第41 卷第8 期自动化学报Vol. 41, No. 82015 年8 月ACTA AUTOMATICA SINICA August, 2015一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析杜大军1 商立立1 漆波1 费敏锐1摘要针对信号在网络环境下传输带来不完全信息使得在线参数辨识算法和收敛性困难的问题, 不同于传统递推最小二乘方法, 本文提出了一种不完全信息下递推辨识方法并分析其收敛性. 首先运用伯努利分布刻画引起不完全信息的数据丢包特性, 然后基于辅助模型方法补偿不完全信息并构造了新的数据信息矩阵, 并运用矩阵正交变换性质对数据信息矩阵进行QR分解, 推导了融合网络参数的递推辨识新算法, 理论证明了在不完全信息下递推参数辨识算法的收敛性. 最后仿真结果验证了所提方法的可行性和有效性.关键词数据丢包, 参数估计, 递推最小二乘, 矩阵QR 分解, 算法收敛性引用格式杜大军, 商立立, 漆波, 费敏锐. 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析. 自动化学报, 2015, 41(8):1502¡1515DOI 10.16383/j.aas.2015.c140766Convergence Analysis of an Online Recursive Identi¯cation Method withUncomplete Communication ConstraintsDU Da-Jun1 SHANG Li-Li1 QI Bo1 FEI Min-Rui1Abstract Under the network environment, the uncomplete infromation causes an undesirable e®ect on the parameteridenti¯cation and convergence. Unlike the traditional recursive least squares (RLS) algorithm, the paper proposes anovel online recursive identi¯cation method with uncomplete communication constraints. In this algorithm, the Bernoulliprocess is ¯rstly employed to describe the character of data packet losses, and the uncomplete information is compensatedby the auxiliary model strategy. The new data information matrix is then constructed, which is decomposed by QRdecomposition and the intermediate matrix can be updated recursively. An new recursive least squares (RLS) algorithmunder networks with random packet losses is then presented, and its convergence is analysed. Simulation con¯rms thefeasibility and e±ciency of the proposed method.Key words Data packet dropout, parameter estimation, recursive least squares, matrix QR decomposition, algorithmconvergenceCitation Du Da-Jun, Shang Li-Li, Qi Bo, Fei Min-Rui. Convergence analysis of an online recursive identi¯cation methodwith uncomplete communication constraints. Acta Automatica Sinica, 2015, 41(8): 1502¡1515随着通信、计算机、自动控制和仪器仪表等技术的发展和相互渗透, 传感器、控制器以及执行器通过网络形成闭环, 构成网络化控制系统(Networked收稿日期2014-11-06 录用日期2015-03-20Manuscript received November 6, 2014; accepted March 20,2015国家自然科学基金(61473182), 国家重大科学仪器设备开发专项课题(2012YQ15008703), 上海市青年科技启明星计划(13QA1401600),上海市科委项目(12JC1404201, 14JC1402200, 15JC1401900) 资助Supported by National Natural Science Foundation of China(61473182), National Key Scienti¯c Instrument and EquipmentDevelopment Project (2012YQ15008703), Shanghai Rising-StarProgram (13QA1401600), and Science and Technology Com-mission of Shanghai Municipality (12JC1404201, 14JC1402200,15JC1401900)本文责任编委方海涛Recommended by Associate Editor FANG Hai-Tao1. 