摘要：针对非结构化环境下四足机器人高速高机动性要求，提出一种液压驱动单腿结构模式．面向竖直跳跃运动，建立液压驱动结构模式下单腿二阶段运动学模型和三阶段动力学模型；进行竖直跳跃运动状态分析、单腿整机质心以1.5 m/s速度瞬时起跳的竖直跳跃运动逆解和仿真；并对竖直跳跃运动过程中地面冲击对机体结构的影响、髋关节和膝关节液压缸动作特性和输出力特性及液压设计等进行讨论．同时，考虑单腿竖直跳跃的周期性，应用液压偏置单腿动力学模型，采用PD迭代学习控制算法进行关节轨迹跟踪控制．仿真结果表明轨迹跟踪迅速收敛且鲁棒性好，为后续样机研究提供设计和控制依据．
关键词：液压驱动；单腿；竖直跳跃；迭代学习控制
Motion Analysis and Control of a Single Leg of Hydraulically Actuated Quadruped Robotsduring Vertical Hopping
Abstract:To address the requirements of high speed and mobility for quadruped robots under unstructured environments,a structure model of hydraulically actuated single leg is proposed. For vertical hopping, a two-phase kinematic model anda three-phase dynamic model of a single leg are established under the structure model. After that, the state analysis on thevertical hopping is conducted, and the inverse kinematics solution and the simulation of the hopping are also implementedfor a single leg mass-center’s instant vertical hopping with 1.5 m/s. Then, the ground impact on the body structure, theoperation characteristics and the output force of the hip joint and knee joint’s hydraulic cylinder, as well as the hydraulicsystem design during vertical hopping are discussed. Meanwhile, taking the periodicity of vertical hopping of a single leginto consideration, a PD (proportional-derivative) iterative learning control algorithm is applied to joint trajectory tracking,based on single leg’s dynamic model with hydraulic offset. The simulation results indicate that rapid and robust convergenceis achieved in trajectory tracking using the presented model, which offers the design and control references for the succeedingprototype development.
Keywords:hydraulic actuation; single leg; vertical hopping; iterative learning control
　　1 引言（Introduction）
