摘 要：设计了一种由气动肌肉群驱动的三轴球关节机器人，并对其进行逆运动学分析．根据该机器人的运动学逆解，提出了基于非线性反馈的气动肌肉群控制策略．气动肌肉系统是一个强非线性时变的自平衡系统，鉴于传统控制方法难以克服控制精度、响应速度和稳定性之间的矛盾，引入改进型无模型自适应控制器．实验证明，在保证稳定性的前提下，控制器提高了系统的调节速度和控制精度，使得系统的稳态误差小于0.3±，取得了良好的控制效果．
关键词：气动肌肉；逆运动学分析；群控策略；无模型自适应控制
Model-Free Adaptive Control for the Ball-Joint Robot Driven by PMA Group
Abstract:A triaxial ball-joint robot driven by PMA (pneumatic muscle actuator) group is designed. The inverse kinematicsof the robot is analyzed. On the basis of its inverse kinematics analysis, the control strategy of the PMA group based onnonlinear feedback is proposed. The system of PMA is a strongly nonlinear and time-varying self-balanced system. Becauseit is difficult to overcome the conflict among the regulating speed, the stability and the control accuracy with traditionalcontrol methods, an improved model-free adaptive control is introduced. Experiments show that on the premise of ensuringthe stability, the control accuracy and the adjusting speed are enhanced. The system’s steady-error is less than 0.3±and asatisfactory control result is obtained.
Keywords:PMA (pneumatic muscle actuator); inverse kinematics analysis; group control strategy; MFAC (model freeadaptive control)
　　1 引言（Introduction）
　　气动肌肉（PMA）是一种仿生驱动器．它的“力–收缩”特性与人类肌肉非常类似，具有柔顺性好、输出力与重量比大等特点，其收缩率大约在25%～30%之间，PMA通常被用于仿生机器人的关节驱动[1]．PMA的种类非常多，但无论哪种PMA，它们在结构上都有一个共同的特点，那就是：在内部具有一个密闭的充气容腔，外部有斜拉的编织网纤维．当内部的密闭容腔充气膨胀后，由于受到外部编织网的束缚，其径向膨胀力转化为轴向收缩力．本文使用自行研制的PMA，该PMA与McKibben型气动肌肉类似，由内层乳胶管、外层编织网及两端的接头构成．如同生物肌肉一样，PMA是一种只提供单向收缩力的驱动器，因此需要一对或者多支对拉的PMA组成的双向运动的关节[2]．对于单支PMA的位置控制，文[3-4] 使用自组织模糊PID控制、基于CMAC（小脑模型关节控制器）的变结构控制，位置精度达到0.3 mm．对于PMA对拉关节的控制方法，文[5]采用基于混合灵敏度进行频率整形的H¥控制，获得0.5±的跟踪误差．PMA的“力–位移–气压”曲线具有较强的非线性，其构成的关节系统存在迟滞、耦合、死区、增益时变等非线性因素，常规控制器不能满足高精度的控制要求[5]．由于单支PMA的输出力有限，本文设计了一种由PMA群驱动的万向球关节机器人，该机器人具有3个自由度，即：外展、内收，前屈、后伸，及内旋、外旋．机器人由支架、万向球轴承、16支PMA、陀螺仪及多支柔索组成．万向球轴承约束了机器人的平移运动，使得机器人只能做空间的3轴转动，其姿态由改变PMA的内部压力来控制．无模型自适应控制器（MFAC）是指控制器的设计仅利用被控对象的输入输出数据，控制器中不包含被控对象数学模型的任何信息．其基本思想是利用一个新引入的伪梯度向量（或伪雅可比矩阵和伪阶数的概念），在被控系统运行轨迹点上用一系列的动态线性化模型来替代一般的非线性系统，仅用被控系统的输入输出数据在线估计系统的伪梯度，从而实现非线性系统的无模型自适应控制[6]．本文将无模型控制技术应用到PMA群驱动的球关节机器人控制中，避免了对PMA建立数学模型，取得了良好的控制效果．
