摘 要 针对欠驱动刚体航天器机动控制问题, 应用广义逆方法设计了姿态机动控制器. 首先将三轴稳定欠驱动航天器动力学和运动学系统分解为三个子系统, 应用微分几何理论将欠驱动航天器子系统转化为逐点线性形式, 并设计了欠驱动航天器子系统渐近稳定控制器, 进一步引入了动态尺度广义逆和摄动零控制向量, 实现了对另外两轴的控制. 设计的广义逆姿态控制器保证了整个系统的渐近稳定性, 达到了控制要求. 数值仿真实验结果表明了所设计控制律的有效性.
关键词 航天器, 欠驱动系统, 姿态机动, 广义逆方法
Generalised Inversion Based Maneuver Attitude Control forUnderactuated Spacecraft
Abstract The methodology based on the concept of generalized inversion is investigated for asymptotic stabilization ofunderactuated rigid body dynamics under two degrees of actuation. Firstly, the underactuated kinematics and dynamicssystem is partitioned into three subsystems, and the underactuated subsystem is transformed as the point-wise linearform by di®erential geometry theory and achieves global realisability. Furthermore, with the introduction of dynamicallyscaled generalized inversion and perturbed null-control vector, a continuous feedback control law is designed to achievethe attitude stabilization of the underactuated spacecraft. Finally, the analytical and simulation results show that theproposed control methodology is e®ective.
Key words Spacecraft, underactuated system, attitude maneuver, generalised inverse methodCitation
　　欠驱动航天器姿态控制已经成为国际上研究的热点, 它是指控制系统部分执行机构如喷气、动量轮等失效而导致其不能提供完整的三轴控制力矩. 研究欠驱动航天器的控制问题, 对于保障整个系统的正常工作, 增加系统的可靠性具有重要的意义, 而且由于采用少于标准数量的执行机构来实现控制目标,欠驱动航天器在减低能耗、减轻系统质量等方面具有较大优势.
　　但欠驱动系统是具有不可积分约束的本质非线性系统, 相比于全驱动航天器姿态控制系统, 研究结果相对较少. 在相关研究中, Crouch[1]首先证明了欠驱动航天器在各种动量转换装置或喷气推力激励下的可控性问题. Byrnes 等[2]证明了由于不满足Brockett能稳条件, 采用光滑定常状态反馈不能使欠驱动航天器达到渐近稳定, 因此仅设计了部分稳定控制器. Horri 等[3]针对该问题, 在假设系统动量矩为零的条件下, 通过Lyapunov方法提出了不连续的状态反馈姿态稳定控制规律. Tsiotras 等[4¡5]在假设欠驱动轴的初始角度为零的条件下, 采用了(w; z) 参数描述航天器姿态运动学方程, 对欠驱动航天器的姿态稳定问题进行了探讨, 并提出了一系列不连续时不变的稳定控制器.
　　进一步, 在考虑三轴初始角速度均不为零的情况下, Coverstone-Carroll 等[6]采用变结构控制方法解决了未考虑欠驱动航天器运动学的全局渐近角速度稳定问题. 同样, Bajodah[7]也只考虑了欠驱动航天器的角速度稳定问题, 提出了奇异摄动反馈线性化和广义逆控制方法, 但稳定性分析较为复杂.Casagrande等[8]针对欠驱动航天器角速度和姿态渐近稳定问题, 提出了时变切换分段控制律, 但是这种方法一旦产生误差, 有可能不满足切换条件, 较易发散, 不利于应用于实际系统中, 并且在仿真中仅考286 自 动 化 学 报 39卷虑了欠驱动轴初始角速度为零的情况. Behal 等[9]采用了反步设计方法, 针对轴对称欠驱动航天器设计了非线性跟踪控制器, 但仅受限于欠驱动轴角速度初值为零的情况. Cheon[10]研究了采用修正罗德里格参数作为姿态描述方式的欠驱动刚体航天器的姿态稳定问题. 张兵等[11]讨论了以非完整配置的单向推力器系统为执行机构的欠驱动刚体航天器姿态角速度的镇定问题, 但未考虑姿态的稳定. Li 等[12]则利用辅助状态变量法, 研究了一个具有指数收敛的光滑非周期时变控制律, 可以把刚体航天器的姿态局部收敛于平衡点. 黄兴宏等[13]在分析欠驱动航天器姿态动力学和运动学方程的特点后, 提出一种简洁的分段解耦控制策略, 通过常规的PD控制律实现了欠驱动航天器的稳定控制. 郑敏捷等[14]也是采用将姿态动力学控制系统和运动学控制系统分开设计的方法, 使用反步控制来实现对失控轴角速度的有效控制, 并证明在失控轴角速度为小量时, 可以将系统控制在平衡点的某一邻域内且其为渐近稳定.但是这种将动力学子系统与运动学子系统进行解耦控制, 存在控制奇点, 难以实现真正意义上的收敛.