上海大学机电工程与自动化学院上海市电站自动化技术重点实验室上海2000721. Shanghai Key Laboratory of Power Station AutomationTechnology, School of Mechatronics Engineering and Automa-tion, Shanghai University, Shanghai 200072control systems, NCSs)[1¡4]. 网络化控制系统由于具有信息资源共享、布线简单、高效灵活、易于安装和维护等诸多优点, 已经初步应用于机器人、汽车工业、航天航空等领域[5¡7].目前网络化控制系统大多假设系统模型已知,然后开展融合通信约束的网络化控制系统量化、滤波、控制器设计和稳定性分析等研究[8¡10]. 然而, 有时系统模型未知, 通常可采用机理法和系统辨识方法建模. 机理法通过分析过程的运动规律, 运用已知的定律和原理建立数学模型, 但是有时实际过程的机理并非完全知道, 并且有时系统还可能不断变化,导致很难利用机理法进行建模. 为克服机理法的不足, 系统辨识利用已知先验信息和输入{ 输出数据来建立系统数学模型[11]. 因此, 需要在网络环境下开展网络辨识, 为基于模型的网络控制奠定基础.在网络辨识中, 各种信号通过通信网络进行传输和交换, 由于网络带宽有限并且大量设备共享这8 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1503个带宽, 网络不确定性因素(如网络诱导延时、数据丢包和数据包错序等) 不可避免地被引入[1¡4; 11], 这必将限制和影响系统辨识的性能, 甚至造成系统辨识不收敛. 目前国内外学者针对网络辨识的研究仍处于起步阶段, 相关成果可分为离线辨识与在线辨识两种. 在离线辨识方面, 文献[12] 考虑网络不确定性因素, 研究了开环稳定线性时不变过程的离线辨识问题. 文献[13] 考虑网络诱导延时, 提出了依赖输出信号二阶统计特性的协方差方法来辨识系统参数. 文献[14] 采用三次样条差值来补偿网络数据丢包, 然后采用快速递归算法离线进行系统结构和参数的辨识. 在在线辨识方面, 文献[15] 在稀缺数据情况下, 基于传统的递推最小二乘算法简单给出了网络环境下的递推最小二乘算法但缺乏收敛性分析.文献[16] 进一步提出了一种改进的卡尔曼滤波递推算法以辨识系统参数. 文献[17] 提出了在稀缺数据情况下的基于梯度的递推算法. 文献[18] 针对数据丢包, 将其当作异步非均匀采样系统, 提出一种可变迭代间隔的递推辨识算法. 以上研究工作主要考虑不完全数据信息因素, 初步开展基于传统递推算法的递推最小二乘或卡尔曼滤波问题研究, 缺乏基于Givens、Householder 等快速分解方法的递推算法来解决网络环境下的系统辨识.郭雷和陈翰馥[19] 提出了基于随机梯度算法的最小二乘参数估计递推算法, 进一步提出了带有遗忘因子的递推最小二乘算法, 并探讨了辨识算法的稳定性和跟踪性能等[20¡21]. 然而, 传统的递推最小二乘算法在进行递推参数估计时, 无法保证数据信息矩阵的正定性, 致使算法可能不稳定[22¡23]. 为了提高递推算法的稳定性和计算效率, 一种基于QR分解的加权递推最小二乘算法被提出, 它运用QR分解方法对数据信息矩阵进行分解, 避免传统递推算法求解过程中运用矩阵求逆(Matrix pseudoin-verse) 导致的病态, 提高了算法稳定性[22¡24]. 然而,网络辨识不同于普通的系统辨识, 在网络环境中网络不确定性因素如数据丢包将导致信息不完全, 这必将限制和影响系统辨识算法的性能. 因此, 基于QR 分解的加权递推最小二乘算法不能简单直接地应用于网络环境下的系统辨识, 必须考虑通信网络导致的不完全信息, 深入开展网络系统递推辨识算法及收敛性分析研究.本文从受不完全信息约束的角度研究网络化递推辨识算法及收敛性分析问题, 运用伯努利分布刻画了引起不完全信息的数据丢包特性, 然后基于辅助模型和矩阵QR 分解方法提出了融合网络参数的递推辨识新算法, 并证明了在不完全信息下递推参数辨识算法的收敛性.1 问题描述考虑如下线性离散系统差分方程模型:xk = BZAZukyk = xk + vk (1)其中, yk 和uk 分别为系统输出测量值和输入激励信号, xk 是系统无噪声输出但不可测, vk 假设为系统零均值观测白噪声, 其方差为¾2, AZ = 1 +a1z¡1+¢ ¢ ¢+amz¡m, BZ = b0+b1z¡1+¢ ¢ ¢+bnz¡n,ai (i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m) 和bj (j = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; n) 是待辨识的未知参数, 模型结构参数m、n 假设已知, 并设M = m + n.定义YN = [y1; y2; ¢ ¢ ¢ ; yN]T 2 RN£1,£ = [a1; ¢ ¢ ¢ ; am; b1; ¢ ¢ ¢ ; bn]T 2 RM£1 和VN =[v1; v2; ¢ ¢ ¢ ; vN]T 2 RN£1, 式(1) 可写成矩阵形式:YN = ©N£ + VN (2)式中, ©N = ['1; ¢ ¢ ¢ ; 'N]T 2 RN£M,'Tk = [¡xk¡1;¡xk¡2; ¢ ¢ ¢ ;¡xk¡m; uk¡1; uk¡2; ¢ ¢ ¢ ;uk¡n]; k = 1; ¢ ¢ ¢ ;N.