摘 要：针对仿射非线性系统的输出跟踪问题提出了一个新的控制器设计方法．通过构造跟踪误差的高阶常微分方程，使得该常微分方程对应的特征方程的根具有负实部，从而实现跟踪误差渐近收敛于0，使得系统具有期望的动态性能．通过该微分方程可以解决仿射非线性系统的跟踪控制问题．根据李亚普诺夫稳定性理论，证明了该算法在外界干扰满足一定条件时的鲁棒性．仿真结果验证了该算法的正确性和鲁棒性．

关键词：仿射非线性系统；跟踪控制；鲁棒性；李亚普诺夫稳定性

Tracking Control of Affine Nonlinear Systems

Abstract:For the output tracking issue of affine nonlinear systems, a novel controller design method is proposed. Highorder ordinary differential equations for tracking errors are constructed. Therefore the characteristic equations correspondingto the ordinary differential equations have negative real part roots to ensure that tracking errors can converge to zero asymp-totically and the system has desired dynamic performance. The tracking control of affine nonlinear systems can be solved bythe differential equations. The robustness of the algorithm can be proved according to Lyapunov stability theory when theoutside disturbance satisfies some certain conditions. Simulation results verify the correctness and robustness of the proposedalgorithm.

Keywords:affine nonlinear system; tracking control; robustness; Lyapunov stability

1 引言（Introduction）

跟踪控制的目的是设计控制器使得系统的输出尽可能地接近给定信号．设计一个控制器使得受控系统的输出渐近跟踪给定的参考信号，是一个既有理论意义又有实际意义的控制问题．但在实际应用中，对复杂非线性系统的输出进行跟踪控制是一个非常困难的过程，特别是当系统存在外界干扰，同时要求控制系统具有较好的控制性能时，以一般的非线性控制方法进行控制系统综合将会遇到较大困难．文[1]针对大震荡、大滞后受控系统的抗干扰及输出滞后问题，设计了单输入单输出情形下的免疫控制器模型，并借助非线性系统理论获得了受控系统的渐近跟踪特性．文[2]将跟踪控制系统分解为最小相位系统和非最小相位系统部分，但这种方法使系统能够跟踪的轨线受到限制，并且没有提出普遍适用的方法来完成最小相位和非最小相位的分解．文[3]利用中心流行理论实现了非双曲最小相位系统的渐近跟踪．但它与现在大多数非最小相位系统控制器的设计一样，是基于系统精确数学模型的，若系统存在干扰或参数摄动，控制效果会变差，甚至造成系统不稳定．文[4]利用Riccati近似序列法成功地解决了具有仿射非线性模型的海上油轮自动驾驶的最优跟踪问题，并证明了算法的收敛性．文[5]利用灵敏度方法解决了离散时滞系统的最优输出跟踪问题．文[6]针对一类单输入单输出非线性系统，考虑到外界干扰和模糊系统逼近误差两种不确定性的存在，引入H¥控制器来减小对跟踪误差的影响．文[7]针对固定和切换网络拓扑结构下的多智能体系统分别提出了两种不同的跟踪控制算法，通过构造合适的李亚普诺夫函数，对系统的有限时间跟踪控制进行了分析．文[8]利用反演方法和Razumikhin引理，针对一类具有时变时滞通讯的不确定随机非线性严格反馈系统，提出一种新的自适应神经网络跟踪控制策略．文[9]通过构造仿射非线性系统跟踪误差的微分方程，基于代数黎卡提方程，提出了一种仿射非线性系统H¥控制律，它能保证系统是鲁棒稳定的．近几十年来，跟踪控制理论作为控制理论中的一个重要研究领域，在实际工业中得到了广泛的应用．本文通过构造系统输出与给定信号的误差的高阶常微分方程，解决了在没有外界干扰或参数摄动时的仿射非线性系统的跟踪控制问题．在外界干扰满足一定条件时，基于李亚普诺夫稳定性理论证明了控制系统在该控制器下的鲁棒性．最后，通过仿真实例验证了文中设计方法的有效性．