　　金磊等[15]研究了仅带两个飞轮的姿态稳定控制, 固连于航天器的视线轴指向任意给定惯性方向, 但是基于线性化模型设计的线性二次型调节器(Linear quadratic regulator, LQR) 的姿态稳定控制器, 具有一定局限性. 王艺等[16]利用中心流形理论的思想推导稳定参数, 使欠驱动航天器进入姿态稳定, 但是参数选取存在问题. 郑彦琴等[17]采用(w; z) 参数描述的姿态运动学方程, 设计了基于退步法的连续时变控制律. 此外, 虽然Siciliano等[18]在开环控制的基础上实现了任意姿态和任意角度的控制, 但开环控制的算法较为复杂, 导致该方法的通用性较为有限.
　　广义逆方法最大的优点是克服了与逆运算相关的矩阵维数和秩的限制, 在解决冗余自由度机器人控制等具有广泛的应用[19¡20], Bajodah[21]最初将此方法应用于三轴稳定航天器姿态控制系统中. 由于此方法控制系统中的冗余是在控制过程中而不是在控制变量中, 可控系统包括欠驱动系统为动态冗余的, 也就是说不考虑执行机构的自由度, 应用广义逆方法可以求得非奇异控制器使可控系统达到稳定,因此可用于解决欠驱动控制问题.
　　本文在此基础上, 对传统的广义逆方法进行了改进, 提出了一种欠驱动航天器姿态机动光滑渐近控制律. 与文献[6¡7, 11]相比, 本文不仅考虑了欠驱动航天器的角速度稳定问题, 还使航天器姿态达到了机动目标; 与文献[4¡5, 9]相比, 本文没有限制航天器失控轴的角速度为零或航天器为轴对称航天器的条件; 与文献[13¡14]相比, 本文未将动力学与运动学子系统进行解耦控制, 而是在设计过程中, 同时考虑了欠驱动航天器的动力学与运动学系统, 并证明了系统李雅普诺夫意义下的全局渐近稳定性.进一步, 考虑了控制力矩的受限问题, 分析得出在力矩受限情况下, 本文设计的控制算法仍然可以保证系统的稳定性. 仿真结果表明, 该控制器能够实现欠驱动航天器的失控轴姿态角速度与姿态四元数的同步收敛, 能够有效地实现欠驱动航天器姿态机动的控制要求, 且系统具有全局渐近稳定性, 具有广泛的应用前景.