不完全信息下网络辨识和控制系统如图1 所示,辨识器和控制器通过网络与被控对象相连, 网络不确定性因素不可避免地引入. 在实际的系统中, 为了实现高品质的辨识和控制性能, 在每个采样周期内只选择最新的数据包进行执行, 采用主动丢包策略将长网络诱导延时、数据丢包和数据包错序放在一个框架内, 即统一为数据丢包. 在本文中运用伯努利分布刻画引起不完全信息的数据丢包特性, 其概率分布律如下:Prf®k = 1g = Ef®kg = ½Prf®k = 0g = 1 ¡ Ef®kg = 1 ¡ ½varf®kg = Ef(®k ¡ ½)2g = ½(1 ¡ ½) = ¯2(3)其中, 若数据包传输成功®k = 1, 否则为0. 已知正常数0 < ½ < 1 表示数据传输成功概率且其方差为¯2.注1. 在式(3) 中, ®k 为1 或0, 它代表数据包在网络传输中的状态, 故网络辨识受不完全信息(即数据包丢失) 的约束, 它势必影响辨识性能甚至造成辨识算法的不收敛.在图1 中, 在每个采样时刻如在第k 个采样时刻, 系统输出测量值yk 通过网络传送, 由于受数据丢包的影响, 在辨识器端收到的信号为¹yk. 为了降低数据丢包影响, 采用文献[15] 中运用输入输出模型预估丢失数据方法:¹yk = ®kyk + (1 ¡ ®k)^yk (4)1504 自动化学报41 卷其中, ^yk 为估计值.由于在式(2), 'Tk 中的元素xk¡i; i = 1; ¢ ¢ ¢ ;m未知, 故不可直接用传统的最小二乘算法来进行参数估计. 因此, 运用文献[16] 中的辅助模型方法, 用^xk 代替xk, 从而构成新的数据信息矩阵¹'Tk , 即:^xk = ¹'Tk^£k (5)其中, ¹'Tk = [¡^xk¡1;¡^xk¡2; ¢ ¢ ¢ ;¡^xk¡m; uk¡1; uk¡2,¢ ¢ ¢ ; uk¡n]. 由新构成的¹'Tk 可得^yk, 即:^yk = ¹'Tk^£k¡1 (6)图1 不完全信息下网络辨识和控制系统示意图Fig. 1 Networked identi¯cation and control systems withincomplete information constraints由于'Tk 变为¹'Tk , 故式(2) 必须改写为¹ YN = ¹©N£ + VN (7)其中, ¹©N = [ ¹'1; ¢ ¢ ¢ ; ¹'N]T 2 RN£M.注2. 在式(4) 中, 若®k = 1 (即数据包传输成功), ¹yk 采用当前系统输出测量值yk, 否则, 采用估计值^yk.注3. 在传统的系统辨识中, 由于不存在网络引起的数据丢包, 故在式(4) 中, ¹yk = yk 恒成立, 利用输入输出数据构成系统模型如式(2) 所示, 然后能够直接采用文献[23¡24] 中方法进行参数辨识. 然而, 在网络辨识中, 由于网络引起的数据丢包导致信息不完全, 无法采用传统方法来构造系统模型. 因此, 本文采用文献[15] 中方法预估丢失数据, 进一步运用文献[16] 中的辅助模型方法, 用^xk 代替xk 构成新的数据信息向量¹'Tk 和信息矩阵¹©N, 最后构成了系统模型即式(7), 由于含有网络参数, 这将影响其递推算法和收敛性.2 参数的递推估计针对系统模型(7), 考虑如下目标函数:JN =°°WN¡ ¹ YN ¡ ¹©N£¢° °22 (8)其中, WN = diagfwN¡1;wN¡2; ¢ ¢ ¢ ; 1g 为时间渐消加权矩阵, w 是一个遗忘因子且0 << w < 1.由于WN¹©N 是N £M 矩阵且WN ¹ YN 是N £1向量, 则存在一个N £ N 正定阵[23] QN 使得QNWN¹©N ="RN0#;QNWN ¹ YN ="XNZN#, 其中, RN 是一个M £ M 的上三角阵, XN 是一个M £ 1 的向量.在第N + 1 时刻, 辨识器端收到新的系统输出测量值¹yN+1, 则¹©N+1 ="¹©N¹'TN+1#; ¹ YN+1 ="¹ YN¹yN+1#, 进一步通过与"QN 00 1#WN+1右乘变换可得"wRN¹'TN+1#,"wXN¹yN+1#, 其中,¹'TN+1 = [¡^xN;¡^xN¡1; ¢ ¢ ¢ ;¡^xN¡m+1; uN+1; uN;¢ ¢ ¢ ; uN¡n+2].为了进行参数估计递推更新, 采用文献[23, 25]方法找到一个正定阵QN+1 使得8>>>><>>>>:QN+1"wRN¹'TN+1#="RN+10#QN+1"wXN¹yN+1#="XN+1ZN+1# (9)进一步通过分解正交阵QN+1, 参数辨识递推公式可由以下定理1 给出.定理1. 若设N 时刻参数辨识的结果已知为^£N, 在N + 1 时刻一步更新后参数辨识的结果为^£N+1, 则^£N+1 与^£N 存在如下递推关系:^£N+1 = ^£N + hN+1fN+1eN+1 (10)其中, fN+1 =p1 + ¯TN +1¯N+1, ¯N+1 =R¡TN ¹'N+1=w, hN+1 = R¡1N ¯N+1=wfN+1, eN+1 =¹yN+1 ¡ ¹'TN+1^£N." 证明. 正交矩阵QN+1 能够表示为QN+1 =S gzT ±#, 其中, S 是N £ N 矩阵, g 和z 是N £ 1 向量, 且± 是一个标量. 由式(8) 且把QN+1代入(9), 可得:^£N+1 = [wSRN + g ¹'TN+1]¡1[wSXN + g¹yN+1](11)根据QN+1QTN+1 = I, 则有g = ¡1±Sz. 把g8 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1505代入式(11) 可得:^£N+1 = [wRN ¡1±z ¹'TN+1]¡1[wXN ¡1±z¹yN+1](12)应用QN+1 和¹£N+1, 可得z = ¡±R¡TN ¹'N+1w.