2 基础知识（Basic knowledge）

考虑常系数线性微分方程组：dxidt=nåj=1ai jxj; i =1;2;¢ ¢ ¢;m (1)设l1;¢ ¢ ¢;ln 是特征方程：264a11¡l ¢ ¢ ¢ a1n.....an1¢ ¢ ¢ ann¡l375=0的根．将式(1)写成矩阵形式：dxdt=AAxx (2)其中，A=264a11¢ ¢ ¢ a1n.....an1¢ ¢ ¢ ann375，x= [x1;¢ ¢ ¢;xn]T．寻找二次型：V=xTBBxx (3)使得dVdt=W (4)这里，W=xTCCxx是一个给定的二次型．对式(3)两端同时对t 求导可得dVdt=xT(ATB+BBAA)x (5)由式(4)、(5)可得ATB+BBAA=C (6)对于系统(2)，有如下定理：定理1[11]设li、lj 是矩阵A的两个特征值，若对8i; j =1;¢ ¢ ¢;n都有li +lj6=0，则对任意预先给定的二次型W，都有存在唯一的满足式(4)的二次型V．证明过程请参看文[10]的第4章第2节．由定理1很容易得到以下推论：推论1[11]对于系统(6)，如果矩阵A的特征值都具有负实部，那么对任意给定的一个负定二次型W=xTCCxx（原点除外），都存在唯一的一个正定二次型V=xTBBxx，使得dV±dt =W．证明过程请参看文[11]的第4章第2节．3 问题描述（Problem description）考虑仿射非线性系统：˙ x(t) =A(x) +B(x)u (7)y(t) =H(x) (8)其中，x2Rn；y= [y1;¢ ¢ ¢;ym]T2Rm；A(x) = [a1;a2;¢ ¢ ¢;an]T2Rn；u= [u1;¢ ¢ ¢;un]T2Rm；B(x) 2Rn£m，B(x) = [b1;b2;¢ ¢ ¢;bm]，向量函数A(x)、y和bi（i =1;¢ ¢ ¢;m）的每个分量均为充分光滑的标量函数．对系统(7)、(8)做如下假设：假设1 系统(7)、(8)的相对阶向量为[r1;¢ ¢ ¢;rm]，是一个m维行向量．注1 由假设1可知，Falb-Wolovich矩阵：264Lb1Lr1¡1Ay1¢ ¢ ¢ LbmLr1¡1Ay1.....Lb1Lrm¡1Aym¢ ¢ ¢ LbmLrm¡1Aym375可逆，其中LbmLrm¡1Aym表示ym沿向量函数A的rm¡1次导数后再沿向量函数bm的导数．注2 记E(x)=264Lb1Lr1¡1Ay1¢ ¢ ¢ LbmLr1¡1Ay1.....Lb1Lrm¡1Aym¢ ¢ ¢ LbmLrm¡1Aym375，对于j =1;¢ ¢ ¢;m，i =0;1;¢ ¢ ¢;rj ¡1有：y(i)j=LiAyj(x(t)) (9)264y(r1)1.y(rm)m375=264Lr1Ay1(x(t)).LrmAym(x(t))375+E(x)264u1.um375(10)再假定系统(7)、(8)的输出要跟踪给定信号yd= [yd1;¢ ¢ ¢;ydm]T，其中ydi 是ri 阶可导的，对于i =1;¢ ¢ ¢;m均成立，因而对于式(8)的每个分量，系统跟踪误差为ei =yi ¡ydi（i =1;¢ ¢ ¢;m），并且ei 是ri 阶可导的，所以对于j =1;¢ ¢ ¢;m，i =0;1;¢ ¢ ¢;rj ¡1有：164 信 息 与 控 制 42卷e(i)j=LiAyj(x(t))¡y(i)dj(11)264e(r1)1.e(rm)m375=264Lr1Ay1(x(t)).LrmAym(x(t))375+E(x)264u1.um375¡264y(r1)d1.y(rm)dm375(12)另外，当系统受到摄动或干扰时，其方程一般可表示为˙ x(t) =A(x) +B(x)u+C(x)W(x;q;t) (13)y(t) =H(x) (14)其中，W(x;q;t)表示摄动及干扰项，q为某参数向量，q2QµRk，Q为Rk中的某区域，则W(x;q;t)将会明显影响系统(13)、(14)的运动．4 主要结果（Main results）4.1 系统没有受到干扰时的跟踪控制对于系统(7)、(8)，在满足假设1的条件下，有如下定理：定理2 系统(7)、(8)的输出跟踪控制可以表示为[u1;¢ ¢ ¢;um]T=E¡1(x)264y(r1)d1¡r1¡1åj=0a1je(j)1¡Lr1Ay1(x(t)).y(rm)dm¡rm¡1åj=0am je(j)m¡LrmAym(x(t))375(15)其中，ai j（i =1;¢ ¢ ¢;m，j =0;¢ ¢ ¢;rm¡1）的选取条件是使得多项式lri+ri¡1åj=0ai jlj为赫尔维兹多项式．证明 将式(15)代入式(12)可得264e(r1)1.e(rm)m375=264¡r1¡1åi=0a1ie(i)1.¡rm¡1åi=0amie(i)m375因为lri+ri¡1åj=0ai jlj（j =1;¢ ¢ ¢;m，i =0;1;¢ ¢ ¢;rj ¡1）为赫尔维兹多项式．所以特征方程lri+ri¡1åj=0ai jlj=0的根具有负实部，进而得到limt!+¥ei =0，所以有limt!+¥(yi ¡ydi) =0，即实现了系统(7)、(8)的输出y跟踪给定信号yd．证毕．由定理2可知，对于ei（i =1;¢ ¢ ¢;m），可以构造一个常系数ri 阶线性微分方程，使得该微分方程的特征方程具有理想的根，因而ei（i =1;¢ ¢ ¢;m）具有期望的动态性能．4.2 系统受到干扰时的跟踪控制对系统(13)、(14)作如下假设：假设2 系统(13)、(14)满足完全匹配条件：存在˜D(x)2Rm£m，使得C(x) =B(x)˜D(x) (16)注3 由假设2，对于j =1;¢ ¢ ¢;m，i =0;1;¢ ¢ ¢;rj ¡1有：y(i)j=LiAyj(x(t)) (17)264y(r1)1.y(rm)m375=264Lr1Ay1(x(t)).LrmAym(x(t))375+E(x)u+E(x)˜D(x)W(x;q;t) (18)假定系统(13)、(14)的输出要跟踪给定信号yd= [yd1;¢ ¢ ¢;ydm]T，其中ydi 是ri 阶可导的，对于i =1;¢ ¢ ¢;m均成立．