　　四足机器人凭借其离散式的地面支撑对复杂超高障碍物、超距沟渠、陡峭山地、泥泞沼泽和沙漠等非结构化环境具有极强的适应性．随着四足机器人在星际探测、矿山采掘、抢险救灾和军事侦察与反恐等领域表现出越来越强的优势，人们对四足机器人速度和机动性等提出了越来越高的要求[1]．机器人腿部关节驱动系统是实现四足机器人高速高机动性的重要单元．传统的电机驱动方式虽然实现了机器人的动态运动，但面对高速高机动性要求仍需要大力矩、高增益的微小型电机驱动系统，且电机自身的质量结构布置以及传动链配置等亦带来了机器人整机质心分布的不均衡、复杂度高、能量效率低等缺点[2]；新型的形状记忆合金（SMA）、压电陶瓷（PZT）和气动人工肌肉（PMA）等人工肌肉驱动的研究虽可实现接近生物肌肉特性的仿生驱动，但亦存在响应速度慢、成本高、驱动能量密度小和高精度控制困难等缺点[3-4]．而伺服液压驱动作为 一种高能量密度、高负载能力的驱动方式，是解决四足机器人高速高机动性高动态问题的有效研究方法之一[5]．
　　2004年和2008年，美国波士顿动力公司研制了两代四足式机器人BigDog[6]；2008年，韩国工业技术研究院开发了液压驱动四足机器人qRT-1及其试验平台qRT-2[7]；2010年，意大利理工学院研制了电液驱动四足式机器人HyQ[8]；在双足机器人领域，瑞典梅拉达伦大学和美国波士顿动力公司等亦分别开发了液压驱动双足跑步机器人Dasher[9]和Petman[10]．国内的山东大学[11]、南京航空航天大学[12]等亦开展了液压驱动四足机器人研究．但以上样机平台的开发较多地从全刚性整机的角度对四足机器人进行设计研究，且仅可实现运动激烈程度较小的步行和对角步态，而对于广泛应用于非结构化特殊环境的奔跑步态和跳跃步态以及与其相对应的高速四足单腿部件、高柔性四足机体部件、整机部件刚柔运动协调和整机部件环境高速感知等研究较少．多自由度机器人单腿作为重要的四足基础运动部件，对实现四足机器人复杂、高效、多变运动具有关键作用，而竖直跳跃运动作为快速动态运动的重要基础运动亦是基本的仿生运动原型，因此，以多自由度四足机器人单腿为研究对象，开展快速跳跃动态运动研究对实现非机构化特殊环境下四足机器人高速高机动高动态运动具有重要的研究价值．本文提出一种液压驱动四足机器人单腿结构模式，建立液压驱动结构模式下单腿二阶段运动学模型和三阶段动力学模型，并进行竖直跳跃运动状态分析、逆解和仿真；应用液压偏置单腿动力学模型，进行竖直跳跃关节轨迹跟踪控制，为后续样机研究提供设计和控制依据．
　　2 液压驱动结构模式单腿运动模型（Motionmodel of the single leg with hydraulicallyactuated structure）
　　2.1 单腿运动学模型
　　根据足尖是否脱离地面，单腿竖直跳跃运动可分为触地阶段和腾空阶段两部分，采用D-H法对触地阶段和腾空阶段液压驱动四足机器人单腿进行运动分析，建立运动模型．在如图1(a)所示的触地阶段中，以触地点Os 为原点，建立坐标系XsOsZs，可得出躯体质心2点的运动特性，如式(1)所示．在图1(b)所示的腾空阶段中，以躯体质心Of 为原点，建立坐标系XfOfZf，可得出足尖2点的运动特性，如式(2)所示．ZsZfOfXfXsOs12l2sq2sq1sl1sl1fl2fq1fq2f12 图1 触地阶段及腾空阶段机构模型及坐标系Fig.1 Mechanism model and coordinate systemat the stance phase and the flight phase8<:xs0=0zs0=0(1)8<:xs1=ls1£cosqs1zs1=ls1£sinqs1(2)8<:xs2=ls1£cosqs1¡ls2£cos(qs1+qs2)zs2=ls1£sinqs1¡ls2£sin(qs1+qs2)8<:xf0=0zf0=08<:xf1=lf1£sinqf1zf1=¡lf1£cosqf1(3)8<:xf2=lf1£sinqf1+lf2£sin(qf1¡qf2)zf2=¡lf1£cosqf1¡lf2£cos(qf1¡qf2)
　　2.2 单腿动力学模型根据单腿竖直跳跃特点，分腾空、落地冲击和触地3个阶段建立动力学模型．
　　2.2.1 腾空阶段考虑液压驱动结构模式下的质心偏移，建立液压驱动单腿动力学机构模型，如图2所示．第35卷第2期 张雪峰，等：液压驱动四足机器人单腿竖直跳跃运动分析与控制 137m1l2m2Ffq2fOfZfXfq1flc2flc1fl1fr1fr2f图2 腾空阶段动力学分析机构模型Fig.2 Mechanism model for dynamic analysisat the flight phase大腿和小腿的质心偏移角度分别为rf1 和rf2，其质量分别为m1 和m2，质心分别为lfc1 和lfc2，转动惯量分别为Jf1和Jf2．广义坐标矢量qf= [qf1;qf2;xfF;zfF]T．