5=1Wait5End=1ResetStart=1E1=1E2=1E3=1 E4=1E5=1EnVector_crlSVPWMads7863dq_to_abcm_encodeidref=0iqrefuqpreudpreidiquaubuciaibicθvector_ctrl124 5StartEnd3S3 S4 S2S5 S1 E3 E4 E2 E1 E5sin_cosvector_archabc_to_dququdiaicAD_controlAD_clkABZpwm1pwm6vectorĂ图8 矢量控制模块结构框图Fig.8 Architecture of vector control module0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0−2−10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0−2−101   0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0−4−20  d 图9 无源性控制方法的跟踪性能Fig.9 Tracking performance of the proposed passivity control
　　4.2.1 无源控制和PD控制性能比较在其他关节保持在初始位置情况下，对机械臂关节1控制，关节1参数与仿真时的关节数据一致，控制器参数选择如下：BB¡1q=4，KP =6000，KD=80，KT=4，KS=0:02．PD控制器参数设置为KP=6000，KD=80．图9为采用无源控制的跟踪曲线，在0.05 s内关节从静止加速到1.35 rad/s，然后匀速运动1 s，最后0.05 s减速到达水平位置，规划采用加速度连续的Paul规划方法．从图9可以看到，从加速过程到匀速过程，速度波动较大，在匀速运动过程中位置和速度的跟踪效果较好．从图9中的电流跟踪曲线看出，q轴电流很好地跟踪期望电流且d轴电流保持为0左右，实现了对dq轴的电流解耦控制，且电流控制的带宽为无源控制带宽的4倍，保证了关节电机成为近似力矩源的条件．无源控制器与PD控制器性能比较如图10所示，其中点划线为传统PD控制得到的跟踪曲线，实线为本文的无源性控制方法曲线．采用无源性控制方法虽然在加减速过程中位置和速度误差比传统的PD控制要略大，但在匀速阶段，该方法的位置和速度误差较小．从力矩和力矩微分曲线可以看到，PD控制的力矩抖动较大，在匀速时力矩收敛速度慢，而无源控制可以有效地抑制30 机 器 人 2013年1月图10 无源性控制方法和PD控制的性能比较Fig.10 Performance of the proposed passivity control versus PD control0 0.5 1 1.5−10−505 /rad0 0.5 1 1.5−0.200.20.4 /(rad/s)0 0.5 1 1.5−15−10−50 图11 关节控制器在DSP和FPGA中实现的性能比较Fig.11 Performances of the controller implemented in DSP versus FPGA力矩的抖动，使其在位置稳定时快速地收敛．实验结果和仿真结果类似，表明了用仿真指导的控制器设计是合理的．
　　4.2.2 控制器结构对整个机械臂控制性能的影响对于多自由度机械臂的控制，不可避免地需要引入复杂的运动学、动力学和轨迹规划等算法的计算．传统的控制器采用集中控制方式，将关节控制器集成在DSP中．然而，随着关节自由度数目的增加，计算量增加，以本文使用的7自由度机械臂为例，在DSP中一次计算耗时将近1 ms．由文[16]知，当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的数据信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可能使系统失去稳定性．关节控制器的控制周期变成1 ms后，按照原来的参数实验发现，整个机械臂系统失去稳定性，修改控制器的参数为BB¡1q=4，KP=2000，KD=80=3，KT=4=3，KS =0:02=3．位置误差、速度误差、关节力矩及其微分曲线如图11所示，其中实线代表关节控制器在FPGA中实现的跟踪曲线，点划线代表关节控制器在DSP中实现的跟踪曲线．实验表明：采用FPGA作为关节控制器是合理的，适合在多自由度机器人中应用．
　　5 结论（Conclusions）
　　本文基于无源性理论设计了一种适用于多自由度机器人控制的柔性关节控制器并将其应用于7自由度机械臂中．控制器中的线性部分和非线性部分分别在FPGA和DSP中实现，减轻了DSP的计算第35卷第1期 张奇，等：基于无源性理论的柔性关节控制器设计 31负担．利用FPGA实现关节控制避免了关节间的耦合问题，减小了信号传输到控制器的延迟，并提高了系统响应性能．本文给出了动力学的完整表达式，并考虑了由关节柔性引起的动力学变化，然后通过Simulink对关节控制器进行仿真，忽略对实际应用不利的高次项，得到更加有利于实际应用的控制律．在关节控制律中，采用˜q1 代替˜q，避免了在FPGA中对动力学的计算．采用硬件编程语言实现的电机矢量控制很好地完成了电机id =0的矢量控制，保证了电机输出力矩的有效实现．与传统的PD控制器进行了比较实验，结果表明，对柔性关节采用无源控制具有力矩抖动小、力矩收敛速度快、稳态精度高等优点．该控制器的实现为以后完成整个手臂的阻抗控制和关节辨识等奠定了基础，但关节在加减速过程中的跟踪误差较大仍是亟需解决的问题．
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