对于式(2)的每个分量，系统跟踪误差为ei =yi ¡ydi（i =1;¢ ¢ ¢;m），并且ei 是ri 阶可导的，所以对于j =1;¢ ¢ ¢;m，i =0;1;¢ ¢ ¢;rj ¡1有：e(i)j=LiAyj(x(t))¡y(i)dj(19)264e(r1)1.e(rm)m375=264Lr1Ay1(x(t)).LrmAym(x(t))375+E(x)264u1.um375+E(x)˜D(x)W(x;q;t)¡264y(r1)d1.y(rm)dm375(20)在这里，依旧以式(15) 作为系统(13)、(14) 的跟踪控制方程．将式(15)代入式(20)可得264e(r1)1.e(rm)m375=264¡r1¡1åi=0a1ie(i)1.¡rm¡1åi=0amie(i)m375+E(x)˜D(x)W(x;q;t) (21)2期 袁赣南，等：仿射非线性系统的跟踪控制 165令E(x)˜D(x)W(x;q;t) = [k1;¢ ¢ ¢;km]T，那么对j =1;¢ ¢ ¢;m有：e(rj)j+rj¡1åi=0ajie(i)j=kj(22)系数aji 的选取要求是使得多项式lri+ri¡1åj=0ai jlj为赫尔维兹多项式．将式(22) 写成矩阵的形式，令xjk =e(k¡1)j （j =1;¢ ¢ ¢;m，k=1;¢ ¢ ¢;rj），则有：264˙ xj1.˙ xjrj375=26640 1 0 ¢ ¢ ¢ 0..................... 00 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 1¡aj0 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ajrj¡13775264xj1.xjrj375+ [0 ¢ ¢ ¢ 0 kj]T(23)式(23)可以简写为˙ xj =Ajxj +Kj(24)其中，xj= [xj1¢ ¢ ¢ xjrj]TKj= [0 ¢ ¢ ¢ 0 kj]TAj =26640 1 0 ¢ ¢ ¢ 0.................. 00 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 1¡aj0 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ajrj¡13775为证明系统在控制器(15)下的鲁棒性，先给出如下定理：定理3 若V(x)（x= [x1;¢ ¢ ¢;xn]T）是一个k次齐次函数，函数W(x) =W(x1;¢ ¢ ¢;xn)是一个满足jW(x)j 6Akxkk+1（kxk6m2A）的函数，其中A是正常数，m是V(x)在单位球kxk=1上取得的最小值，那么如果V(x)是正定的（负定的），则函数U(x) =V(x) +W(x)也是正定的（负定的）．证明 假设V(x)是正定的，由m=minkxk=1V(x)，有m>0．当0<kxk6m2A时：U(x) =V(x) +W(x)>kxkkV(xkxk)¡Akxkk+1>kxjjk(m¡Akxk)>m2kxkk>0所以U(x)是正定的．证毕．对于系统˙ xj =Ajxj，由于lri+ri¡1åj=0ai jlj为赫尔维兹多项式，因而矩阵Aj 的特征值具有负实部，由推论1，存在唯一的正定二次型Vj(xj)，使得¶Vj¶xjAjxj =¡rjåk=1x2jk，这样可以得到定理4：定理4 在式(23)中，若存在Bj >0，使得jkjj6Bjkxjk2，那么存在bj >0，当kxjk6bj 时有limt!+¥xj =0．证明 将正定二次型Vj(xj) 对t 求导可得dVj(xj)dt=¶Vj(xj)¶xj(Ajxj +Kj)，又因为¶Vj¶xjAjxj =¡rjåk=1x2jk=¡jjxjk2，所以有dVj(xj)dt=¶Vj(xj)¶xjKj ¡rjåk=1x2jk=¶Vj(xj)¶xjrjKj ¡rjåk=1x2jk．由于Vj(xj)是一个二次型，所以存在ajk（k2N，06k6rj），使得¶Vj(xj)¶xjrj=rjåk=1ajkxjk令aj =max06k6rjjajkj，那么：¯¶Vj(xj)¶xjrj¯=¯rjåk=1ajkxjk¯6aj¯rjåk=1xjk¯又因为不等式Ãnåi=1ai!26nnåi=1a2i 成立，所以有：¯rjåk=1xjk¯6prjsrjåk=1x2jk进而得到¯¶Vj(xj)¶xjrj¯6ajprjsrjåk=1x2jk=ajprjkxjjj由于jkjj 6Bjkxjk2，故：¯¶Vj(xj)¶xjrjKj¯6Bjajprjkxjk3因为¡rjåk=1x2jk 是负定的，若m是Vj(xj)在单位球kxjk=1上取得的最小值，则由定理3，令bj =m2Bjajprj166 信 息 与 控 制 42卷即可，即此时dVj(xj)dt是负定的，所以在区域kxjk6m2Bjajprj上有limt!+¥xj =0．证毕．由定理4，很容易就能得到定理5：定理5 对于系统(13)、(14)，在跟踪控制(15)下，若存在Bj >0，使得jjKjjj6Bjkxjk2，则存在bj，当系统(13)、(14)的输出跟踪误差满足kxjk6bj 时，系统(13)、(14)的输出能跟踪上给定信号ydj．证明 由式(15)可得e(rj)j+rj¡1åi=0ajie(i)j=kj，由定理4可知limt!+¥ej =0，定理5得证．定理5反映了跟踪控制(15)的鲁棒性，当跟踪误差在原点的某个邻域内并且外界干扰满足渐近衰减条件时，在跟踪控制(15) 下系统(13)、(14) 的输出能渐近跟踪上给定信号．