髋关节和膝关节驱动扭矩tf1 和tf2 可表示为24tf1tf235=24Mf11Mf12Mf21Mf223524¨ q1¨ q235+Cf(q; ˙ q)24˙ q1˙ q235+Gf(q) (4)其中：Mf11=m1(lfc1)2+m2¡(lf1)2+(lfc2)2+2lf1lfc2cos(qf2+rf2)¢+Jf1+Jf2Mf12=Mf21=m2¡(Lfc2)2+lf1lfc2cos(qf2+rf2)¢+Jf2Mf22=m2(lfc2)2+Jf2Cf=264¡˙ qf2m2lf1lfc2sin(qf2+rf2)¡(˙ qf1+˙ qf2)m2lf1¢lfc2sin(qf2+rf2)¡˙ qf1m2lf1lfc2sin(qf2+rf2) 0375Gf=264gm1lfc1sin(qf1+rf1) +gm2lf1sinqf1+gm2lfc2sin(qf1+qf2+rf2)gm2lfc2sin(qf1+qf2+rf2)3752.2.2 落地冲击阶段落地冲击阶段时间极短，可以认为机器人单腿构型参数基本不变[13]，在此基础上，增加广义约束力Gc，则动力学模型为24tc1tc235+Gc=24Mc11Mc12Mc21Mc223524¨ q1¨ q235+Cc(q; ˙ q)24˙ q1˙ q235+Gc(q) (5)其中：Mc11=Mf11，Mc12=Mc21=Mf12，Mc22=Mf22，Cc=Cf，Gc=Gf．落地冲击阶段前后时刻为tc 和tc+Dt，Dt 时间内，广义约束力Gc即为广义冲击力Fc[14]，可表示为8>><>>:Fc=tc+DtwtcGcdt = (Jc)TnJc[Mc]¡1(Jc)To24˙ xF˙ yF35Jc= F375Sc1=xF¡xF0=0Sc2=zF¡zF0=0Dt !0(6)其中，Fc为广义冲击力，Jc为雅可比矩阵，tc 为落地冲击时刻，Dt 为冲击持续时长，Sc1 为落地冲击阶段不发生滑动的约束条件，Sc2 为落地冲击阶段不发生弹动的约束条件，xF0和zF0为地面坐标系内足尖触地位置．
　　2.2.3 触地阶段触地阶段机构分析模型如图3所示，广义坐标系下，大腿质心和小腿质心的偏移角度分别为rs2 和rs1，其质量分别为m2 和m1，其质心分别为lsc2 和lsc1，转动惯量分别为Js2 和Js1，机体质量、位置和转动惯量分别为m3、lsc3 和Js3．关节矢量为qs= [qs0;qs1;qs2]T，髋关节、膝关节和地面力矩分别为ts2、ts1、ts0．12m1m2m3l1r1q0lc1ZsOsXsslc2slc3ssl2ssssq1r2sq2s图3 触地阶段动力学分析机构模型Fig.3 Mechanism model for dynamic analysisat the stance phase则动力学模型为264ts0ts1ts2375=Ms(q)¨ qi +Cs(q; ˙ q)˙ qi +Gs(q) (7)138 机 器 人 2013年3月触地阶段地面动力约束可表示为[13]8><>:Fsox=3åi=1mi¨ xiFsoz=3åi=1(mi¨ zi +mig)(8)其中，Fsox 和Fsoz 分别为地面对足尖的水平反作用力（摩擦力）和垂直反作用力．
　　3 单腿竖直跳跃运动状态分析（State analy-sis of the single leg vertical hopping）
　　对竖直跳跃运动中的机器人动作做如下约束和假设：机器人竖直跳跃分为触地和腾空两个阶段；机体在竖直跳跃运动过程中保持竖直，机体质心、大腿质心和小腿质心在竖直平面内运动；触地阶段机器人足尖与地面坐标系固定，不发生相对滑动和相对弹动，且整个触地阶段分为触地–屈膝压缩–伸膝爆发3个阶段；腾空阶段机器人以一定的起跳速度竖直跳跃，起跳过程中仅受自身和液压系统重力作用；腾空阶段姿态稳定不发生翻转．机器人竖直跳跃相位转换如图4所示．  图4 单腿竖直跳跃相位转换Fig.4 Phase transition of the single leg vertical hopping在触地阶段中，机器人单腿运动状态变量Q(q;˙ q; ¨ q)及边界条件描述如式(8)所示．8><>:xF=0; ˙ xF=0; zF=0; ˙ zF=0jFoxj 6fsjFozjqs1i=q+i; ˙ qs1i=˙ q+i; ¨ qs1i=¨ q+iqti0=qt1i; ˙ qti0=˙ qt1i; ¨ qti0=¨ qt1i(9)式中，( )F 表示足尖，Fox、Foz 和fs 分别表示地面对足尖的水平反作用力、垂直反作用力和滑动摩擦系数，( )s1、( )t1分别表示触地起始瞬时和触地终了瞬时．