　　1 欠驱动航天器系统模型
　　在不考虑外部激励诱发扰动力矩的情况下, 刚体航天器姿态动力学方程可表示为J_ !+!£J!!=M (1)式中, != [!1 !2 !3]T2R3表示航天器本体坐标系b 相对于地心惯性坐标系i 的旋转角速度在b中的分量,对于任意向量³ = [³1³2³3]T2R3,符号³£表示斜对称阵: ³£=2640 ¡³3³2³30 ¡³1¡³2³10375;M= [M1 M2 M3]T2R3表示有执行机构提供的三轴独立控制力矩. 若航天器本体系的三个坐标轴与其主惯量轴一致, 则转动惯量矩阵J= diagfJ1,J2, J3g.采用四元数姿态描述的航天器姿态误差运动学方程为[9]_ qe=12(q£e+qe0I3)!e; _ qe0 =¡12qTe!e(2)其中, ~qe=fqe0; q qeg 2R£R3表示在本体坐标系下期望姿态与当前状态的误差, 假设期望角速度为零,因此, !=!e 即为在本体坐标系下期望角速度与当前角速度的误差. 为了方便, 在后文中, ~qe=fqe0,qeg 2R£R3采用~q =fq0; q qg 2R£R3进行表示.考虑只有两轴独立控制力矩, 不失一般性, 令b1轴为欠驱动轴, 即M1= 0.则方程(1) 和(2) 可以写为_ !=f(!)!+¿ (3)_ q=f(~q)!!; _ q0 =¡12qT! (4)其中, ¿ =J¡1M= [0uT]T2R3, u= [u2u3]T2R2, f(!) =¡J¡1!£J, f(~q) =12(q£+q0I3). 令x= [q0qT!T]T2R7, 则欠驱动航天器系统模型可表示为如下的仿射型非线性系统:_ x=F(x) +g(x)u=f(x)!+gu u (5)3期 黄静等: 基于广义逆的欠驱动航天器姿态机动控制 287
　　为了便于分析欠驱动系统的性质, 将系统(5)分解为三个子系统, 分别为欠驱动子系统、伪驱动运动学子系统和全驱动动力学子系统. 令!= [!u !Ta]T2R3, q= [quqTa]T2R3, 式中欠驱动状态变量xu= [qu !u]T2R2, !u =!1, qu =q1, 驱动角速度!a= [!2 !3]T, 伪驱动误差四元数qa= [q2q3]T,并将矩阵f(!)和f(~q)分别分解为f(!) ="f11(!) f12(!)f21(!) f22(!)#f(~q) ="f11(~q) f12(~q)f21(~q) f22(~q)#(6)式中, f11(!); f11(~q)2R1£1, f12(!); f12(~q)2R1£2,f21(!); f21(~q)2R2£1, f22(!); f22(~q)2R2£2, 则欠驱动子系统分解为_ xu="0 f11(~q)0 f11(!)#xu+"f12(~q)f12(!)#!a(7)伪驱动误差四元数运动学子系统为_ qa= [02£1f21(~q)]xu+f22(~q)!a_ q0 =¡12(qu!u+qTa!a) (8)包含控制向量u的全驱动动力学子系统为_ !a= [02£1f21(!)]xu+f22(!)!a+u (9)
　　2 欠驱动航天器运动学和动力学子系统的稳定控制器
　　设计由于控制器u通过!a 间接控制欠驱动子系统(7), 为了分析欠驱动系统的稳定性, 我们将欠驱动子系统进行坐标转换, 使其在新的转换系统中能够显现. 定义标量函数h(xu) :R2!R满足:h(xu) =!u+¸qu(10)其中, ¸ >0为可调整的标量. 由式(7)»(9) 可得,h(xu) 关于u的相对阶[22]为2. 因此, 欠驱动系统为连续二阶可导的. 