5 仿真实例（Simulation examples）

本文采用Matlab软件进行仿真实验．考虑如下的仿射非线性系统：264˙ x1˙ x2˙ x3375=2640x1¡x3x1375+264ex20ex2+1375u (25)y=x2(26)下面设计控制器u，使得系统的输出y跟踪信号yd=sint，不妨假设初始位置为x0= [1 ¡6 ¡4]T，记e=y¡yd，则有：e=x2¡sint (27)˙ e=x1¡x3¡cost (28)¨ e=¡x1¡u+sint (29)在这里，令e满足微分方程：¨ e+10 ˙e+10e=0 (30)经验证可知，多项式l2+10l+10是赫尔维兹多项式，因而有limt!+¥e=0．将式(27)～(29)代入式(30)可以解得跟踪控制的表达式为u=9x1¡10x3¡10 cost +10x2¡9 sint (31)系统的跟踪曲线和跟踪误差曲线分别如图1和图2所示．从图1和图2可以看出算法对此非线性系统的控制效果较好，使该系统的输出能够无误差地跟踪给定信号．为了验证该控制器的鲁棒性，给系统(25)、(26)加入干扰，如式(32)所示：264˙ x1˙ x2˙ x3375=2640x1¡x3x1375+264ex20ex2+1375(u+e¡t) (32)y=x2(33)图1 系统的输出y和给定信号ydFig.1 System outputyand given signalyd图2 系统跟踪误差eFig.2 System tracking errore同上，下面设计控制器u，使得系统的输出y跟踪信号yd=sint，设初始位置为x0= [1 ¡6 ¡4]T，仍以式(31)作为系统跟踪控制的表达式，此时系统的跟踪曲线和跟踪误差曲线如图3和图4所示．从图3和图4可以看出控制效果良好，验证了该控制器的鲁棒性，在存在干扰情况下依旧实现了系统输出渐近跟踪给定信号．2期 袁赣南，等：仿射非线性系统的跟踪控制 167图3 有干扰时系统的输出y和给定信号ydFig.3 Given signalydand system outputywith disturbance图4 有干扰时系统跟踪误差eFig.4 System tracking errorewith disturbance

6 结论（Conclusion）

本文讨论了多输入多输出仿射非线性系统的输出跟踪控制问题．通过构造系统输出与给定信号的误差的高阶常微分方程，解得了仿射非线性系统的跟踪控制．当系统跟踪误差在原点的某个邻域内并且外界干扰满足渐近衰减条件时，由李亚普诺夫稳定性理论，证明了系统输出仍然能渐近收敛于给定的信号，得到了该算法的鲁棒性．仿真结果验证了理论分析的正确性．

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