腾空阶段机身姿态有姿态保持和姿态恢复两个阶段，其运动状态变量Q(q; ˙ q; ¨ q)及边界条件描述如式(9)所示．8><>:˙ xt2c=v; ˙ zt2c= (zt1c¡zt2c)=tf+gtf=2¨ xs2c=¨ xt2c=0; ¨ zs2c=¨ zt2c=¡gTf =tf2 ¡tf1qi =Ci0+Ci1t +Ci2t2+Ci3t3+Ci4t4+Ci5t5(10)式中，( )c表示机体质心，( )s2、( )t2分别表示腾空起始瞬时和腾空终了瞬时，tf 表示腾空时长，Cij 表示关节角度拟合系数．设计单腿整机质心以1.5 m/s速度瞬时起跳的竖直跳跃运动，利用式(1)和(2)进行运动逆解和坐标变换，得出广义坐标系下髋关节和膝关节角度变化如图5所示．−0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.100.20.40.60.811.2  /rad−0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.100.20.40.60.811.2  /rad图5 单腿竖直跳跃关节角变化Fig.5 Changes in the joint angle of the single legduring vertical hopping图5中0～0.36 s为屈膝压缩蓄能阶段，0.36 s～0.72 s为伸膝爆发阶段，从图中可以看出伸膝爆发阶段膝关节和髋关节变量梯度均发生急剧变化．
　　4 单腿竖直跳跃运动仿真与分析（Motionsimulation and analysis of the single legvertical hopping）
　　根据液压系统布置及腿式机构特点，设计液压驱动样机如图6所示．第35卷第2期 张雪峰，等：液压驱动四足机器人单腿竖直跳跃运动分析与控制 139图6 单腿样机Fig.6 Prototype of the single leg样机由机体、大腿和小腿3部分组成，髋关节和膝关节处各布置一个液压缸，可实现髋关节和膝关节120±范围运动，模型参数如表1所示．表1 模型参数Tab.1 Model parameters质量/kg 转动惯量/(kg¢mm2) 长度/mm机体 50.88 7.18e+005 400大腿 2.08 517.67 340小腿 1.58 177.79 340液压缸 0.12 8.58 200液压杆 0.14 1.92 80图7 单腿竖直跳跃运动仿真Fig.7 Simulation of the single leg vertical hopping图7所示为单腿竖直跳跃运动仿真过程，对应图4竖直跳跃相位转换的屈膝压缩、伸膝爆发、腾空和触地4个阶段，机体质心运动轨迹如图8所示．图9所示为单腿竖直跳跃过程地面反作用力曲线，从图9中可以看出，单腿竖直跳跃过程落地冲击较大，将严重影响整机结构稳定性和二次跳跃，可考虑在结构设计中采用类生物腿刚柔混合设计，以缓解地面冲击，保证整机运动稳定性．图10、11所示为竖直跳跃过程中髋关节液压缸和膝关节液压缸活塞行程变化曲线，从图10和图11可以看出，屈膝压缩阶段髋关节和膝关节液压缸活塞行程曲线梯度先增大后减小，为竖直跳跃做蓄能准备；伸膝爆发阶段髋关节和膝关节液压缸活塞行程曲线梯度急剧增大，且与髋关节液压缸活塞行程曲线相比，膝关节液压缸活塞运动位移波动较大，说明伸膝爆发阶段膝关节液压缸速度急剧变化，为竖直跳跃提供较大的起跳动力，且需要较大的液压缸行程；腾空阶段可分为姿态保持和姿态恢复两个阶段，腾空阶段前期，膝关节和髋关节液压缸活塞位移保持不变，保证腾空阶段机体姿态的稳定性，腾空阶段后期，髋关节和膝关节液压缸完成姿态恢复．图10、11液压缸活塞行程曲线可作为液压伺服阀控制依据．0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2−1000100200300400 图8 机体质心运动轨迹Fig.8 The trajectory of the trunk’s center-of-mass0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2−2400−2000−1600−1200−800−4000400 图9 地面反作用力Fig.9 Ground contact force0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2140150 图10 髋关节液压缸活塞行程Fig.10 Piston stroke of the hip joint cylinder140 机 器 人 2013年3月0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2140160180 图11 膝关节液压缸活塞行程Fig.11 Piston stroke of the knee joint cylinder图12、13所示为竖直跳跃过程中髋关节液压缸和膝关节液压缸作用力输出特性曲线．