定义¯N+1 = R¡TN ¹'N+1w, 则z = ¡±¯N+1. 把z 代入式(12) 可得:^£N+1 = [wRN + ¯N+1 ¹'TN+1]¡1£[wXN + ¯N+1¹yN+1] (13)应用矩阵逆引理, 式(13) 能够改写为:^£N+1 =·w¡1R¡1N ¡w¡1R¡1N ¯N+1¯TN +11 + ¯TN+1¯N+1¸£[wXN + ¯N+1¹yN+1] (14)定义f2N +1 = 1+¯TN+1¯N+1, hN+1 = w¡1R¡1N ¯N+1fN+1,式(14) 变为:^£N+1 = R¡1N XN+hN+1fN+1¡¹yN+1 ¡ ¹'TN+1R¡1N XN¢(15)定义eN+1 = ¹yN+1 ¡ ¹'TN+1R¡1N XN = ¹yN+1 ¡¹'TN+1^£N, 式(15) 可写为:^£N+1 = ^£N + hN+1fN+1eN+1注4. 考虑网络环境下数据丢包影响, 定理1 给出了^£N+1 与^£N 之间的递推公式, 可进一步改写为: ^£N+1 = ^£N + ®N+1hN+1fN+1(yN+1 ¡ ^yN+1), 式中第二项直接反映了不完全信息(®N+1) 对辨识参数的影响.在定理1 中, 由于¹'N+1 和¹yN+1 已知, 故其递推公式计算关键取决于R¡1N , 其可采用以下定理2中的递推公式计算.定理2. 上三角矩阵R¡1N 与R¡1N¡1 之间的递推关系如下:R¡1N = w¡1R¡1N¡1µI ¡¯N¯TNf2N ¡ fN¶(16)证明. 运用文献[23] 中方法, 存在一正交阵TN使得下式成立:"R¡TN 0hTN fN#= TN £24R¡TN¡1w¯N0 135 (17)其中,TN =2664I ¡¯N¯TNf2N ¡ fN(fN ¡ 1) ¯Nf2N ¡ fN(fN ¡ 1) ¯TNf2N ¡ fN1 ¡(1 ¡ fN)2f2N ¡ fN3775将TN 代入式(17) 按照分块矩阵整理可得式(16).注5. 定理2 给出了R¡1N 与R¡1N¡1 之间的递推计算方法, 能够有效计算R¡1N , 进而方便地进行定理1 中的参数辨识递推计算. 定理2 可进一步写为:RN = !µRN¡1 + R¡TN¡1 ¹'N ¹'TN1 ¡ fN¶3 算法收敛性分析在网络环境下, 不完全信息影响系统辨识的收敛性, 为了证明参数辨识算法的收敛性, 首先给出下面引理.引理1[26]. 若fÂkg, f¿kg 均为非负随机变量序列, 且使得下式成立Âk+1 · Âk + ¿k其中,P1i=1 j¿ij < 1, 则Âk 随着k ! 1 收敛于一有限的随机变量Â0, 即Âk ! Â0 < 1.引理2. 定义以下几个变量并给出变量之间的关系.1) 定义P¡1N = RTN RN, 则PN = PTN, 由式(16)可得, P¡1N+1 与P¡1N 之间递推关系为:P¡1N+1 = w2RTNRN + 2w2 ¹'N+1 ¹'TN+11 ¡ fN+1+w2 ¹'N+1 ¹'TN+1R¡1N R¡TN ¹'N+1 ¹'TN+1(1 ¡ fN+1)2 =w2P¡1N + 2w2 ¹'N+1 ¹'TN+11 ¡ fN+1+w2 ¹'N+1 ¹'TN+1PN ¹'N+1 ¹'TN+1(1 ¡ fN+1)22) 定义¹´N = yN ¡ ^xN, ~£N+1 = ^£N+1 ¡ £,则运用式(1) 和式(5) 可得AZ(¹´N+1 ¡ vN+1) =¡¹'TN+1~£N+1:3) 定义´N = ®N ¹´N, 同时注意®2N = ®N 和eN = ¹yN ¡ ¹'N^£N¡1 = ®N(yN ¡ ^yN), 则´N 与eN之间关系为:´N =µ1 ¡¹'TNhNfN¶eN1506 自动化学报41 卷进一步令¹N =µ1 ¡¹'TNhNfN¶= !2!2 + ¹'TNPN¡1 ¹'N可得eN = ¹¡1N ´N 且0 < ¹N < 1.不同于传统辨识算法收敛性的证明, 在网络辨识中网络导致的不完全信息影响辨识算法的性能,使得网络辨识算法的收敛性证明更加困难. 为了证明本文所提网络辨识算法的收敛性, 本文从遗忘因子w = 1 和0 ¿ w < 1 两种情况入手, 运用以上引理1 和2, 分析并证明两种情况下网络辨识算法的收敛性.定理3. 若遗忘因子w = 1, 对于系统(7), 假设:1) vk 是一个均值为0 方差为¾2 随机白噪声序列, 即E[vk] = 0; E(kvkk2) = ¾2 < 1;2) AZ 是正数, 且P1N=1 A2Z(¹´2N+1 + ¾2)£Eµ¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶< 1, 其中¡N+1 =¹'TN+1PN ¹'N+1; 则均方参数估计误差°°°^£N+1 ¡ £°°°收敛到一个常量.证明. 构造一个李雅普诺夫函数, VN+1 =~£TN+1P¡1N+1~£N+1, 运用式(10) 且定义MN+1 =w2 + ¹'TN+1PN ¹'N+1 和¡N+1 = ¹'TN+1PN ¹'N+1, 则:VN+1 = ~£TN+1P¡1N+1~£N+1 =w2Ã~£TNP¡1N~£N + 2~£TN ¹'N+1 ¹'TN+1~£N1 ¡ fN+1+~£TN ¹'N+1¡N+1 ¹'TN+1~£N(1 ¡ fN+1)2 + 2eTN+1 ¹'TN+1~£NMN+1+2eTN+1¡N+1 ¹'TN+1~£NMN+1 (1 ¡ fN+1)+ eTN+1¡2N+1 ¹'TN+1~£NMN+1(1 ¡ fN+1)2 +2~£TN ¹'N+1¡N+1eN+1(1 ¡ fN+1)MN+1+~£TN ¹'N+1¡2N+1eN+1(1 ¡ fN+1)2MN+1+eTN+1¡N+1eN+1M2N+1+ 2 eTN+1¡2N+1eN+1M2N+1 (1 ¡ fN+1)+eTN+1¡3N+1eN+1M2N+1(1 ¡ fN+1)2!