一般的转换形式为Äh=&(h;_h; t) (11)h(xu) 沿着欠驱动系统(5) 的一阶和二阶导数分别为_h(xu) = LFh(xu) (12)Äh(xu) =@LFh(xu)@xx_ x=L2Fh(xu) +LgLFh(xu)u (13)其中, LFh(xu), L2Fh(xu) 和LgLFh(xu) 分别表示h(xu) 沿F(x) 和g向量场方向的李导数, 综合式(12)和(13),则式(11)可写成一种逐点线性形式:®T(x)u=¯(x) (14)其中, 控制系数向量®(x)2R2为®(x) = [LgLFh(xu)]T(15)相应的控制负载¯(x)2R为¯(x) =¡L2Fh(xu) +&(h(xu); LFh(xu); t) (16)在本文设计中, 我们选择:&(h;_h; t) =¡a1_h¡a2h; a1; a2 >0 (17)根据劳思判据, 当a1 和a2 为任意正数时, 就得到了一个渐近稳定线性时不变欠驱动系统:Äh+a1_h+a2h= 0 (18)相应的控制负载¯(x)表达式为¯(x) =¡L2Fh(xu)¡a1LFh(xu)¡a2h(xu) (19)所有满足式(14) 的控制量u均可实现对失控轴的稳定控制. 下面对u的可实现性进行分析.定义1.如果对于8~q 2R4£1, !2R3£1存在u满足方程(14), 则称方程(18)为可通过欠驱动系统(3) 和(4) 实现的. 如果对于q6=03£1,!6=03£1满足上述条件, 则称方程(18) 为可通过欠驱动系统(3) 和(4) 全局实现的.性质1.对于欠驱动线性系统(18),如果式(15)可以通过欠驱动航天器系统(3) 和(4) 全局实现, 那么®(x) =02£1 ,h(xu) = 0 (20)性质2[7]. 定义控制系数向量®(x) = 02£1 的非奇异零驱动状态雅克比矩阵J0(x) =@® ®(x)@! !aj!a=0,则欠驱动线性系统(18)通过欠驱动航天器系统全局实现的充要条件为det [J0(x)]6= 0; 8!u6= 0 (21)根据性质2,可以分析欠驱动航天器系统的全局可实现性, 关于反馈线性化转换函数h(xu) 的控制系数®(x)通过方程(15)可以得到:®(x) =264¡12¸q3¡J3¡J2J1!312¸q2¡J3¡J2J1!2375 (22)伴随的非奇异零驱动状态雅克比矩阵的行列式为288 自 动 化 学 报 39卷det[J0(x)] = det"@®®T(x)@!!a¯!a=02£1#=det2640 ¡J3¡J2J1¡J3¡J2J10375(23)根据性质2,很显然, 当(J3¡J2)=J16= 0时,由式(15) 定义的®(x) 满足式(21), 所以方程(18) 是可以通过欠驱动系统(7)»(9) 全局实现的. 从式(22) 还可以看出, 欠驱动轴的控制难度与(J3¡J2)/J1 的绝对值大小有关, (J3¡J2)/J1的绝对值越大, 控制难度越低.注1. 分析可知只要不是转动惯量J2 =J3 的轴对称欠驱动航天器系统, 都是全局可实现的, 文献[1] 也得到了这个结论. 根据文献[1] 的可控性条件分析, 航天器系统为J2 =J3 的轴对称航天器时, 欠驱动轴x轴为不可控的, 因此需要假设欠驱动轴初始角速度为零, 只分析两个可驱动轴的航天器系统以简化控制器设计. 本文主要分析J26=J3 且欠驱动轴x轴的初始角速度不为零的航天器系统的控制器设计问题.定理1. 如果欠驱动动力学方程存在J0(x), 那么可以求得使欠驱动航天器子系统(7) 达到全局渐近稳定的控制律的无限集为u=¹ u+½(x)y (24)其中, ¹ u2R2定义为¹ u=®+(x)¯(x) (25)®+(x) 2R2表示控制系数向量®(x) 的广义逆(Moore-Penrose),即®+(x) =8<:®(x)®T(x)®(x); ® ®(x)6=02£102£1; ® ®(x) =02£1(26)½(x)2R2£2为相应的控制系数向量®(x)的空投影矩阵:½(x) =I2£2¡®+(x)®T(x) (27)y2R2为待确定的零控制向量.证明. 由性质1和性质2可知, 满足条件(21)时, 欠驱动系统(18)可以通过欠驱动航天器系统全局实现, 同时意味着当满足逐点线性关系(14) 时,®(x) 6=02£1. 