摘 要：在整数阶混沌系统投影同步的基础上，提出了分数阶混沌系统的全状态混合投影同步．基于分数阶线性系统稳定性理论和矩阵理论，结合非线性反馈控制与主动控制方法提出分数阶混沌系统的全状态混合投影同步控制器设计方法，理论上证明了该设计方法的可行性．同时以一个新分数阶超混沌系统为例，运用数值仿真验证所设计控制器的有效性．最后采用混沌遮掩方法，将全状态混合投影同步应用在保密通信中．仿真结果表明，两个分数阶混沌系统可以实现快速同步且可以无失真地恢复有用信号．

关键词：分数阶系统；新超混沌系统；混沌同步；全状态混合投影同步；保密通信

Full State Hybrid Projective Synchronization of Fractional-order Chaotic Systemsand Its Application to Secure Communication

Abstract:The full state hybrid projective synchronization of fractional-order chaotic systems based on integer-orderchaotic system projective synchronization is presented. Based on stability theory of fractional-order linear systems andmatrix theory, a novel design method of controller combining nonlinear feedback control and active control is proposed forthe full state hybrid projective synchronization of fractional-order chaotic system. Furthermore, the feasibility of the noveldesign method is proved theoretically and the effectiveness of the controller is verified using numerical simulation taking anew fractional-order hyper-chaotic system as an example. Then the full state hybrid projective synchronization is appliedto secure communication through chaos masking. Simulation results show that the two fractional order chaotic systems canrealize monotonous synchronization and the information signal can be recovered undistortedly.

Keywords:fractional-order system; new hyperchaotic system; chaos synchronization; full state hybrid projective synchro-nization; secure communication

1 引言（Introduction）

在近几十年来，分数阶微积分才成为国际上的一个热点研究课题，并在松弛、振荡、湍流等领域得到了有效的应用[1-3]．利用分数阶微积分算子能够更准确地描述混沌系统的动力学特性，并能反映系统所呈现的工程物理现象，从而促进了分数阶混沌理论的研究．近几年，分数阶混沌系统激起学者们极大的兴趣，学者们广泛关注相关领域，将分数阶微积分引入到混沌动力学系统的研究中，使得分数阶动力系统的混沌特性及其控制成为混沌学研究的一个新课题[4-10]，在对Chua’s电路系统、Lorenz系统、Chen系统、Liu系统以及Rossler混沌和一些超混沌系统研究中，通过计算机数值仿真发现，当系统的阶数为分数时，系统仍然呈现混沌状态甚至超混沌状态，其状态更能反映出系统所呈现的物理现象[6-10]，这极大地促进了分数阶混沌系统的研究及分数阶微积分理论和应用的发展．混沌同步在工程、生物、信息处理等领域具有潜在应用价值，从而使其得到人们的广泛关注与研究．到目前为止，已提出许多有效的混沌同步控制方法，但由于分数阶混沌系统实现同步自身的复杂性，对于分数阶混沌系统同步控制的研究相对较少[11-14]．目前，分数阶混沌同步也取得了一些成果，但远不如整数阶混沌同步发展得那么充分．1999年，Mainieri和Rehacek在部分线性混沌系统中观察到一种新的同步现象——投影同步，即驱动–响应系统可以同步到一个比例因子上．随后投影同步的概念被推广到全状态混合投影同步中，即对任意两个同维混沌系统实现所在状态之间拥有不同投影比例因子的投影同步，在此基础上，对任意两个同维混沌系统实现所有的状态之间拥有各自的比例因子关系，把这种新的同步类型称为系统全状态混合投影同步[15]．全状态混合投影同步还包含完全同步、反同步、完全状态投影同步等．此外，混沌通信保密发展已经日渐成熟[16-17]，然而分数阶在通信保密中的应用还在探索中，相关研究文献相对缺乏[18]．本文基于分数阶系统稳定性理论和矩阵理论，结合非线性反馈控制与主动控制方法设计非线性全状态混合同步控制器实现分数阶混沌系统全状态混合投影同步，该设计方法无需计算系统的条件李亚普诺夫指数，同时该设计方法理论严格，能够达到任意投影因子矩阵的全状态同步，具有普适性．最后，利用该方法设计非线性全状态混合同步控制器实现一个新分数阶超混沌系统的全状态混合投影同步，数值仿真结果证实了该方法的有效性．分数阶混沌系统具有更为复杂的动力学行为，具有比一般的混沌系统更复杂的振荡，因而更适用于保密通信．采用混沌系统对信号进行加密有利于提高系统的保密性，在分数阶混沌系统全状态混合投影同步的基础上分析一个离散信号通过混沌系统进行传输，并通过解密使信息信号很快恢复．运用Matlab的数值模拟验证了本方案的有效性．