由式(10) 可得: ~£N = ~£N+1 ¡ hN+1fN+1eN+1, 则:VN+1 · VN+³~£TN+1 ¹'N+1´2µ21 ¡ fN+1+¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶+³¹'TN+1~£N+1´µ¡4¡N+1eN+1f2N+1 (1 ¡ fN+1)¡2¡2N+1eN+1f2N+1(1 ¡ fN+1)2 + 2 eTN+1MN+1+4 eTN+1¡N+1MN+1 (1 ¡ fN+1)+2¡2N+1eN+1MN+1(1 ¡ fN+1)2¶+2¡2N+1e2N+1f4N+1 (1 ¡ fN+1)+¡3N+1e2N+1f4N+1(1 ¡ fN+1)2¡2¡N+1e2N+1MN+1f2N+1¡ 2¡2N+1e2N+1MN+1 (1 ¡ fN+1) f2N+1¡¡3N+1e2N+1MN+1(1 ¡ fN+1)2f2N+1¡2¡2N+1e2N+1(1 ¡ fN+1)MN+1f2N+1¡¡3N+1e2N+1(1 ¡ fN+1)2MN+1f2N+1+¡N+1e2N+1M2N+1+2¡2N+1e2N+1M2N+1 (1 ¡ fN+1)+¡3N+1e2N+1M2N+1(1 ¡ fN+1)2 (18)当w = 1 时, MN+1 = f2N +1, 运用引理2, 上式可化简为:VN+1 · VN+³~£TN+1 ¹'N+1´2µ21 ¡ fN+1+¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶+³¹'TN+1~£N+1´2®N+1vN+1¡³¹'TN+1~£N+1´22®N+1AZ¡¡N+1e2N+1M2N+1·³~£TN+1 ¹'N+1´2¡N+1(1 ¡ fN+1)2 +³¹'TN+1~£N+1´2®N+1ÀN+1设vN+1 独立于´N+1, ®N+1, AZ, ¡N+1, fN+1和MN+1, 对上式两边同时取期望, 则可进一步化简为:E(VN+1) · E(VN)+A2Z(¹´2N+1 + ¾2) £ Eµ¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶(19)8 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1507若对上式右边第二项从N = 1 至N = 1 求和有界, 即1XN=1A2Z(¹´2N+1 + ¾2)Eµ¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶< 1 (20)根据引理1, 则式(19) 收敛到一个常量, 定理3 得证.为了进一步分析所提网络辨识算法的收敛性,考虑网络特性和所提算法特性, 证明0 ¿ w < 1 时网络辨识算法的收敛性.定理4. 若遗忘因子0 ¿ w < 1, 对于系统(7),假设:1) vk 是一个均值为0 方差为¾2 随机白噪声序列, 即E[vk] = 0; E[kvkk2] = ¾2 < 1;2) AZ 是正数, 且1PN=1»N+1 < 1, 式中»N+1 = A2Z¡¹´2N+1 + ¾2¢Eµ¡N+1(1 ¡ fN+1)2¶+(¯2 + ½2) ¹´2N +1w2 Eµ(2¡N+1 + fN+1 ¡ 1) ¡N+1(fN+1 ¡ 1)¶+(¯2 + ½2) ¹´2N +1w2 Eà ¡¡3N+1¢(1 ¡ fN+1)2!则均方参数估计误差°°°^£N+1 ¡ £°°°收敛到一个常量.证明. 与定理3 证明类似, 构造相同的李雅普诺夫函数VN+1 = ~£TN+1P¡1N+1~£N+1, 则对式(18) 右边运用引理2 可化简为:VN+1 · w2µVN¡4¹¡1N+1®N+1¹´N+1¡N+1AZ (¡¹´N+1 + vN+1)f2N+1 (1 ¡ fN+1)+AZ (¡¹´N+1 + vN+1) ¡N+1AZ (¡¹´N+1 + vN+1)(1 ¡ fN+1)2 +2¹¡1N+1®N+1¹´N+1AZ (¡¹´N+1 + vN+1)MN+1¡2¡2N+1¡¹¡1N+1®N+1¹´N+1¢2MN+1 (1 ¡ fN+1) f2N+1+2¹¡1N+1®N+1¹´N+1¡2N+1AZ (¡¹´N+1 + vN+1)MN+1(1 ¡ fN+1)2 +¡N+1¡¹¡1N+1®N+1¹´N+1¢2M2N +1+¡3N+1¡¹¡1N+1®N+1¹´N+1¢2M2N +1(1 ¡ fN+1)2¶进一步对上式两边取期望可得:E(VN+1) · E(VN) + »N+1 (21)若对上式右边第二项从N = 1 至N = 1 求和有界, 即1XN=1»N+1 < 1 (22)利用引理1, 参数估计误差收敛到常数, 定理4 得证.¤注6. 定理3 和4 分别证明了在w = 1 和0 ¿ w < 1 情况下所提不完全信息下递推辨识方法的收敛性. 但是与在w = 1 情况下定理3 中条件2) 相比, 在0 ¿ w < 1 情况下定理4 中条件2) 更加复杂, 这是因为在定理3 中, 当w = 1 时MN+1 = f2N +1 带入式(3) 有些项能够相互抵消和合并, 而定理4 不存在MN+1 = f2N +1, 因此对式(18)不能化成类似的精简形式, 故定理4 中条件式(2)更加复杂.注7. 