将方程(24) 两边均乘以®T(x) , 得到:®T(x)u=®T(x)£®+(x)¯(x)½(x)y¤=¯(x) (28)满足方程(14). 因此, 控制器u通过零控制向量y对方程(14)的所有解进行了线性参数化, 可实现对失控轴的稳定控制. ¤控制律(24) 包含两部分, 第一部分¹ u称为特解, 作用于控制系数向量®(x)的广义逆的范围空间中; 第二部分½(x)y称为辅助解, 由控制系数零投影½(x)将零控制向量y投影到控制系数®(x)的零空间, 因此y被称为零控制向量. y的选择不会影响线性系统(18) 的稳定性, 但是, 本质上影响欠驱动航天器系统(3) 和(4) 的全局稳定性. 因此, 下一节将讨论如何设计y, 以保证整个欠驱动航天器姿态控制系统的稳定性.3 欠驱动航天器系统全局稳定控制器设计3.1 动态尺度广义逆由®(x) 的广义逆的定义(26) 可知, 闭环系统的稳定性存在奇异, 为了解决这个问题, 本文引入动态尺度广义逆[7], 以实现渐近稳定广义逆姿态控制.定义®(x)的动态尺度广义逆®+s(x)2R2为®+s(x) =®(x)®T(x)®(x) +k!akpp(29)其中, k!akp为!a 的p-范数, p为正的动态尺度指标. 采用动态尺度广义逆可以使定理1中的控制律变得平滑. 当设计的零控制向量y使系统达到稳定时, 即limt!1k!akp!0,此时®+s(x) =®+(x). 最终, 控制器us 设计为us =®+s(x)¯(x) +½(x)y (30)3.2 零控制向量设计将式(30)代入式(9), 得到闭环欠驱动子系统:_ !a=h02£1f21(!)ixu+f22(!)!a+®+s(x)¯(x) +½(x)y (31)设计零控制向量y为y=½¡1(x)[¡kqqa¡d! !a¡f21(!)!u¡f22(!)!a](32)其中, k, d >0为任意合适的非负常数.由式(27) 可知½(x) 存在不满秩的情况, 即½¡1(x) 不一定存在, 零控制向量y 有可能不存在.这里引入摄动量±, 得到新的控制量系数摄动零投影矩阵为~ ½(xx; ±) =I2£2¡&(±)®+(x)®T(x) (33)其中, &(±)为任意连续的函数, 满足:&(±) = 1,±= 0 (34)3期 黄静等: 基于广义逆的欠驱动航天器姿态机动控制 289只要满足式(34) 的函数均可以, 这里选择较为简单的函数:&(±) =11 +±(35)性质3. 对于任意± 6= 0,控制量系数摄动零投影矩阵~ ½(xx; ±)均为满秩矩阵.证明. ®(x)的奇异值为¾(®(x)) =k®(x)k2(36)对®(x)进行奇异值分解, 可得:®(x) =U(x)§(x)NT(x) (37)其中, U(x) = 1,N(x)为标准正交矩阵.§(x) =hk®(x)jj20i(38)根据广义逆的定义式(26),可得:®+(x) =N(x)§+(x) (39)其中,§+(x) =·1k®(x)jj20¸(40)由式(37)和式(39),可得:®+(x)®(x) =N(x)§+(x)§(x)NT(x) (41)将式(41)代入式(33)中, 可得:~ ½(x) = I2£2¡&(±)N(x)§+(x)§(x)NT(x) =N(x)"1¡&(±) 00 1#NT(x) (42)所以, 当±6= 0时, ~ ½(xx; ±)是满秩的, 结论得证.¤此时~ y= ~½¡1(x)[¡kqqa¡d! !a¡f21(!)!u¡f22(!)!a](43)经计算可知, 应用~ ½(x)和~ y代替控制器u(式(24)) 中的½(x)和y, 同样也满足方程(14),因此可以保证h(xu)渐近收敛至0. 下面进行稳定性分析.