2 分数阶系统全状态混合投影同步（Fullstate hybrid projective synchronization offractional-order system）

分数阶微积分理论几乎与整数阶微积分理论具有同样长的发展历史，由于分数阶所描述的系统与实际系统模型更为接近，分数阶混沌系统研究更具吸引力．在分数阶微积分的研究过程中，对分数阶导数有多种定义，在实际应用中Caputo定义最为常见．因此，本文以Caputo定义研究分数阶混沌系统动力学行为，Caputo微分定义为Datf(t) =1G(m¡a)tw0f(m)(t)(t ¡t)a¡n+1dt (1)式中，m¡1<a<m，G(¢)为伽马函数：G(z) =¥w0tz¡1e¡tdt分数阶线性系统的稳定性已经得到了充分的研究，并且得到了分数阶系统稳定的充要条件．引理[19]考虑分数阶自治系统：daXdta=AAXX; X(0) =X0(2)其中，X= (x1;x2;¢ ¢ ¢;xn)T2Rn（n2N），系数矩阵A2Rn£n．(1)系统(2)是渐近稳定的，当且仅当对于任意的l2spec(A)（spec(A)为矩阵A的特征值集合）满足：jarg(l)j >a2p(2) 系统(2) 是稳定的，当且仅当对于任意的l2spec(A)满足：jarg(l)j >a2p对于混沌系统D(X) =AAXX，其对应分数阶系统Da(X) =f(X)仍保持混沌的必要条件是平衡点的稳定性保持不变，即不稳定平衡点所对应线性化雅可比矩阵的特征值满足：tan³ap2´>jImljRel)a>2parctanµjImljRel¶(3)给定一个连续分数阶自治系统：daXdta=F(X) (4)其中，X= (x1;x2;¢ ¢ ¢;xn)T2Rn（n2N），F(X) =(F1(X);F2(X);¢ ¢ ¢;Fn(X))T2Rn为光滑函数．考虑将式(4)作为驱动系统，由此可得系统(4)的响应系统：daYdta=F(Y) +U(X;Y) (5)其中，Y = (y1;y2;¢ ¢ ¢;yn)T2Rn（n2N），F(Y) =(F1(Y);F2(Y);¢ ¢ ¢;Fn(Y))T2Rn，U = (u1(X;Y);u2(X;Y);¢ ¢ ¢;un(X;Y))T2Rn（n2N）为实现全状态混合投影同步的控制器．定义误差系统为e(t) =Y(t)¡HHXX(t)2Rn，e(t)= (e1(t);e2(t);¢ ¢ ¢;en(t))T2Rn(n2N)，其中矩阵H=diag(h1;h2;¢ ¢ ¢;hn)2Rn£n称为投影同步的投影因子矩阵，hi 2R（i =1;2;¢ ¢ ¢;n）为投影因子，则误差系统为daedta=daYdta¡HdaXdta=˜F(X;Y) +U(X;Y) (6)2期 薛怀庆，等：分数阶混沌系统全状态混合投影同步及在保密通信中的应用 231其中，˜F(X;Y) =F(Y)¡HHFF(X)=(F1(Y)¡h1F1(X);F2(Y)¡h2F2(X);¢ ¢ ¢;Fn(Y)¡hnFn(X))T定义 如果存在非零对角矩阵H=diag(h1;h2;¢ ¢ ¢;hn)2Rn£n使得limt!¥e(t) =limt!¥Y(t)¡HHXX(t) =0（或limt!¥ei(t) =limt!¥yi(t)¡hixi(t) =0，i =1;2;¢ ¢ ¢;n），则称分数阶系统(4)和(5)实现全状态混合投影同步（若h1=h2=¢ ¢ ¢=hn 即为全状态投影同步）．定理 选择非线性全状态混合投影同步控制器U(X;Y) =U¤(X;Y) +˜U¤(X;Y)，加入非线性反馈控制器得到daedta=A(X;Y)e(t) (7)其中，A(X;Y) = (ai j(X;Y))n£n，i; j =1;2;¢ ¢ ¢;n，且满足：(1)ai j(X;Y) =¡aji(X;Y)（i; j =1;2;¢ ¢ ¢;n; i 6=j）；(2)aii(X;Y) =li >0（i =1;2;¢ ¢ ¢;n）且li 不全为0，则分数阶误差系统(6)是渐近稳定的．证明 令l为A(X;Y)的任意一个特征值，则存在其对应的特征向量x使得A(X;Y)x=ll xx (8)对式(8)的两边同时取共轭转置得A(X;Y)xT=¯ll xxH(9)则：xH(PPAA(X;Y)+(A(X;Y))HP)x= (l+¯l)xHPx (10)取正定矩阵P=En =2641 0 ¢ ¢ ¢ 00 1 ¢ ¢ ¢ 0. .....0 0 ¢ ¢ ¢ 1375，ai j(X;Y) =¡aji(X;Y)，i; j =1;2;¢ ¢ ¢;n，i6=j，aii(x;y)=li >0，i =1;2;¢ ¢ ¢;n，将A(X;Y)、P代入式(10)得A(X;Y)P+P(A(X;Y))H=264¡l10 ¢ ¢ ¢ 00 ¡l2¢ ¢ ¢ 0. .....0 0 ¢ ¢ ¢ ¡ln375=¡Q (11)其中，Q=264l10 ¢ ¢ ¢ 00 l2¢ ¢ ¢ 0. .....0 0 ¢ ¢ ¢ ln375=diag(l1;l2;¢ ¢ ¢;ln)，Q为半正定矩阵．根据半正定矩阵与半负定矩阵性质，对任意非零向量x有：xH(PPAA(X;Y)+(A(X;Y))HP)x=xH(¡Q)x60 (12)则：(l+¯l) =xH(¡Q)xxHPx60 (13)即误差系统的系数矩阵A(X;Y)任意特征值都满足jarg(l)j >p2>a2p(a<1)．根据引理得，分数阶误差系统(7)是渐近稳定的．定理即得证．