　　2 机器人结构与逆运动学分析（Robot struc-ture and inverse kinematics analysis）
　　2.1 机器人结构
　　机器人机构的外形是仿照人肩关节设计的[7]，人体肩关节示意图见图1，机器人结构图见图2．将肩胛冈、冈上窝、冈下窝、外侧缘、下角、肩胛下窝等位置等效为PMA安装盘，用于安装PMA，安装盘与连杆1一端固连，连杆1另一端与万向球关节球套固连，同时，在连杆1的近球套端设置支架，该支架作用与肩胛骨肩峰类似，用于固定功能类似于三角肌的PMA；万向球球体与连杆2固连，连杆2的作用与肱骨相同；在连杆2的上部及中部分别设置功能与大、小结节及三角肌粗隆相似的PMA附着点1、2 3图1 肩关节结构示意图Fig.1 Structure of the shoulder jointPMA安装在PMA安装盘及支架上，通过柔索将动力传递给万向球关节．考虑到PMA的收缩量、输出力与其长度、粗细相关，难以在保证收缩量、输出力的前提下将PMA的尺寸缩小到如同人体肩肌的程度．故将机器人的驱动PMA分为2个PMA群（以下简称肌群）：肌群1中的PMA一端固连于PMA安装盘上，另一端通过相应长度的柔索与连杆2上部的PMA附着点1固连．该肌群中的PMA的功能与人体肩关节中冈上肌、冈下肌、小圆肌、大圆肌、肩胛下肌相同，完成肩关节的外展、内收及内旋、外旋运动；肌群2中的PMA一端固连于支架上，另一端通过相应长度的人工腱与连杆2中部的PMA附着点2固连．该肌群中的PMA的功能则与三角肌类似，完成前屈、后伸运动．PMA2图2 机器人结构图Fig.2 Structure of the robot机器人具有3个陀螺仪，用于检测机器人位姿．3个陀螺仪分别与连杆2固连，陀螺仪轴线两两正交并分别过万向球球心．
　　2.2 符号定义
　　机器人的运动学模型见图3（以单支PMA为例）．GiliAiO KOyxz图3 机器人运动学模型Fig.3 Kinematics model of the robot符号定义如下：KO表示固定坐标系的姿态矩阵，原点O位于万向球转动中心，定义O= [0;0;0]，z轴指向上，满足右手定则，x、y轴的指向如图3所示．Kt为运动坐标系在t 时刻的姿态矩阵．机器人位于初始时刻时，Kt与KO相同．Gi 为柔索i 与PMAi连接点，Ai 为柔索i 与PMA附着点的连接点，li 为柔索矢量，方向由Ai 指向Gi，ROt 为Kt相对于KO的旋转矩阵．带有上标t 的符号为相对于坐标系Kt的描述，i 表示柔索数．第35卷第2期 刘昱，等：气动肌肉群驱动球关节机器人的无模型自适应控制 1312.3 逆运动学分析对于PMAi，可求出Ai、Gi 在t 时刻相对于KO的坐标描述为Ati=KtAOi; Gti=KtGOi(1)设机器人的期望位姿为Ke，同样可求出在Ke坐标系下Ai、Gi 相对于KO的坐标描述为Aei=KeAOi; Gei=KeGOi(2)根据式(1)、(2)可求出机器人从当前位姿运动到期望位姿时，对于PMAi 的收缩量Dli：kDlik=kGei¡Aeik¡°Gti¡Ati°(3)
　　3 群控策略（Group control strategy）
　　3.1 位姿矩阵解算假设3个陀螺仪检测出机器人绕当前旋转轴旋转角度为q1、q2、q3，机器人采用X-Y-Z旋转顺序，则可求出机器人t1 时刻位姿矩阵Kt1：Kt1=KtRtx(q1)Rty(q2)Rtz(q3) (4)令Dt =t1¡t，当Dt 趋近于0时，可以作如下简化，令sinq=q，cosq=1，同时，忽略2阶小量．则可证明，Kt1与变换矩阵R相乘顺序无关．根据式(4)可求出机器人在任意时刻的位姿．
　　3.2 系统开环试验对机器人进行了开环实验，实验结果见图4，图中，3条曲线分别为运动坐标系3轴与固定坐标系对应3轴的夹角．实验条件为：在t =0时刻，对PMA4～PMA10 作充气阶跃，PMA编号定义见图5，充气压力为0.2MPa；在t =5时刻，改变其中某支PMA的压力．其中，图4(a)、4(b)为将PMA4 的压力分别增加至0.3 MPa和0.4 MPa；图4(c)、4(d)为将PMA7的压力分别增加至0.3 MPa和0.4 MPa．由图4不难看出：在0<t <5时段，尽管相同PMA的充气压力相同，但机器人的位姿并不一致，这是由旋转次序的不同造成的，因为对于开环控制而言，不能保证每次PMA的收缩过程均一致；在5<t <10时段，改变机器人中某一支PMA的压力，导致系统与3轴夹角均发生变化，变化量并无规律，且各PMA之间存在耦合．