从图12可以看出，髋关节液压缸作用力在伸膝爆发终了阶段达到峰值900 N，从图13可以看出，膝关节液压缸作用力在屈膝压缩终了即伸膝爆发初始阶段达到峰值4 070 N；综合图12和图13可以看出，髋关节液压缸和膝关节液压缸输出力的峰值时刻不同；膝关节液压缸在伸膝爆发阶段的起跳瞬时起到了较大的作用，以保证瞬时起跳，且输出较大的作用力，而髋关节液压缸在伸膝爆发的终了阶段对腾空状态的无地面支撑机体姿态稳定起到了较大的作用．0.0 0.2 0.4 0.6 0.8−200020040060080010001200 ᯊ Fig.12 Force of the hip joint cylinder0.0 0.2 0.4 0.6 0.8010002000300040005000 图13 膝关节液压缸作用力Fig.13 Force of the knee joint cylinder
　　5 周期跳跃控制（Periodic hopping control）
　　考虑竖直跳跃运动周期性，采用PD迭代学习算法对关节轨迹进行跟踪，迭代学习控制算法控制律如式(10)所示：8><>:M(qe;i)¨ qe;i +C(qe;i; ˙ qe;i)˙ qe;i +G(qe;i) =t¡tduk+1(t) =uk(t) +Kp¡qd(t)¡qk+1(t)¢+Kd¡˙ qd(t)¡˙ qk+1(t)¢qe;i =qd(t) =Ci0+Ci1t +Ci2t2+Ci3t3+Ci4t4+Ci5t5(11)其中，td2Rn为各种误差和扰动，uk+1(t)和uk(t)分别为迭代运算时的控制力矩，qe;i 为期望轨迹，qk 为实际轨迹，Cij 表示关节角度拟合系数，qd(t)¡qk+1(t)和˙ qd(t)¡˙ qk+1(t)分别为关节角度和关节角速度的跟踪误差，Kp 和Kd 分别为控制参数．关节轨迹跟踪曲线如图14所示，误差范数收敛曲线如图15所示，从图15可以看出轨迹跟踪迅速收敛且鲁棒性好．00.511.502040012 e,1, q1 /rad00.511.502040012  /rad图14 关节角度跟踪轨迹Fig.14 Tracking trajectory of the joint angle10 20 30 40 00.0050.010.0150.02
　　6 结论（Conclusions）
　　提出了一种液压驱动四足机器人单腿结构模式．考虑液压系统偏心布置，建立了液压驱动结构第35卷第2期 张雪峰，等：液压驱动四足机器人单腿竖直跳跃运动分析与控制 141模式下二阶段运动学模型和三阶段动力学模型；面向高速高机动性运动的要求，进行了竖直跳跃运动状态分析；完成了单腿整机质心以1.5 m/s速度瞬时起跳的竖直跳跃运动仿真，实现了触地和腾空两个阶段的竖直跳跃；考虑单腿竖直跳跃的周期性，应用液压偏置单腿动力学模型，采用PD迭代学习控制算法进行了关节轨迹跟踪控制．分析及仿真结果表明：机器人单腿膝关节变量梯度和髋关节变量梯度协同突变是实现瞬间起跳的关键；髋关节液压缸和膝关节液压缸输出力的峰值时刻不同，膝关节液压缸输出力在伸膝爆发的瞬时起跳阶段达到峰值，主要为了保证实现瞬时起跳，且较大作用力将会对液压缸结构和油压系统稳定性产生影响；髋关节液压缸输出力在伸膝爆发的终了阶段达到峰值，主要对腾空状态的无地面支撑机体姿态的稳定性起到了较大作用；液压驱动结构模式下，髋关节与膝关节在竖直跳跃过程中的液压缸活塞行程轨迹，可作为样机伺服阀控制依据；PD迭代学习轨迹跟踪迅速收敛且鲁棒性好，为实现周期重复跳跃提供了控制方法．后续研究中，将考虑落地触地阶段地面冲击对机体结构稳定性的影响，进行机器人单腿刚柔复合仿生设计，以实现类生物弹性腿柔性落地；考虑竖直跳跃过程中膝关节液压缸较大的作用力，在后续液压系统设计中需特别注意膝关节液压缸强度校核及油压系统稳定性保障．
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