3 新分数阶超混沌系统全状态混合投影同步（Full state hybrid projective synchro-nization of the new fractional-order hyper-chaotic system）

2007年，刘崇新等提出了一个新分数阶超混沌系统[20]：8><>:dax1dta=¡10x1+y1z1+z1day1dta=2:5y1¡x1z1daz1dta=x1y1¡4z1¡2w1daw1dta=¡0:25x1(14)式中，a为分数阶数，且0<a61．该系统仅具有1个平衡点S0(0;0;0;0)，系统(14)在平衡点处的雅可比矩阵为J=264¡10 z1y1+1 0¡z12:5 ¡x10y1x1 ¡4 ¡2¡0:25 0 0 0375232 信 息 与 控 制 42卷图1 新分数阶超混沌系统的超混沌吸引子Fig.1 The hyperchaotic attractor of the new fractional orderhyperchaotic system平衡点S0 处相应特征值为：l1=0:012 4，l2=2:5，l3=¡9:991 6，l4=¡4:020 8，可见根据(3)式，两个特征值要使系统(14)产生混沌现象，则要满足1>a>0，而这仅仅是必要条件，应用EWB软件与Matlab仿真计算得知该系统具有分数阶混沌的最低阶（0.4阶）．采用预估–校正解法[21-22]（predictor-corrector algorithm），进行数值仿真，选取a=0:9，图1为新分数阶超混沌吸引子．以分数阶系统(14)为驱动系统，根据式(14)得到其响应系统为受控的分数阶混沌系统：8><>:dax2dta=¡10x2+y2z2+z2+u1day2dta=2:5y2¡x2z2+u2daz2dta=x2y2¡4z2¡2w2+u3daw2dta=¡0:25x2+u4(15)由式(14) 和式(15) 可得形式如式(16) 的分数阶误差系统如下：8><>:dae1dta=¡10e1+z2e2+y1(h2z2¡h1z1) +e3+z1(h3¡h1) +u1dae2dta=2:5e2¡x2e3¡z1(h3x2¡h2x1) +u2dae3dta=x2e2¡4e3¡2e4+2w1(h3¡h4) +x1(h2x2¡h3y1) +u3dae4dta=¡0:25e1+0:25x1(h4¡h1) +u4(16)现将分数阶系统(16)写成如下形式：daedta=˜A(X;Y)e+G(X;Y) +U(X;Y) (17)其中，e= (e1;e2;e3;e4)T;˜A=264¡10 z21 00 2:5 ¡x200 x2 ¡4 ¡2¡0:25 0 0 0375X= (x1;y1;z1;w1)T; Y= (x2;y2;z2;w2)TU= (u1(X;Y);u2(X;Y);u3(X;Y);u4(X;Y))TG(X;Y) =264y1(h2z2¡h1z1) +z1(h3¡h1)¡z1(h3x2¡h2x1)2w1(h3¡h4) +x1(h2x2¡h3x1)0:25x1(h4¡h1)375选择非线性全状态混合投影同步控制器U(X;Y) =U¤(X;Y) +˜U¤(X;Y)，其中，U¤(X;Y) =264y1(h1z1¡h2z2) +z1(h1¡h3)z1(h3x2¡h2x1)2w1(h4¡h3) +y1(h3x1¡h2x2)0:25x1(h1¡h4)375˜U¤(X;Y) =2640 0 0 0:25¡z2 ¡5 0 0¡1 0 0 00 0 2 ¡1375e则分数阶误差系统(17)变为daedta=A(X;Y)e (18)其中A(X;Y) =264¡10 z21 0:25¡z2 ¡2:5 ¡x20¡1 x2 ¡4 ¡2¡0:25 0 2 ¡1375，矩阵2期 薛怀庆，等：分数阶混沌系统全状态混合投影同步及在保密通信中的应用 233图2 分数阶超混沌系统全状态混合投影同步2维相图Fig.2 The two-dimensional phase diagram of full state hybrid projective synchronization of fractional order hyperchaotic systemA(X;Y)满足定理中的两个条件，由定理1可得，分数阶误差系统(17)是渐近稳定的，因此实现了分数阶系统(14)和(15)全状态混合投影同步．采用预估–校正解法进行数值模拟，选取a=0:9，投影因子为h1=¡3:5，h2=2:5，h3=¡2:5，h4=2:5，时间步长为0:01，状态初始值为x1(0) =0:2，y1(0) =¡0:2，z1(0) =0:2，w1(0) =¡0:2，x2(0) =1:0，y2(0) =¡1:0，z2(0) =1:0，w2(0) =¡1:0，图2(a)～(d)是分数阶系统(14) 和(15) 的2维平面相图，图3是其3维相图，由此可见分数阶超混沌系统(14)和(15)实现全状态混合投影同步．