构造如下的Lyapunov函数:V=12k!Ta!a+ (1¡q0)2+q21+q22+q23=12k!Ta!a+ 2(1¡q0) (44)基于Lyapunov直接方法, 对V 求时间导数, 得到:_V=1k!Ta_ !a¡2 _q0 =1k!Ta[f21(!)!u+f22(!)!a+®+s(x)¯(x) + ~ ½(x)~ y] + qu!u+qTa!a=1k!Ta[®+s(x)¯(x)¡kqqa¡d! !a] +qu!u+qTa!a(45)在平衡点!a =02£1 处, 将®(x) 进行泰勒展开, 得到:®l(x) =@®®(x)@!!a¯!a=02£1!a=J0(x)!a(46)其中, 零驱动状态雅克比矩阵J0(x)由式(21)定义.于是, 动态尺度广义逆在!a=02£1 附近线性化为®+s(x) =®l(x)®T(x)®(x) +k!akpp=J0(xu)!a®T(x)®(x) +k!akpp(47)定义¾为矩阵的J0(x) 的最大奇异值, 并将式(10)代入, 由此可将式(45)进一步化简为_V=1¡dk!TaJ0(x)¯(x)®T(x)®(x)+k!akpp!a+qu!u·1¡dk¾j¯(x)j®T(x)®(x) +k!akppk!ak2+quh(xu)¡¸q2u(48)由性质1和性质2可知, 对于期望动力学(18),当系统满足条件(21), 采用控制律us(30) 保证了limt!1h(xu) = 0, 于是, 选择(1¡d)¾ <0,d >0, k > 0, 则_V ·0, 由Barbalat引理推论可知limt!1!a = 0, limt!1qa= 0, limt!1qu= 0.由limt!1h(xu) = 0, 可知limt!1!u= 0.欠驱动刚体航天器系统在全局意义下达到期望姿态. 综上, 得出如下结论:定理2. 考虑欠驱动航天器系统(7)»(9), 如果函数h(xu) 为全局二阶连续可导的函数, 并且满足条件(10), ®(x) 为控制系数, 定义为(15), ¯(x)为关于h(xu)沿欠驱动刚体航天器系统(5) 中F(x)向量场方向李导数的控制负载, 定义为(16),设计时不变状态反馈控制器us =®+s(x)¯(x) + ~ ½(x)~ y (49)其中, ®+s(x)为®(x)的动态尺度广义逆, 定义为式(29),摄动控制系数空投影~ ½(x)和零控制向量~ y分别由~ ½(xx; ±) =I2£2¡&(±)®+(x)®T(x) (50)290 自 动 化 学 报 39卷~ y= ~½¡1(x)[¡kqqa¡d! !a¡f21(!)!u¡f22(!)!a](51)给出. 如果®(x)的零驱动状态雅克比矩阵J0(x)满足式(21),选择(1¡d)¾ <0,d >0,k >0,则可以使系统达到渐近稳定.由于在实际中, 执行机构的力矩输出受限对于欠驱动航天器姿态机动过程有重要影响. 进一步考虑输出力矩受限问题, 假设输出力矩最大值为§umax, 则输出力矩ud 表示为ud=8<:usmax(jusij)umax; 若max(jusij)> umaxus; 否则; i = 1;2;3(52)引入向量Â=us¡ud2R2, 定义为Â=8<:us¡usmax(jusij)umax; 若max(jusij)> umax0; 否则; i = 1;2;3(53)那么, 考虑输出力矩饱和时力矩ud 为ud=us¡Â (54)则式(48)变为_V·1¡dk¾j¯(x)j®T(x)®(x) +k!akppk!ak2+quh(xu)¡¸q2u¡1k!Ta (55)当输出力矩小于力矩最大值时, Â=0, 根据上面分析, 系统达到渐近稳定; 当输出力矩大于最大值时, 假设k!k是有界的, 那么通过力矩上限和角速度上限可以求得合适的d和k, 使_V ·0,欠驱动航天器系统达到渐近稳定. 这里只进行了初步的定性分析, 在控制力矩受限情况下的欠驱动系统广义逆控制器的稳定性的具体分析目前还存在一些困难,具体分析如何获得合适的d和k将是进一步研究的内容.