分析图4可看出，本文提出的机器人属于一个多输入三输出系统（输出为三轴旋转角度），与常规的单自由度双PMA对拉的关节机器人不同，不能将角度偏差作为控制器的输入从而靠控制器调节最终运动到期望角度．因此，在对机器人进行控制时，需要引入一种群控策略，合理地给出各支PMA的控制量，从而使机器人能够运动到期望位姿．25201510500 2 4 6 8(a)(b)(c)(d)10time /sdegree/(°)25angle_xangle_yangle_z201510500 2 4 6 8 10time /sdegree/(°)25201510500 2 4 6 8 10time /sdegree/(°)25201510500 2 4 6 8 10time /sdegree/(°)angle_xangle_yangle_zangle_xangle_yangle_zangle_xangle_yangle_z图4 开环实验Fig.4 Open-loop experimentPMA1PMA4PMA2PMA3PMA5PMA6PMA7PMA8PMA9PMA10PMA11PMA12PMA13PMA14PMA15PMA16(a) ᬃᶊ׃㾚⼎ᛣ೒ (b) PMAᅝ㺙ⲬᎺ㾚⼎ᛣ೒图5 PMA编号定义Fig.5 Definition of PMA number132
　　3.3 群控策略假设机器人t 时刻位姿为Kt，对于PMAi，可根据式(1)计算出Ai、Gi 在t 时刻相对于KO的坐标描述Ati 及Gti．同样，可根据式(2)求出Ai、Gi 相对于KO的坐标描述Aei 及Gei ．根据式(3)可求出机器人从当前位姿运动到期望位姿时，对应PMAi 的收缩量Dli．为克服系统响应速度与系统超调间的矛盾[8]，将Dli 利用非线性反馈作非线性变换后作为控制器的输入dfi，见式(5)；同时，根据PMA柔索附着点的位置设置3个控制器．dfi =8<:jDlijbsgn(jDlij); jjDlijj >sjDlij±d1¡b; jjDlijj <s(5)群控策略框图见图6．᥻ࠊ఼j∆li  =  Gei−Aei−  Gt−At∆li    ∆liβsgn(∆li )δ1−βKeKt᥻ࠊ఼iδf jδfi䗚䖤ࡼᄺ䴲㒓ᗻড作Ă图6 群控策略Fig.6 Group control strategy
　　4 改进型无模型自适应控制（The improvedmodel-free adaptive control）
　　4.1 伪梯度向量一般离散时间非线性系统可表示如下：y(k+1) =f¡y(k);y(k¡1);¢ ¢ ¢;y(k¡m);u(k);u(k¡1);¢ ¢ ¢;u(k¡n)¢(6)其中，y(k)、u(k)分别表示系统的输出与输入，m、n分别表示系统阶数．式(6)又称为非线性自回归遍历模型（NARX模型）．在给出泛模型定义之前，先作以下假设[6]：假设1 式(6) 表示的系统输入输出是能控能观的．也就是说，对某一系统一致有界的期望输出信号y¤(k+1)，存在一致有界的控制输入信号，使得系统在此控制输入信号的驱动下其输出等于系统的期望输出．假设2 f(¢)关于系统当前的控制输入信号u(k)的偏导数是连续的．假设3 系统(6)式是广义Lipschitz的，即满足对任意时刻的k和Du(k)6=0，有Dy(k+1)6bDu(k) (7)其中Dy(k+1) =y(k+1)¡y(k)，Du(k) =u(k+1)¡u(k)，b是一个常数．以上的假设并不苛刻．假设1是对受控系统的一条基本假设，保证了系统的可实现性；假设2包括了一大类非线性系统；假设3是对系统输出变化量的一种限制，即有界的输入能量变化产生有界的输出能量变化．因此，可以证明，存在一个f(k)使得式(8)成立：Dy(k+1) =f(k)Du(k) (8)
　　4.2 控制律的导出为了防止过大的控制输入作用而使系统本身遭到破坏，考虑极小化如下的目标函数[6]：minJ(u(k))=¡y¤(k)¡y(k¡1)¢2+l¡u(k)¡u(k¡1)¢2(9)其中，l是惩罚因子，y¤(k)是k时刻的给定值．将式(8)代入式(9)并对u(k)求导，令其等于0，得u(k) =u(k¡1)+rkf(k)l+jf2(k)j¢¡y¤(k)¡y(k¡1)¢(10)其中rk（0<rk<1）是学习步长．控制律式(10)中l的作用有两个：(1)惩罚Du(k)的变化，抑制控制量变化不能太大；(2)避免式(10)中分母可能为0的情况．