在传统的递推辨识(即非网络环境下)中, 有一些递推参数辨识算法在假设信息向量和协方差矩阵逆都有界条件下(如文献[19¡20, 27]),利用协方差矩阵的递推性质分析递推算法能够收敛到0 (即一致收敛性), 另一些递推参数辨识算法(如文献[28¡29]) 证明了估计误差有界. 而本文提出的网络参数辨识算法有界收敛到常数(即有界收敛性), 这是因为定理3 和定理4 中的条件式(2) 中主要含¡N+1 = ¹'TN+1PN ¹'N+1 和fN+1 =q1 +¡R¡TN ¹'N+1±w¢T ¡R¡TN ¹'N+1±w¢, 而PN 和RN 可分别由引理2 和注5 求出, 从¡N+1,fN+1, PN 和RN 这些计算公式可以发现它们主要取决于含网络丢包参量的信息向量¹'Tk , 这与传统的文献[19¡20, 27] 中信息向量和协方差矩阵逆有界假设和递推性质不同, 使得它比传统的非网络参数情况下参数辨识算法的收敛性分析更加复杂, 然而与传统的参数辨识方法相同, 通过观测¹'Tk 使得定理中的条件2) 具有可观测性.注8. 定理3 和定理4 证明了虽然数据丢包导致不完全信息存在, 但是在给定条件下, 递推参数估计算法在一定条件下依然收敛, 即有界收敛到一常量.4 仿真例子为了验证所提方法的可行性和有效性, 本文先从不同的数据丢包率、遗忘因子和噪声三个方面分析其对算法性能的影响, 并进一步与传统的递推最小二乘、加权递推最小二乘和是否用辅助模型补偿1508 自动化学报41 卷丢失数据策略进行了对比分析, 并在Matlab 中实现了该算法. 考虑如下线性离散系统, 其差分方程为:xk = BZAZuk其中, AZ = 1 + a1z¡1 + a2z¡2 = 1 + 0:35z¡1 ¡0:75z¡2, BZ = b1z¡1 + b2z¡2 = 0:214z¡1 +0:428z¡2, fvkg 是均值为0 且方差为¾2 的白噪声序列, yk 和uk 分别为系统输出测量值和输入激励信号.在网络环境下, 由于传输过程中存在数据丢包导致信息不完全, 采用式(4)»(6) 基于辅助模型方法来补偿这些丢失的信息. 假设参数估计初值£0 = [0; 0; 0; 0]T, 定义参数估计误差为±k = k^£k ¡ £k=k£k, 仿真时系统输入uk 采用4阶逆M 序列. 当输出y 的数据丢包率½ = 0:1, 遗忘因子w = 0:999, 噪声均方差¾2 = 0:16 时, 参数估计如表1、图2 所示, 系统输出如图3 所示. 从表1 及图2 可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值, 图3 显示y 的估计值几乎等于y的真实值.为了进一步分析提出的不完全信息下递推辨识方法的性能, 下面先从丢包率、遗忘因子以及噪声三个方面进行分析, 进一步与传统的递推最小二乘、加权递推最小二乘和是否用辅助模型补偿丢失数据策略进行对比分析:表1 ½ = 0:1, w = 0:999 和¾2 = 0:16 时系统参数估计及误差Table 1 The parameter estimation and parameterestimation error with ½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:16N ^a1 ^a2 ^b1 ^b2 ±k10 0.2056 ¡0.1523 0.0217 0.2397 0.7021333 0.3399 ¡0.7384 0.2065 0.4222 0.0189666 0.3497 ¡0.7520 0.2145 0.4236 0.0051999 0.3523 ¡0.7531 0.2154 0.4302 0.00491 332 0.3542 ¡0.7546 0.2119 0.4297 0.00711 665 0.3519 ¡0.7573 0.2147 0.4317 0.00881 998 0.3496 ¡0.7500 0.2132 0.4329 0.0088真实值0.3500 ¡0.7500 0.2140 0.42801) 当系统丢包率增大时, 如丢包率½ = 0:4, 遗忘因子w = 0:999, 噪声方差¾2 = 0:16 时, 参数估计如图4 所示, 系统输出如图5 所示, 参数估计误差如图6 所示. 从图4 可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值. 与图3 相比, 随着丢包率增加, 图5 中显示y 的估计值与真实值之间的误差波动较大, 图6 进一步清晰地显示丢包率大时参数估计误差相对较大.2) 当遗忘因子不同时, 如遗忘因子w = 0:89,丢包率½ = 0:1, 噪声方差¾2 = 0:16 时, 参数估计如图7 所示, 系统输出如图8 所示, 参数估计误差如图9 所示. 由图7 中参数估计值可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值, 由于遗忘因子的影响, 迭代历史数据对参数拟合影响减小, 系图2 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时参数估计Fig. 2 Parameter identi¯cation with ½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:168 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1509图3 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时系统输出Fig. 