　　4 数学仿真分析
　　本节在Matlab/Simulink环境下进行数值仿真实验, 验证前一节提出的控制算法的有效性.仿真条件如下: 欠驱动航天器惯量矩阵为J=diagf30;25;12gkg¢m2, 姿态和角速度的初值分别为~qe(0) = [0:159;0:57;0:57;0:57]T, !e(0) = [0:15,¡0:2;0:1]T.控制参数选取为¸= 20,a1= 1:4,a2= 0:49,k= 2:25, d= 7:5,p= 6.采用式(49) 的广义逆欠驱动航天器控制器进行仿真实验, 仿真结果如图1»3所示. 进一步考虑执行机构输出力矩受限的情况, 假设航天器采用飞轮作为执行机构, 最大输出力矩为umax= 0:3 N¢m,采用式(54) 的控制律进行仿真实验, 控制参数选取同上. 仿真结果如图4»6所示.图1 姿态四元数误差qe 时间响应曲线Fig. 1 Time history of attitude quaternion errorqe图2 角速度误差!e 时间响应曲线Fig. 2 Time history of anglar velocity error!e图3 控制力矩u时间响应曲线Fig. 3 Time history of control torqueu3期 黄静等: 基于广义逆的欠驱动航天器姿态机动控制 291图4 姿态四元数误差qe 时间响应曲线Fig. 4 Time history of attitude quaternion errorqe图5 角速度误差!e 时间响应曲线Fig. 5 Time history of anglar velocity error!e图6 控制力矩u时间响应曲线Fig. 6 Time history of control torqueu从图1»3可以看出, 在航天器x轴控制输出失效的情况下, 本文提出的基于广义逆的非线性控制器通过对y和z轴的控制仍然可以保证闭环系统的稳定性, 在大约200秒时完成了航天器姿态机动的任务. 由于失控轴是通过对其他两轴的直接控制而达到间接控制的作用, 所以在稳定过程中可控轴的运动会呈现多次振荡的趋势, 振荡程度不仅与控制器有关, 还取决于转动惯量矩阵J对角线元素之间的关系. 如以(J3¡J2)/J1 作为控制难易程度的指标, 则(J3¡J2)/J1 的绝对值越小, 控制难度越高.从图4»6中可以看出, 在输出力矩受限时, 本文提出的控制算法仍然可以保证系统的稳定性, 与控制力矩未受限的情形相比, 稳定时间基本相同; 并且, 由于控制力矩幅值的减小使角速度的变化变慢,减少了振荡的程度, 体现了该算法的优越性. 但是这里所选取的飞轮最大输出力矩与实际情况相比较大,由于本文研究的主要内容并未涉及控制力矩的具体实现方式, 所以仿真结果仅作定性分析的参考, 具体考虑执行机构的情况将在以后进一步研究.
　　5 结论
　　本文针对三轴稳定欠驱动刚体航天器姿态机动控制问题, 首先将三轴稳定欠驱动刚体航天器系统分解为三个子系统, 应用微分几何理论将其中的欠驱动航天器子系统转化为逐点线性形式, 采用了广义逆方法设计了欠驱动航天器子系统渐近稳定控制器. 进一步设计了全局内部稳定零控制向量, 实现了对另外两轴的控制. 为了保证整个系统的可实现性,在此基础上引入了动态尺度广义逆和摄动零控制向量, 并进行了稳定性分析, 最终得到完整的广义逆欠驱动航天器姿态机动控制器, 并进一步考虑了控制力矩输出受限的情况. 最后进行了数值仿真, 仿真结果表明, 通过合理选择控制参数, 该广义逆姿态控制器保证了整个系统的渐近稳定性, 达到了控制要求,此控制方法便于实际工程设计参考, 并具有一定的应用前景.
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