4 基于混沌遮掩的保密通信（Secure com-munication based on chaos masking）

基于混沌遮掩的保密通信系统结构图如图4所示．图3 分数阶超混沌系统全状态混合投影同步3维相图Fig.3 The three-dimensional phase diagram of full state hybridprojective synchronization of fractional order hyperchaoticsystem图4中，˙i(t)是恢复后的信息信号．接收系统与发送系统发生同步后（x(t)¼x0(t)），信息信号i(t)就可以近似地恢复出来，即：234 信 息 与 控 制 42卷˙i(t) =s(t)¡x0(t) =x(t) +i(t)¡x0(t)选择离散信源信号为方波信号squ，设混沌遮掩加密方式同步混沌系统输出端掩盖信号为s(t) =squ+x1，s0(t)为传输过来的信号．令传输系统和接收系统分别为8><>:dax1dta=¡10x1+y1z1+z1+s(t)day1dta=2:5y1¡x1z1daz1dta=x1y1¡4z1¡2w1daw1dta=¡0:25x1(19)和8><>:dax2dta=¡10x2+y2z2+z2+s0(t) +u1day2dta=2:5y2¡x2z2+u2daz2dta=x2y2¡4z2¡2w2+u3daw2dta=¡0:25x2+u4(20)选取a=0:9，图5显示了数值仿真结果．图5(a)和(b)给出了x1 和squ时间序列，图5(c)为传输的混合信号s(t)，图5(d)为恢复出来的有用信号．很明显，有用信号很快无失真地恢复出来．图4 混沌遮掩保密通信原理图Fig.4 Secure communication based on chaos masking

5 总结（Conclusion）

本文在整数阶混沌系统的全状态混合投影同步的基础上提出分数阶混沌系统的全状态混合投影同步，基于分数阶系统稳定性理论和矩阵理论，得到简单明了的非线性同步控制器设计方法，且无需计算系统的条件李亚普诺夫指数．该方法新颖简单有效，具有一定的普适性．选取一个新分数阶超混沌系统，研究其全状态混合投影同步问题．采用了非线性反馈控制的方法，结合所提出的稳定性条件，设计非线性全状态同步控制器，实现分数阶混沌系统全状态混合投影同步，所提方法适用性广，适用于分数阶混沌系统诸如完全同步、投影同步等各类同步．最后将分数阶全状态混合投影同步应用于保密通信中，数值仿真验证了所提方案的有效性．图5 超混沌系统全状态混合投影同步下离散信号squ的传输Fig.5 The discrete signalsqutransmission of full state hybrid projective synchronization of fractional order hyperchaotic system

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