3 System output with ½ = 0:1, w = 0:999 and¾2 = 0:16统误差对参数估计影响相对加强, 导致参数估计趋于稳定时参数估计值与参数真实值之间存在波动.与图3 相比, 图8 显示y 的估计值与真实值之间的误差相差不大. 图9 可以看出遗忘因子w = 0:89 时参数估计误差达到稳定的速度较快, 但稳定时误差比w = 0:999 的误差大.3) 当噪声方差增大时, 如噪声方差¾2 = 0:81,丢包率½ = 0:1, 遗忘因子w = 0:999 时, 参数估计如图10 所示, 系统输出如图11 所示, 参数估计误差如图12. 由图10 可以看出, 参数估计随迭代次数N的增加逐渐趋向真实值. 由于噪声方差增大, 导致估计值与真实值之间的误差与图3 相比较大, 图11 显示y 的估计值与真实值之间的误差相对较大. 图12清晰地显示噪声均方差¾2 = 0:81 时参数估计误差比¾2 = 0:16 时大.图4 ½ = 0:4, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时参数估计Fig. 4 Parameter identi¯cation with ½ = 0:4, w = 0:999 and ¾2 = 0:16图5 ½ = 0:4, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时系统输出Fig. 5 System output with ½ = 0:4, w = 0:999 and ¾2 = 0:161510 自动化学报41 卷图6 ½1 = 0:1, ½2 = 0:4, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时参数估计误差Fig. 6 Parameter estimation error with ½1 = 0:1, ½2 = 0:4, w = 0:999 and ¾2 = 0:16图7 ½ = 0:1, w = 0:89 且¾2 = 0:16 时参数估计Fig. 7 Parameter identi¯cation with ½ = 0:1, w = 0:89 and ¾2 = 0:16图8 ½ = 0:1, w = 0:89 且¾2 = 0:16 时系统输出Fig. 8 System output with ½ = 0:1, w = 0:89 and¾2 = 0:16图9 ½ = 0:1, w1 = 0:999, w2 = 0:89 且¾2 = 0:16 时参数估计误差Fig. 9 Parameter estimation error with ½ = 0:1,w1 = 0:999, w2 = 0:89 and ¾2 = 0:168 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1511图10 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:81 时参数估计Fig. 10 Parameter identi¯cation with ½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:81图11 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:81 时系统输出Fig. 11 System output with ½ = 0:1, w = 0:999 and¾2 = 0:814) 在噪声方差¾2 = 0:16 和网络丢包率½ = 0:1环境下, 递推最小二乘算法[19] 参数估计如图13 且系统输出如图14 所示, 与本文提出方法在遗忘因子w = 0:999 时参数估计误差比较如图15. 由图13可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值. 与图3 相比, 图14 显示y 的估计值与真实值之间的误差相对较大. 图15 清晰地显示传统递推最小二乘算法的参数估计误差比本文新提出的不完全信息下融合网络参数的递推加权最小二乘算法大,这表明本文所提新算法比传统递推最小二乘算法更加有效.5) 传统加权递推最小二乘算法在噪声方差¾2 = 0:16, 丢包率½ = 0:1, 遗忘因子w = 0:999时, 参数估计如图16 所示, 系统输出如图17 所示,参数估计误差如图18. 由图16 可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值. 但参数估计值与真实值之间的误差与图3 相比较大, 图17 显示y 的估计值与真实值之间的误差相对较大. 图18 清晰地显示传统递推最小二乘算法的参数估计误差比本文新提出的不完全信息下融合网络参数的递推加权最小二乘算法大, 这表明本文所提新算法能够有效解决网络环境下数据丢包导致的不完全信息给算法辨识精度带来的影响.图12 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾21 = 0:16, ¾22 = 0:81 时参数估计误差Fig. 12 Parameter estimation error with ½ = 0:1,w = 0:999, ¾21 = 0:16 and ¾22 = 0:816) 未运用辅助模型补偿丢失数据时, 加权递推最小二乘算法在噪声方差¾2 = 0:16, 丢包率½ = 0:1, 遗忘因子w = 0:999 时, 参数估计如图19所示, 系统输出如图20 所示, 参数估计误差如图21.由图19 可以看出, 参数估计随迭代次数N 的增加逐渐趋向真实值. 