　　4.3 特征参数辨识为了抑制估计值的快速变化，使用如下新的准则函数[6]：minJ(f(k)) =¡y¤(k)¡y(k¡1)¡f(k)Du(k)¢2+m¡f(k)¡ˆf(k¡1)¢2(11)其中，y¤(k)表示k时刻系统的输出，m是惩罚因子，同样极小化式(11)，得到：ˆf(k) =ˆf(k¡1) +hkDu(k¡1)m+jDu2(k¡1)j¢¡Dy(k)¡ˆf(k¡1)Du(k¡1)¢2(12)其中，hk 是学习步长．式(10)和(12)构成了无模型自适应控制方案．其控制流程框图如图7所示．
　　4.4 基于群控策略的改进型无模型控制对于式(10)，令：P=rkf(k)l+jf2(k)j; e(k) =y¤(k)¡y(k¡1)则可得：u(k)=u(k¡1) +P¢e(k) (13)由式(13)可看出，无模型自适应控制的控制律与纯P控制有相似之处．为了进一步减小稳态误差，第35卷第2期 刘昱，等：气动肌肉群驱动球关节机器人的无模型自适应控制 133根据PID控制原理，在原有控制律的基础上引入I控制，于是将式(10)改写为u(k) =u(k¡1) +rk1f(k)l1+jf2(k)j¢¡y¤(k)¡y(k¡1)¢+rk2f(k)l2+jf2(k)j¢¡y¤(k¡1)¡y(k¡2)¢(14)同时，将群控策略引入式(14)，令：y¤(k)¡y(k¡1)=dfi(k)y¤(k¡1)¡y(k¡2) =dfi(k¡1)并代入式(14)可得最终控制律式(15)：u(k)=u(k¡1) +rk1f(k)l1+jf2(k)j¢dfi(k)+rk2f(k)l2+jf2(k)j¢dfi(k¡1) (15)由式(5)、(12)、(15)构成最终控制方案，方案框图见图8．2εk⋅∆u(k−1)μ+ ∆u(k−1)z−1ˆ(k) φz−1z−1∆u(k−1)z−1ᇍ䈵z−1y(k−1)ˆ2ˆ(k)ρkφ⋅(k)φλ+y(k)y*(k)eˆ(k) φ图7 控制流程图Fig.7 Control flow graphMFAC1㕸᥻ㄪ⬹KeKtδfiMFAC2MFAC3u(k)PMAiPMAjĂ图8 控制方案Fig.8 Control strategy
　　5 实验研究（Experimental research）
　　5.1 实验系统实验系统框图见图9．机器人系统共有16支自制PMA；控制PMA的比例阀选择日本SMC公司生产的ITV0050，最大输出压力为0.9 MPa；陀螺仪型号为LCG50，量程为§250±/s．ITV0050supplyPMA2PMA n−1PMA1PMA npnpn−1p2p1LCG50Ă图9 试验系统Fig.9 Experimental system
　　5.2 实验结果及分析
　　针对如图2所示的机器人系统，分别采用改进型无模型控制器和PID控制器使机器人运动到如下两个位姿，其阶跃响应曲线如图10所示，具体控制参数见表1．位姿1：与三轴夹角均为10±．位姿2：与三轴夹角均为30±．表1 控制参数表Tab.1 Control parameters名称 数值 说明b 1.5非线性反馈s 0.01h 0.1控制器1m 0.02r10.0025l11r20.0036l21.1h 0.1控制器2m 0.018r10.0023l11r20.0026l21.1h 0.15控制器3m 0.033r10.002l11.5r20.0038l21.2对比分析图10中的响应曲线，在改进型无模型控制下的系统稳态误差小于0.3±，平均过渡时间为1.1s；而PID控制下的系统稳态误差为0.7±；平均过渡时间为1.3 s．相较于PID控制，采用改进型无模型控制的系统阶跃响应，稳态误差减小了57%，响134 机 器 人 2013年3月应时间缩短了15%．30MFACPIDdesired252015105001 2 3 4 5time /sdegree-x /(°)30252015105001 2 3 4 5time /sdegree-y /(°)30252015105001 2 3 4 5time /sdegree-z /(°)MFACPIDdesiredMFACPIDdesired(a)图10 阶跃响应对比曲线Fig.10 Comparison of step responses
　　6 结论（Conclusion）
　　根据PMA群驱动机器人的运动学逆解，提出基于非线性反馈的PMA群控策略．由于PMA模型较为复杂，而且此种驱动器参数难以准确获得，因此常规的控制算法无法有效地解决控制精度与响应速度的矛盾，而利用改进型无模型自适应控制可有效解决该问题．对比普通PID控制，采用改进型无模型自适应控制器控制PMA取得了较好的控制效果．未来需要进一步完善的工作：改进型无模型控制器是机器人控制系统的核心，由于目前系统的响应速度不够理想，需要进一步寻找合适的伪梯度估计算法提高系统的响应速度．
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