但参数估计值与真实值之间的误1512 自动化学报41 卷图13 ½ = 0:1 且¾2 = 0:16 时递推最小二乘算法参数估计Fig. 13 Parameter identi¯cation with ½ = 0:1 and ¾2 = 0:16 using traditional RLS algorithm图14 ½ = 0:1, w = 1 且¾2 = 0:16 时递推最小二乘算法系统输出Fig. 14 System output with ½ = 0:1, w = 1 and¾2 = 0:16 using traditional RLS algorithm图15 ½ = 0:1 且¾2 = 0:16 时两种算法参数估计误差Fig. 15 Parameter estimation errors of two algorithmswith ½ = 0:1 and ¾2 = 0:16图16 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时传统加权递推最小二乘算法参数估计Fig. 16 Parameter identi¯cation with ½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:16 using traditional weighted RLS algorithm8 期杜大军等: 一种不完全信息下递推辨识方法及收敛性分析1513图17 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时传统加权递推最小二乘算法系统输出Fig. 17 System output with ½ = 0:1, w = 0:999 and¾2 = 0:16 using traditional weighted RLS algorithm图18 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时两种算法参数估计误差Fig. 18 Parameter estimation errors of two algorithmswith ½ = 0:1, w = 0:999, ¾2 = 0:16图19 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时无数据补偿算法参数估计Fig. 19 Parameter identi¯cation without data compensation algorithm (½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:16)差与图3 相比较大, 图20 显示y 的估计值与真实值之间的误差相对较大. 图21 清晰地显示未运用辅助模型补偿丢失数据时递推最小二乘算法的参数估计误差比本文新提出的不完全信息下融合网络参数的递推加权最小二乘算法大, 这表明本文所提新算法中采用辅助模型方法能够有效补偿数据丢包导致的不完全信息, 从而提高了算法的辨识精度.5 结论本文提出了一种不完全信息下递推参数辨识方法, 运用伯努利分布刻画了引起不完全信息的数据丢包特性, 基于辅助模型方法补偿不完全信息并构造了新的数据信息矩阵, 通过对数据信息矩阵进行QR 分解推导了融合网络参数的递推辨识新算法,图20 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时无数据补偿算法系统输出Fig. 20 System output without data compensationalgorithm (½ = 0:1, w = 0:999 and ¾2 = 0:16)1514 自动化学报41 卷图21 ½ = 0:1, w = 0:999 且¾2 = 0:16 时无数据补偿算法参数估计误差Fig. 21 Parameter estimation error without datacompensation algorithm (½ = 0:1, w = 0:999 and¾2 = 0:16)并理论证明了算法的有界收敛性, 从而解决了受不完全信息约束的递推参数辨识问题, 为开展模型未知的网络化控制系统研究提供了一种有效途径. 然而, 正如文献[11] \基于网络和通信的辨识" 部分所讲, 通信的限制和不确定性等因素给辨识带来了新的挑战, 开展网络环境下的系统辨识是一个系统性和循序渐进的工作, 因此在本文的基础上, 如何证明所提算法的一致有界性是进一步需要开展的研究工作. 此外, 由于工业无线和有线网络构成的异构网络规模越来越大, 带来的网络不确定性因素对系统的影响也越来越复杂, 如何考虑异构网络带来的不完全信息进行递推参数辨识也是将来值得研究的一个重要方向.References1 AstrÄom K J, Kumar P R. 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His re-search interest covers networked identi-¯cation and ¯ltering for networked systems.)费敏锐上海大学机电工程与自动化学院教授. 主要研究方向为网络化控制系统及实现.E-mail: mrfei@sta®.shu.edu.cn(FEI Min-Rui Professor at theSchool of Mechatronics Engineeringand Automation, Shanghai University.His research interest covers networkedcontrol system and its implementation.)